2023年高考数学一轮复习 第八章 直线与圆 圆锥曲线 8 抛物线练习（含解析）.docx

1、抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用知识梳理1抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点准线方程xxyy对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，

2、y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|，|BF|，弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线()(2)方程y4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)若直线与抛物线

3、只有一个交点，则直线与抛物线相切()教材改编题1抛物线y2x2的准线方程为()AyByCyDy1答案A解析由y2x2，得x2y，故抛物线y2x2的准线方程为y.2过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于()A9B8C7D6答案B解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是_答案y24x解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，

4、所以抛物线方程为y24x.题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1(1)(2020全国)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于()A2B3C6D9答案C解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x12.又因为点A到y轴的距离为9，即x9，所以912，解得p6.(2)已知点M(20,40)，抛物线y22px(p0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|PF|的最小值为41，则p的值等于_答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|PD|，

5、|PM|PF|PM|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|PF|的值最小由最小值为41，得2041，解得p42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图，当点P，M，F三点共线时，|PM|PF|的值最小由最小值为41，得41，解得p22或p58.当p58时，y2116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去综上，p42或p22.思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径命题点2求标准方程例2(1)设抛物线y22px的焦点在直线2x3y80上，则该抛物线的准线方程为()Ax4Bx3Cx2D

6、x1答案A解析直线2x3y80与x轴的交点为(4,0)，抛物线y22px的焦点为(4,0)，准线方程为x4.(2)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl，交l于D.若|AF|4，DAF60，则抛物线C的方程为()Ay28xBy24xCy22xDy2x答案B解析根据抛物线的定义可得|AD|AF|4，又DAF60，所以|AD|p|AF|cos60|AF|，所以4p2，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.教师备选1已知抛物线y24x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点若|MF|NF|5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A3B.C5D.答案B解析由

7、题意知抛物线的准线方程为x1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M，N(图略)，根据抛物线的定义得|MF|MM|，|NF|NN|，所以|MF|NF|MM|NN|，所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|NF|)，所以线段MN的中点到y轴的距离为1.2(2022济南模拟)已知抛物线x22py(p0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)若直线AB的斜率为，点A的纵坐标为，则p的值为()A.B.C1D2答案C解析由题意得，抛物线x22py(p0)的焦点在y轴上，准线方程为y，设A(xA，yA)，则|AF|yA，设直线AB的倾斜角为，则tan，因为0，)，所以，所以|AF|3p，

8、所以3p，解得p1.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论跟踪训练1(1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q.则线段FQ的垂直平分线()A经过点OB经过点PC平行于直线OPD垂直于直线OP答案B解析连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|FP|，则QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.(2)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”设点F是抛物线y22px(p0)的焦点，l是该

9、抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若RtABC的“勾”|AB|3，“股”|CB|3，则抛物线的方程为 ()Ay22xBy23xCy24xDy26x答案B解析如图，|AB|3，|BC|3，则|AC|6，设直线l与x轴交于点H，由|AB|AF|3，|AC|6，可知点F为AC的中点，所以|FH|AB|，又|FH|p，所以p，所以抛物线的方程为y23x.题型二抛物线的几何性质例3(1)(2021新高考全国)抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p等于()A1B2C2D4答案B解析抛物线的焦点坐标为，其到直线xy10的距离d，解得p2(p6舍去

10、)(2)(多选)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|8，则以下结论正确的是()Ap4B.C|BD|2|BF|D|BF|4答案ABC解析如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60.因为AEx轴，所以EAF60，由抛物线的定义可知，|AE|AF|，则AEF为等边三角形，所以EFPAEF60，则PEF30，所以|AF|EF|2|PF|2p8，得p4，故A正确；因为|AE|

11、EF|2|PF|，且PFAE，所以F为AD的中点，则，故B正确；因为DAE60，所以ADE30，所以|BD|2|BM|2|BF|，故C正确；因为|BD|2|BF|，所以|BF|DF|AF|，故D错误教师备选1抛物线y22px(p0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4,0)，则抛物线的焦点坐标是()A(4,0) B(2,0)C(1,0) D.答案C解析设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，则点A(x1，y1)，可得x1，则x1，设直线MB的方程为xmy4，联立可得y22mpy8p0，所以y1y28p，由题意可知，x1x2

12、y1y2y1y28p168p0，解得p2.因此，抛物线的焦点为(1,0)2(多选)(2022唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线r：y2x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则()Ay1y21B|AB|CPB平分ABQD延长AO交直线x于点C，则C，B，Q三点共线答案BCD解析设抛物线的焦点为F，则F.因为P，且l1x轴，故A(1,1)，故直线AF

13、：yx.由可得y2y0，故y1y2，故A错误；又y11，故y2，故B，故|AB|1，故B正确；直线AO：yx，由可得C，故yCy2，所以C，B，Q三点共线，故D正确；因为|AP|1|AB|，故APB为等腰三角形，故ABPAPB，而l1l2，故PBQAPB，即ABPPBQ，故PB平分ABQ，故C正确思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性跟踪训练2(1)(2021新高考全国)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若

14、|FQ|6，则C的准线方程为_答案x解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|，|PF|p，OPFPQF，所以tanOPFtanPQF，所以，即，解得p3，所以C的准线方程为x.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|，|PF|p，|PF|2|OF|FQ|，即p26，解得p3或p0(舍去)，所以C的准线方程为x.(2)直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p_，_.答案21解析由1，得p2.当直线l的斜率不存在时，l：x1与y24x联立解得y2，此时|AF|BF|2，所以1；当直线l的斜率存在时，设l：yk(x1)，代入抛物线方程，得k2x22(k2

15、2)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，1.综上，1.题型三直线与抛物线例4已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2，即A(3,

16、3)，B.故|AB|.教师备选如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x2y得p.2若抛物线y22px(p0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|8，则弦AB的中点到y轴的距离为()A2B3C4D6答案B解析因为抛物线y22px(p0)的焦点到准线的距离为2，所以p2，抛物线方程为y24x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y

17、2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|x1x2p，所以8x1x22，则x1x26，所以AB的中点到y轴的距离为d3.3(2022桂林模拟)已知抛物线yx2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|NF|，则|MF|等于()A2B3C.D.答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|NF|，在RtNHM中，|MN|NH|，则NMH45.在RtMFK中，FMK45，所以|MF|FK|.而|FK|1，所以|MF|.4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧一个抛物线型拱桥，当

18、水面离拱顶2m时，水面宽8m若水面下降1m，则水面宽度为()A2mB4mC4mD12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，由题意知，抛物线经过点A(4，2)和点B(4，2)，代入抛物线方程解得p4，所以抛物线方程为x28y，水面下降1米，即y3，解得x12，x22，所以此时水面宽度d2x14.5(多选)(2022广州模拟)已知点O为坐标原点，直线yx1与抛物线C：y24x相交于A，B两点，则()A|AB|8BOAOBCAOB的面积为2D线段AB的中点到直线x0的距离为2答案AC解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y24x，则

19、p2，焦点为(1,0)，则直线yx1过焦点联立方程消去y得x26x10，则x1x26，x1x21，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)14，所以|AB|x1x2p628，故A正确；由x1x2y1y21430，所以OA与OB不垂直，故B错误；原点到直线yx1的距离为d，所以AOB的面积为Sd|AB|82，故C正确；因为线段AB的中点到直线x0的距离为3，故D错误6(多选)已知抛物线y22px(p0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是()Ap4B抛物线方程为y216xC直线l的方

20、程为y2x4D|AB|10答案ACD解析由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p4，故A正确；则抛物线方程为y28x，故B错误；焦点F(2,0)，则y8x1，y8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1y24，yy8x18x2，即2，直线l的方程为y2x4，故C正确；又由可得x26x40，x1x26，|AB|AF|BF|x1x2410，故D正确7(2021北京)已知抛物线C：y24x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|6，则M的横坐标是_，作MNx轴于N，则SFMN_.答案54解析因为抛物线的方程为y24x，故p2且F(1,0)，因为|MF|6，所以xM6，解得xM5，故y

21、M2，所以SFMN(51)24.8(2020新高考全国)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.答案解析如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y(x1)由得3x210x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x22.9过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(2，y0)，使得MAMB，求直线l的方程解(1)抛物线C：x22py(p0)的准线方程为y，焦点为F.当点A的纵坐标为1时，|AF|

22、2，12，解得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)点M(2，y0)在抛物线C上，y01.又F(0,1)，设直线l的方程为ykx1.由得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，(x12，y11)，(x22，y21)MAMB，0，(x12)(x22)(y11)(y21)0，48k44k20，解得k2或k0.当k0时，l过点M(舍去)，k2，直线l的方程为y2x1.10(2022沈阳模拟)已知抛物线C：x22py(p0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.(1)求p的值；(

23、2)若l1l2，求MAB面积的最小值解(1)由题意知，抛物线焦点为，准线方程为y，焦点到准线的距离为2，即p2.(2)由(1)知抛物线的方程为x24y，即yx2，所以yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1：y(xx1)，l2：y(xx2)，由于l1l2，所以1，即x1x24.设直线l的方程为ykxm，与抛物线方程联立，得所以x24kx4m0，16k216m0，x1x24k，x1x24m4，所以m1，即l：ykx1.联立方程得即M(2k，1)M点到直线l的距离d，|AB|4(1k2)，所以S4(1k2),当k0时，MAB的面积取得最小值4.11设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛

24、物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A1B2C3D4答案C解析由题意可知，点F的坐标为，又F为ABC的重心，故，即xAxBxC.又由抛物线的定义可知|xAxBxC3.12(多选)(2022潍坊模拟)已知抛物线x2y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A点F的坐标为B若直线MN过点F，则x1x2C若，则|MN|的最小值为D若|MF|NF|，则线段MN的中点P到x轴的距离为答案BCD解析易知点F的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2p2，选项B正确；若，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即

25、，选项C正确；抛物线x2y的焦点为，准线方程为y，过点M，N，P分别作准线的垂线MM，NN，PP，垂足分别为M，N，P(图略)，所以|MM|MF|，|NN|NF|.所以|MM|NN|MF|NF|，所以线段|PP|，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP|，选项D正确13(多选)已知抛物线C：y22px(p0)过点P(1,1)，则下列结论正确的是()A点P到抛物线焦点的距离为B过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则OPQ的面积为C过点P与抛物线相切的直线方程为x2y10D过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值答案BCD解析因为抛物线C：y22px(p

26、0)过点P(1,1)，所以p，所以抛物线方程为y2x，焦点坐标为F.对于A，|PF|1，错误；对于B，kPF，所以lPF：y，与y2x联立得4y23y10，所以y1y2，y1y2，所以SOPQ|OF|y1y2|，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，14k(1k)0，即4k24k10，解得k，所以切线方程为x2y10，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，所以yM1，即yM1，则xM2，所以点M，同理N，所以kMN，正确14已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y2x4与x轴，y轴交于M，N两

27、点，点A(2，4)，且，则的最小值为_答案解析由题意得M(2,0)，N(0，4)，设P(x，y)，由得(x2，y4)(0,4)(2,0)所以x22，y44.因此22，故的最小值为.15(多选)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是()A.p2B若|AF|BF|4p2，则直线AB的斜率为C若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y24xD若点F到抛物线准线的距离为2，则sinPMN的最小值为答案ACD解析设A(x1，y1)，B(x2，y

28、2)，直线l的方程为xmy，由得y22pmyp20，则y1y22pm，y1y2p2.对于A，x1x2y1y2y1y2p2p2，故A正确；对于B，根据抛物线的定义可知|AF|x1，|BF|x2，故|AF|BF|(my1p)(my2p)m2y1y2pm(y1y2)p2m2p22p2m2p2p2(m21)4p2，所以m214，解得m，所以直线l的斜率k，故B不正确；对于C，由题意可知23，解得p2，则抛物线的方程为y24x，故C正确；对于D，由题意可知p2，所以y1y24m.易得sinPMN，其中d是点P到y轴的距离，r为以AB为直径的圆的半径，且d，r|PM|.又x1my11，x2my21，且y1

29、y24m，所以d2m21，r2m22，所以sinPMN1，当m0时，sinPMN取得最小值，故D正确16已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积(1)证明设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1，整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.