2023新教材高考数学二轮专题复习 强化训练14 立体几何——大题备考.docx

1、强化训练14立体几何大题备考第二次作业12022广东深圳二模如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM平面PCD.(1)求证：平面PAD平面ABCD；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值22022河北唐山二模如图，ABC是边长为4的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是ABC的中心，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PG平面ABC.(1)证明：PBAC；(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值3.2022山东淄博三模已知如图，在多面体ABCEF中，ACBC2，ACB120，D为AB的中点，EFCD，EF

2、1，BF平面AEF.(1)证明：四边形EFDC为矩形；(2)当三棱锥A BEF体积最大时，求平面AEF与平面ABE夹角的余弦值42022山东德州二模九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P ABCD，底面为边长为2的正方形，侧棱PA平面ABCD，PA2，E、F为边BC、CD上的点，点M为AD的中点(1)若，证明：平面PBM平面PAF；(2)是否存在实数，使二

3、面角P EF A的大小为45？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM与平面PEF所成角的正弦值强化训练14立体几何1解析：（1）证明：因为AM平面PCD，所以AMCD，又底面ABCD为正方形，所以ADCD，又ADAMA，所以CD平面PAD，又CD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD；（2）取AD的中点O，连接PO，则PO平面ABCD，则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB2，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（1，2，0），P（0，0，），D（1，0，0），M（，0，），所以（，0，），（1，2，），（1，2，），设平面PBC的一个法向量为n（x，y，z），则，即

4、，令z，则y，x0，则n（0，），设AM与平面PBC所成角为，所以sin |cos ，n|.2解析：（1）证明：连接BF，由ABC为等边三角形，F为AC的中点，所以BFAC，由PG平面ABC，AC平面ABC，所以PGAC，又PGBFG，PG，BF平面PBF，所以AC平面PBF，又PB平面PBF，所以PBAC；（2）依题意PF2，GF2，在RtPFG中，PG2，以F为坐标原点，以为x轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），C（0，2，0），B（6，0，0），E（3，0），P（2，0，2），（2，0，2），（3，0），由（1）可知，（0，4，0）是平面PBF的一个法向量，设平面PE

5、F的法向量为n（x，y，z），则，令x，则n（，1），所以cos ，n，所以sin ，n，所以平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值为.3解析：（1）证明：因为ACB120，ACBC2，D为AB的中点，所以CDAB，且CDBC sin301，又因为EF1，所以CDEF，因为EFCD，所以四边形EFDC为平行四边形，因为BF平面AEF，EF平面AEF，所以BFEF，所以CDBF，因为BFABB，BF，AB平面ABF，所以CD平面ABF, DF平面ABF，所以CDDF，所以四边形EFDC为矩形（2）由（1）可知，EF平面ABF，BF平面AEF，AF平面AEF，所以BFAF，AB22，所以三棱锥A

6、 BEF的体积VSABFEFAFBF（AF2BF2）AB21，当且仅当AFBF时等号成立，此时FDAB，据（1），以D为坐标原点，分别以DA，CD，DF所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D xyz如图所示. 由已知可得下列点的坐标：A（，0，0），B（，0，0），F（0，0，），E（0，1，），所以（2，0，0），（，1，），设平面ABE的法向量为m（x，y，z），则，即，取y，则x0，z1，所以平面ABE的一个法向量为m（0，1），因为（，0，）是平面AEF的法向量，设平面AEF与平面ABE夹角为，则cos ，故平面AEF与平面ABE夹角的余弦值为.4解析：（1）证明：时，点E、F为

7、BC及CD的中点连接AF与BM交于点G，在ABM和DAF中，ABAD，AMDF，BAMADF90，所以ABMDAF ，于是ABMFAD.而FADBAF90，所以ABMBAF90，故AGB90，即BMAF.又PA平面ABCD，BM平面ABCD，所以PABM.因为BMPA，BMAF，PA平面PAF，AF平面PAF，PAAFA，所以BM平面PAF.又因为BM平面PBM，所以平面PBM平面PAF.（2）连接AC，交EF于点Q，连接PQ，记BD与AC交于点O，如图：因为，所以EFBD，因为ACBD，所以ACEF，从而PQEF，所以AQP为二面角P EF A的一个平面角由题意，AQP45，从而AQPA2，所以CQ22，于是2，所以CFCE42，BEDF22.如图，以AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，于是P（0，0，2），E（2，22，0），F（22，2，0），B（2，0，0），M（0，1，0），（2，1，0），（，22，2），（22，2，2），设平面PEF的一个法向量是n（x，y，z），由 ，得：，取x1，则y1，z，则n（1，1，）.所以直线BM与平面PEF所成角为，则sin |cos n，|.