江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：整数的简单性质1 WORD版缺答案.doc

1、 整数的简单性质（一）（一）知识、技能、方法一、整数的离散性任何两个整数之间的距离至少为1，因此有不等式.二、整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表示为2m（mZ）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m1的形式. 奇、偶数具有如下性质：（1）奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=奇数；偶数偶数=偶数； 奇数偶数=偶数；奇数奇数=奇数；（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数.（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m或8m+4的形式（mZ）.（4）任何一个正整数n，都可以写成的形式，其

2、中m为非负整数，l为奇数.三、整数的整除性1定义：设a，b是整数，且b，若存在整数c，使abc，则称b整除a或a能被b整除，记作|，并称b是a的一个约数（因子），称a是b的倍数.若不存在上述c，则称b不能整除a，记为| .显然，和-1能整除任意整数，任意整数都能整除.2性质： 若c|b，b|a，则c|a. 若b|a，则bc|ac. 若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|manb. 若b|ac，且(a，b)1，则b|c. 若p为质数，p | ab，则p | a或p | b，特别地，若p | an，则p | a. 若(a，b)1，且a|c，b|c，则ab|c. 带余除法：设b0，对于任意整数

3、a，总可以找到一对惟一确定的q，r满足a=bq+r，0rb. (ab)|(anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n为正奇数) . 如果在等式中除开某一项外，其余各项都是c的倍数，则这一项也是c的倍数. n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；任意n个连续整数之积一定是n！的倍数.3整除的判别法：设整数N， 2|2|N，5| 5|N； 3|3|N，9|9|N； 4|4|N，25|25|N； 8|8|N，125|125|N； 7|7|N， 11|11|N，11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 11|N； 13|13|N.四、完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方

4、数，简称平方数.（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数；（8）奇素数能表示成两个正整数的平方和的充要条件是；（9）设正整数，其中不再含平方因数，能表示成两个整

5、数的平方的充要条件是没有形如的质因数；（10）每个正整数都能表示成四个整数的平方和.五、整数的尾数及其性质整数a的个位数也称为整数a的尾数，并记为，也称为尾数函数.（1）； （2）；（3）； （4），；（5）若，则； （6）；（7）；（8）.（二）例题分析例1、求，使它们满足不等式.例2、设，且，求证.例3、能否将分成12个互不相交的子集，每个子集中81个元素之和相等？例4、已知为各位数码全是9的31位数，为各位数码全是9的1984位数，求证.例5、设都是正奇数，求证.例6、对于任意整数，证明.例7、（1）若个整数，其和为0，其积为，证明：是4的倍数；（2）若是4的倍数，证明:可以找到个整数，

6、使其和为0，其积为.例8、已知为正整数，证明：.例9、已知都是正整数，若，证明：.例10、设是正整数，是不小于2的整数.试证：可表示成个相继奇数的和.例11、求所有这样的自然数，使得是一个自然数的平方.例12、设正整数不等于2，5，13，证明在集合2，5，13，中可以找到两个元素，使得1不是完全平方数.练习：1、证明：不存在正整数，使都是完全平方数.2、若，证明：且.3、已知为奇数，若为的一个排列，证明：为偶数.4、求满足的正整数.5、设为小于100的正整数，且，求满足条件的.6、已知为正奇数，求证：.7、证明：能被1001整除.8、设是一个奇数，证明对任意正整数，数不能被整除.9、若正整数满足，证明|.10、当时，证明：不是整数.11、设正整数满足，证明：不是质（素）数.12、求出有序整数对的个数，其中，是完全平方数.