2023年新教材高考数学一轮复习 课时过关检测（十八）函数零点问题（含解析）.doc

1、课时过关检测(十八) 函数零点问题1(2021全国甲卷)设函数f(x)a2x2ax3ln x1，其中a0(1)讨论f(x)的单调性；(2)若yf(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围解：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a2xa，则当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当0x时，f(x)0恒成立，故a22a3ln 10，得a，所以a的取值范围为2已知函数f(x)x2(a1)xaln xa2(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数yf(x)只有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当0a00x1，所以f(x)在(0，a

2、)，(1，)上单调递增，由f(x)0ax1时，由f(x)00xa，所以f(x)在(0,1)，(a，)上单调递增，由f(x)01xa，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当a1时，f(x)0f(x)在(0，)上单调递增(2)f(1)a(1)a(1)，f(a)a(ln a1)，由(1)知当0a1时，f(x)在xa处，有极大值，且f(a)0，此时函数有一个零点；当a1时，f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)1时，f(x)在(0,1)和(a，)上单调递增，在(1，a)上单调递减，f(x)在xa处，有极小值，f(x)在x1处，有极大值，则当f(1)0时函数有一个零点，有1ae综上：0ae3已知函数f

3、(x)cos xxsin x(1)讨论f(x)在2，2上的单调性；(2)求函数g(x)f(x)x21零点的个数解：(1)因为f(x)cos(x)xsin(x)cos xxsin xf(x)，xR，所以f(x)是R上的偶函数，也是2，2上的偶函数，当x0,2时，f(x)xcos x，令f(x)0，则0x或x2，令f(x)0，则x，所以f(x)在和上单调递增，在上单调递减，因为f(x)是偶函数，所以当x2，0)时，f(x)在和上单调递减，在上单调递增综上所述，f(x)在，和上单调递减，在，和上单调递增(2)由(1)得g(x)f(x)(x)21g(x)，所以g(x)是R上的偶函数，当x0,2时，g(

4、x)x，令g(x)0，则0x或x2，令g(x)0，则xg(0)0，g20，g(2)20，所以g(x)在上有一个零点，所以g(x)在0,2上有两个零点；当x(2，)时，g(x)cos xxsin xx21xx20，则f(x)1，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)因为当x0时，f(x)，所以f(x)0恒成立，即对x，a2恒成立令h(x)2，x，则h(x)，再令m(x)2ln x2，x，则m(x)0从而h(x)0，于是h(x)在上单调递增，所以对x有h(x)h23ln 3，所以a的取值范围为23ln 3，)5(2021新高考

5、卷)已知函数f(x)(x1)exax2b(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点a，b2a；0a，b2a解：(1)f(x)xe x2axx(ex2a)，当a0时，令f(x)0x0，且当x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f(x)0，f(x)单调递增当0a时，令f(x)0x10，x2ln 2a0，且当xln 2a时，f(x)0，f(x)单调递增，当ln 2ax0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f(x)0，f(x)单调递增当a时，f(x)x(ex1)0，f(x)在R上单调递增当a时，令f(x)0x10，x2ln 2a0，且当x0时，

6、f(x)0，f(x)单调递增；当0xln 2a时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln 2a时，f(x)0，f(x)单调递增(2)证明：若选，由(1)知f(x)在(，0)上单调递增，(0，ln 2a)上单调递减，(ln 2a，)上单调递增注意到fe0，f(0)b12a10f(x)在上有一个零点；f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab2aln 2a2aaln22a2aaln 2a(2ln 2a)，由a得0ln 2a2，aln 2a(2ln 2a)0，f(ln 2a)0，当x0时，f(x)f(ln 2a)0，此时f(x)无零点综上，f(x)在R上仅有一个零点若选，则由(1)知f(x)在(，ln 2a)上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，)上单调递增f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab2aln 2a2aaln22a2aaln 2a(2ln 2a)0a，ln 2a0，aln 2a(2ln 2a)0f(ln 2a)0，当x0时，f(x)f(ln 2a)0，此时f(x)无零点当x0时，f(x)单调递增，注意到f(0)b12a10取c，b2a1，c1，又可证ecc1，f(c)(c1)ecac2b(c1)(c1)ac2b(1a)c2b1c2b11b1b110f(x)在(0，c)上有唯一零点，即f(x)在(0，)上有唯一零点综上，f(x)在R上有唯一零点