江苏省2013届最新高三数学（精选试题26套）分类汇编14 导数.doc

1、江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编14：导数一、填空题 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（3）已知函数,其中.若函数仅在处有极值,则的取值范围是_.【答案】 （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知存在实数,满足对任意的实数,直线都不是曲线的切线,则实数的取值范围是_.【答案】 （江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）已知函数在处的导数为,则实数的值是_.【答案】 2; （2013年江苏省高考数学押题试卷 ）已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是_.【答案

2、】方法一 在等式f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8中将x全部换成2-x得 f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,联立两式解得f(x)=x2.所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 方法二在等式f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8中令x=1解得f(1)=1,对等式f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8两端求导得f (x)=-2f (2-x)-2x+8,令x=1解得f (1)=2, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. （江苏省常州市第五中学2013

3、年高考数学文科）冲刺模拟试卷）若关于的方程有四个实数根,则实数的取值范围是_.【答案】 （江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）设曲线在点处的切线为,曲线在点 处的切线为.若存在,使得,则实数的取值范围为_.【答案】 （江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）已知函数若有则的取值范围为_. 【答案】 （江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）若点P、Q分别在函数y=ex和函数 y=lnx的图象上,则P、Q两点间的距离的最小值是_.【答案】 （江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知函数,下列命题正确的是_.(写

4、出所有正确命题的序号)是奇函数; 对定义域内任意x,0时,若方程|=k有且仅有两个不同的实数解cos=-sin. 【答案】 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（1）等比数列中,函数,则曲线 在点处的切线方程为_.【答案】; （江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为_.【答案】 （江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）设,定义为的导数,即,N,若的内角满足,则的值是_.【答案】1 （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知直线与曲线相切,则的值为 _. 【答案】3 （江苏省南通市

5、通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）函数(),.若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,则c的值是_.【答案】4 （江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）若直线y=kx-3与曲线y=2lnx相切,则实数k=_.【答案】2 （江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x 2+(y+4) 2 =2到直线l:y=x的距离,则实数a=_.【答案】9/4 二、解答题（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1）某企业拟建造如上

6、图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.(1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的【答案】解:(1)由题意可知,即,则. 容器的建造费用为, 即,定义域为. (2),令,得. 令,得, 当时,当时,函数单调递减,当时有最小值; 当时,当时,;当时, 当时有最小值. 综上所述,当时,建造费用最小时;当时,建造费用最小时. （江苏省常州市第五中学20

7、13年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知,函数.(1) 如果实数满足,函数是否具有奇偶性?如果有,求出相应的值;如果没有,说明为什么?(2) 如果判断函数的单调性;(3) 如果,且,求函数的对称轴或对称中心.【答案】解:(1)如果为偶函数,则恒成立, 即: 由不恒成立,得 如果为奇函数,则恒成立, 即: 由恒成立,得 (2), 当时,显然在R上为增函数;(8分) 当时, 由得得得. 当时, ,为减函数; 当时, ,为增函数. (3) 当时, 如果, 则函数有对称中心 如果 则 函数有对称轴. （南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）(1)已知一条直线l与函数y=sinx(xR)的图象相切,且

8、有无穷多个切点. 试写出这条直线的方程,并说明理由.(2)是否存在函数y=f(x)满足它的图象上任意两点处的切线都不相同?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.(3)设函数g(x)=的图象上存在k(k2,kN*)个不同的点,使得函数y=g(x)的图象在这k个点处的切线是同一条直线l,求这k个点的坐标和直线l的方程.【答案】解(1)存在直线y=1与函数y=sinx(xR)的图象相切于无穷多个切点. 对于y=sinx,因为y=cosx,当x=2k+(kZ)时,y=0,y=1. 所以,在点(2k+,1)( kZ)处,函数y=sinx(xR)的图象的切线为同一条直 线y=1 注:同样地可以说明:在

9、点(2k-,-1)( kZ)处,函数y=sinx(xR)的图象的切线为同一条直线y=-1. (2)存在函数f(x)=x2(xR)的图象上任意两点处的切线都不相同. 因为f(x)=2x,则函数f(x)=2x在xR上单调递增. 所以,对于任意的x1x2,都有f(x1)f(x2). 从而可知,函数f(x)=x2(xR)的图象上任意两点(x1, f(x1),(x2, f(x2)处的切线斜率都不相等. 于是,函数f(x) =x2(xR)的图象上任意两点处的切线都不相同. (3)由题设可知g (x)= 1o 因为g(x)在x(-,0上单调递增,所以当x(-,0时,函数g(x)的图象上任意两点处的切线的斜率

10、都互不相同,从而知当x(-,0)时,函数g(x)的图象上任意两点处的切线都不相同. 2o 因为g(x)在x(0,+)上单调递减,所以当x(0,+)时,函数g(x)的图象上任意两点处的切线的斜率都互不相同,从而知当x(0,+)时,函数g(x)的图象上任 意两点处的切线都不相同. 因此,由1o、2o及题设可知,k只能为2,且这两个点一定分别落在区间(-,0和 (0,+)上 3o 设a0, b0,记点A(a,lna),B(b,b2+2b-), 则函数g(x)的图象在点A处的切线方程为y-lna=(x-a),即 y=x+lna-1. 函数g(x)图象在点B处的切线为y-(b2+2b-)=(b+2)(x

11、-b),即 y=(b+2)x-b2-. 因为方程、表示同一条直线, 则有 把代入,得ln-1=-b2-,即 b2-ln(b+2)-=0,b(-2,0. 记h(b)=b2-ln(b+2)-,b(-2,0,则h(b)=b-=. 因为b(-2,0,所以(b+1) 2-2-2,-1. 又因为b+20,则h(b)15%, 当时,有最大值0.1665=16.65%1时, 当x变化时,与的变化情况如下表:x+-+单调递增单调递减单调递增由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为. 当时,此时有恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为R 当时,同理可得,函数的单调增区间为和,单调减区间为 综上:当时,函数的单调

12、增区间为和,单调减区间为; 当时,函数的单调增区间为R; 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为. (2)由得,得 由(1)得的单调增区间为和,单调减区间为,故M().N().直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数 上有零点. 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点. 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根. 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为 （江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）已知函数,其中为常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.

13、(1)求此平行线间的距离;(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围; (3)对于函数和公共定义域中的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【答案】解:(),的图像与坐标轴的交点为,的图像与坐标轴的交点为,由题意得,即 又,. ,函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为:,两平行切线间的距离为. ()由得,故在有解, 令,则. 当时,; 当时, , 故 即在区间上单调递减,故, 即实数m的取值范围为. ()解法一: 函数和的偏差为:, ,设为的解,则当,; 当,在单调递减,在单调递增 , 故 即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

14、 解法二: 由于函数和的偏差:, 令,;令, ,在单调递增,在单调递减,在单调递增 ,即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于2 （江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）设函数在处取得极值.()求与满足的关系式;()若,求函数的单调区间;()若,函数,若存在,使得成立,求的取值范围.【答案】,解由 得 . ()函数的, . 令,则,. 因为是的极值点, 所以,即所以当时,x1+0-0+所以单调递增区间为,单调递减区间为 当时, 所以单调递增区间为,单调递减区间为. ()当时,在上为增函数,在为减函数, 所以的最大值为. 因为函数在上是单调递增函数, 所以的最小值为 所以在上恒成立

15、 要使存在,使得成立, 只需要,即,所以.又因为, 所以的取值范围是. （江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知函数f(x)=(x-a),a,b为常数,(1)若a ,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的分别为,令点A ),B),如果直线AB的斜率为,求函数f(x)和的公共递减区间的长度;(3)若对于一切恒成立,求实数m,a,b满足的条件.【答案】解:(1) 有两不等 b和 f(x)存在极大值和极小值 (2)若a=b,f(x)不存在减区间 若ab时由(1)知x1=b,x2= A(b,0)B 当ab时 ,x1=,x2=b

16、.同理可得a-b=(舍) 综上a-b= 的减区间为即(b,b+1),(x)减区间为 公共减区间为(b,b+)长度为 (3) 若,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负. 若a+2b=0,=0, 若 则 , b=0则a0, b0 且b1，注意到函数x2ln3x在1，)内单调递增，故1x0e.再由(3)以及函数2xlnxx在(1，)内单调递增，可得10时,单调递减. 上的最大值. (当且仅当x=0时,等号成立) 对任意正整数n,取得, （江苏省启东中学2013届高

17、三综合训练（1）已知函数 (是自然对数的底)(1)若函数在点处的切线方程为,试确定函数的单调区间;(2) 当,时,若对于任意,都有恒成立,求实数的最小值; 当时,设函数,是否存在实数,使得?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1)由题意, 在点处的切线方程为, ,即,解得. , 当,在上单调递减,在单调递增. (2)由,即, 对于任意,都有恒成立,等价于对于任意恒成立. 记, 设,对恒成立,在单调递增. 而,在上有唯一零点, ,在单调递减,在上单调递增, 的最大值是和中的较大的一个, 即,m的最小值为. 假设存在,使得,则问题等价于. ,. 当时,在上单调递减, ,即,得.

18、当时,在上单调递增, ,即,得. 当时,在上,在上单调递减,在上,在上单调递增,即.(*) 由(1)知在上单调递减,故,而,不等式(*)无解. 综上所述,存在,使得命题成立. （江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）己知函数(,是自然对数的底).(1)若函数在点处的切线方程为,试确定函数单调区间;(2) 当,时,若对于任意,都有恒成立,求实数m的最小值; 当时,设函数,是否存在实数,使得若存在,求出t的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由题意, 在点处的切线方程为, ,即,解得. , 当,在上单调递减,在单调递增. (2)由,即, 对于任意,都有恒成立,等价于对于

19、任意恒成立. 记, 设,对恒成立,在单调递增. 而,在上有唯一零点, ,在单调递减,在上单调递增, 的最大值是和中的较大的一个, 即,m的最小值为. 假设存在,使得,则问题等价于. ,. 当时,在上单调递减, ,即,得. 当时,在上单调递增, ,即,得. 当时,在上,在上单调递减,在上,在上单调递增,即.(*) 由(1)知在上单调递减,故,而,不等式(*)无解. 综上所述,存在,使得命题成立. （南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道. 据交管部门收集的大量数据分析发现,该车道上行驶着的前、后两辆公共汽

20、车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v). 现已知车速为15 km/h时,安全距离为8 m;车速为45 km/h时,安全距离为38 m;出现堵车状况时,两车安全距离为2 m.(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);(2)车速v(km/h)为多少时,单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?【答案】解(1)由题设可令所求函数关系f (v)=av2+bv+c. 由题意得v=0时,d=2; v=15时,d=8; v=45时,d=38 则 解得:a=,b= ,c=2 所以d关于v的函数关系为d=v2+v+2(v0) (2)两车间的距离为d (m),则

21、一辆车占去的道路长为d+10 (m) . 设1小时内通过该车道的公共汽车数量为y辆, 则y= 由= =0,解得v=30 当0v0;当v30时,y0. 于是函数y=在区间(0,30)上递增,在区间(30,)上递减, 因此v=30时函数取最大值 y=1000 答:汽车车速定为30 km/h时,每小时通过这条专用车道的公共汽车数量最多, 能通过1000辆 （江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知函数.()若,求曲线在点处的切线方程;()求函数的单调区间;()设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.【答案】解:函数的定义域为, ()当时,函数,. 所以曲线在点处的切

22、线方程为, 即 ()函数的定义域为. (1)当时, 在上恒成立, 则在上恒成立,此时在上单调递减 (2)当时, ()若, 由,即,得或; 由,即,得 所以函数的单调递增区间为和, 单调递减区间为 ()若,在上恒成立,则在上恒成立,此时 在上单调递增 ()因为存在一个使得, 则,等价于 令,等价于“当 时,”. 对求导,得 因为当时,所以在上单调递增 所以,因此 另解: 设,定义域为, . 依题意,至少存在一个,使得成立, 等价于当 时, (1)当时, 在恒成立,所以在单调递减,只要, 则不满足题意 (2)当时,令得. ()当,即时, 在上,所以在上单调递增,所以, 由得,所以 ()当,即时,在

23、上,所以在单调递减, 所以, 由得 ()当,即时,在上,在上, 所以在单调递减,在单调递增, ,等价于或,解得,所以,. 综上所述,实数的取值范围为 （江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6),其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】解:(1)由题设知x=5时y=11,则11=+10(5-6),

24、解得a=2. (2)由(1)知该商品每日的销售量y=+10(x-6),所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)=(x-3) +10(x-6)=2+10(x-3) (x-6),3x6 对函数f(x)求导,得f (x)=10(x-6)+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6). 令f (x)=0及3x6,解得x=4 当3x0,当4x6时,f (x)0,于是有函数f (x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42 答:当销售价格x=4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42. （江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科

25、）冲刺模拟试卷doc）已知函数(1)当时,求的极小值;(2)若直线对任意的都不是曲线的切线,求的取值范围;(3)设,求的最大值的解析式.【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符【答案】 （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数.().(1)当时,求函数的极值;(2)若对,有成立,求实数的取值范围.【答案】【答案】解:(1)当时, =, 令,解得. 当时,得或; 当时,得. 当变化时,的变化情况如下表:1+00+单调递增极大单调递减极小单调递增 （20

26、13年江苏省高考数学押题试卷 ）已知函数f(x)=2x+alnx.(1)若a0,证明:对于任意两个正数x1,x2,总有f()成立;(2)若对任意x1,e, 不等式f(x)(a+3)x-x2恒成立,求a的取值范围.【答案】(1) -f()=-2-aln =aln-aln=aln. 因为, 所以1, ln0,又a0,因而a. 设g(x)=, x1,e. 因为g (x)=, 当x(1,e)时, x-10, x+1-lnx0,所以g (x)0, 又因为g(x)在x=1和x=e处连续, 所以g(x)在x1,e时为增函数, 所以ag(e)=. （江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知函数f(

27、x)=x3+x2-ax(aR).(1)当a=0时,求与直线x-y-10=0平行,且与曲线y=f (x)相切的直线的方程; (2)求函数g(x)= -alnx (x1)的单调递增区间;(3)如果存在a3,9,使函数h(x)=f(x)+f(x)(x-3,b)在x=-3处取得最大值,试求b的最大值.【答案】解:(1)设切点为T(x0,x03+x02),由f(x)=3x2+2x及题意 得3 x02+2 x0=1 解得x0=-1,或x0=. 所以T(-1,0)或T(,). 所以切线方程为x-y+1=0或27x-27y-5=0 (2)因为g(x)=x2+x-a-alnx(x1), 所以由g(x)=2x+1

28、-0,得2x2+x-a0 令(x)=2x2+x-a(x1),因为(x)在(1,+)递增,所以(x)(1)=3-a. 当3-a0即a3时,g(x)的增区间为(1,+); 当3-a3时, 因为(1)=3-a0,所以(x)的一个零点小于1、另一个零点大于1. 由(x)=0得零点x1=1, 从而(x)0(x1)的解集为(,+), 即g(x)的增区间为(,+) (3)方法一:h(x)=x3+4x2+(2-a)x-a,h(x)=3x2+8x+(2-a). 因为存在a3,9,令h(x)=0,得x1=,x2=. 当xx2时,h(x)0;当x1xx2时,h(x)0,所以9(b+3)-(b3+4b2+2b-3)0

29、,即(b+3)( b2+b-10)0. 解得b,所以b的最大值为 方法二:h(x)=x3+4x2+(2-a)x-a, 据题意知,h(x)h(-3)在区间-3,b上恒成立. 即(x3+27)+4(x2-9)+(2-a)(x+3)0,(x+3)(x2+x-1-a)0 . 若x=-3时,不等式成立; 若-3xb时,不等式可化为x2+x-1-a0,即x2+x1+a 令(x)=x2+x. 当-3b2时,(x)在区间-3,b上的最大值为(-3)=6, 不等式恒成立等价于61+a,a5,符合题意; 当b2时,(x)的最大值为(b)=b2+b,不等式恒成立等价于b2+b1+a. 由题意知这个关于a的不等式在区间3,9上有解. 故b2+b(1+a)max,即b2+b10,b2+b-100,解得2b. 综上所述,b的最大值为,此时唯有a=9符合题意