2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练六十一 圆锥曲线中的定值与定点问题课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练六十一圆锥曲线中的定值与定点问题一、选择题(每小题5分，共35分)1在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21和椭圆C2：4x2y21.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OMON，则O到直线MN的距离是定值，这个定值是()A B C D【解析】选D.当直线ON垂直于x轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx，则直线OM的方程为yx.由得，所以|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，所以，即d，所以定值为.2若动圆C的圆心在抛物线y24x上

2、，且与直线l：x1相切，则动圆C必过一个定点，该定点坐标为()A(1，0) B(2，0)C(0，1) D(0，2)【解析】选A.由题得，圆心在y24x上，它到直线l的距离为圆的半径，l为y24x的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点(1，0).3如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点，动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，则tt的值()A是定值

3、a2b2 B是定值a2b2C与t1有关，不是定值 D与t2有关，不是定值【解析】选B.设A(x1，y1)A(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，所以xyxy，因为点A，A均在椭圆上，所以b2xb2x.由t1t2，知x1x2，所以xxa2，从而yyb2，因而tta2b2为定值4如图，过抛物线y24x焦点F的直线依次交抛物线与圆(x1)2y21于A，B，C，D，则|AB|CD|()A4 B2 C1 D【解析】选C.抛物线焦点为F(1，0)，|AB|AF|1xA，|CD|DF|1xD，于是|AB|CD|xAxD1.5在直角坐标系xOy中，曲线C2

4、：(x5)2y29，P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1：y220x相交于点A，B和C，D.当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为()A9 B20 C3 200 D6 400【解析】选D.当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由得k1y220y20(y0

5、4k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.6直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则直线l过定点()A(3，0) B(0，3)C(3，0) D(0，3)【解析】选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2，所以.又y2x1，y2x2，所以y1y26.设直线l：xmyb，代入抛物线C：y22x得y22my

6、2b0，所以y1y22b6，得b3，即直线l的方程为xmy3，所以直线l过定点(3，0).7椭圆y21的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，则为定值，求出这个定值为()A4 B4 C8 D8【解析】选C.由题意可知，l为椭圆的在P点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：y0y1，所以k，而k1，k2，代入中得48为定值二、填空题(每小题5分，共15分)8已知双曲线1(a0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A

7、，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为_【解析】由题意知，e2b23a2，则双曲线方程可化为3x2y23a2，设A(m，n)，M(x0，y0)(x0m)，则B(m，n)，k1k23.答案：39已知过点M(0，1)的动直线l与椭圆C：1交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆恒过定点的坐标为_【解析】当直线l的斜率为0时，对于1，令y1，得x4，此时以线段AB为直径的圆的方程为x2(y1)216.当直线l的斜率不存在时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y29.联立解得即两圆的交点为(0，3)，记T(0，3).猜想以线段AB为直径的圆恒过定点T(0，3).当直线l的斜率

8、存在且不为0时，设直线l的方程为ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24kx160，所以(4k)264(12k2)144k2640，x1x2，x1x2.因为(x1，y13)(x2，y23)x1x2y1y23(y1y2)9x1x2(kx11)(kx21)3(kx11kx21)9(k21)x1x24k(x1x2)1616160，所以TATB，故以线段AB为直径的圆过点T(0，3).综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(0，3).答案：(0，3)10过椭圆y21的左顶点A作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆C上一点，且AQOP，则的值为_【解析】设

9、直线AQ：yk(x2)，R(0，2k)，(14k2)x216k2x16k240.由根与系数的关系可得x12，x2xQ，则|AQ|xQx1|，|AR|0(2)|2，|OP|xP0|，令直线OP为ykx，令yP0，xP0.联立得(14k2)x240，可得x2xP，所以|OP|，2，所以定值为2.答案：21过直线l：3x4y120上一个动点P作圆C：x2y21的切线，两个切点确定的直线经过定点M，则M的坐标为()A(4，3) B(3，4)C D【解析】选D.由圆的几何性质，可得坐标原点，点P(x0，y0)，和两个切点满足四点共圆，这个圆以OP为直径，它的方程为x(xx0)y(yy0)0，两个圆的方程

10、相减得x0xy0y1，这就是两个切点确定的直线方程因为点P(x0，y0)在直线l：3x4y120上，所以x0y01，对照两个切点确定的直线方程x0xy0y1上，可得点在直线x0xy0y1，所以直线x0xy0y1经过定点.2椭圆C：y21，A，B是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆上的任意一点若直线PA与直线PB的斜率之积为定值，则这个定值等于_，设经过D(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，则的值为_【解析】由题意，A(2，0)，B(2，0)，设点P(x0，y0)，则直线PA的斜率为kPA ，直线PB的斜率为kPB，所以kPAkPB，又由点P(x0，y0)在

11、椭圆上，可得y1，即y1，所以kPAkPB，即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.由直线l过点D(1，0)，所以直线l的方程为l：xky1，联立方程组整理得(k24)y22ky30，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，则，即3y13y22ky1y2，又由直线AM：y(x2)，直线BM：y(x2)，联立方程组可得(x2)(x2)，整理得3，解得x4，即点Q(4，y0)，又由向量(2，0)，(4，y0)，所以240y08(定值)，即为定值答案：83.(10分)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q是椭圆C与x轴正半轴

12、的交点,斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点D,E,若kQDkQE=9,问直线DE是否恒过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c,由e=,得=,所以=,故a=b,又椭圆C过点P所以+=1,解得所以椭圆C的标准方程为+x2=1.(2)由题可设直线DE的方程为x=ty+m,由,消去x,整理可得(1+3t2)y2+6mty+3m2-3=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=,由题意,可得Q(1,0),又kQDkQE=9,所以y1y2=9(x1-1)(x2-1)=9(ty1+m-1)(ty2+m-1)=9t2y1

13、y2+9(m-1)t(y1+y2)+9(m-1)2,且m1(直线不过(1,0)点),即(9t2-1)(m+1)-18mt2+3(m-1)(1+3t2)=0,整理可得2m-4=0,解得m=2,故直线DE过定点(2,0).【加练备选拔高】已知椭圆C:=1(ab0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,且其离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M,N两点,线段MN中点为P,问kMNkOP(O为坐标原点)是否为定值?请说明理由.【解析】(1)因为抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆C的半焦距c=1,又椭圆的离心率e=,所以a=2,则b=.所以椭圆C的方程为

14、=1.(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设l的方程为y=kx+m,联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.由0,可得m2|PQ|,所以圆E的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,其长轴长为2,短轴长为2,曲线C的方程是+y2=1.(2)存在.由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,由=64k2-24(1+2k2)=16k2-240,解得k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.设存在点D(0,m)满足题意,则kAD=,kBD=,所以kAD+kBD=.要使kAD+kBD为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1)k与参数k无关,故2m-1=0,解得m=,当m=时,kAD+kBD=0.综上所述,存在点D,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.