2023年新高考数学大一轮复习 专题六 解析几何 第4讲 离心率范围的求法.doc

1、第4讲离心率范围的求法圆锥曲线离心率的范围是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁例(1)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.B.C2D.答案B解析方法一由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，故联立，解得|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2，要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，解得e，即e的最大值为，故选B.方法

2、二由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a，|F1F2|2c，aa2c，即双曲线的离心率e的最大值为.(2)已知P是以F1，F2为左、右焦点的椭圆1(ab0)上一点，若F1PF2120，则该椭圆的离心率的取值范围是_答案解析当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角F1PF2逐渐增大，当P点位于短轴端点P0处时，F1PF2最大存在点P为椭圆上的一点，使得F1PF2120，在P0F1F2中，F1P0F2120，在RtP0OF2中，OP0F260，即3，即，eb0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在

3、x轴上的射影恰好为右焦点F，若|k|，则椭圆C的离心率的取值范围是_答案解析设F(c,0)，将xc代入椭圆的方程，可得1，解得y，B，又A(a,0)，直线AB的斜率为k(1e)|k|，0e1，1e，解得eb0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|a，所以|OA|a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以1，所以a23b2，所以a23(a2c2)，所以3c22a2，所以椭圆的离心率为e.2已知中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点F1(c,0)，F2(c,0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|F1F2|且|PF2|5.若椭圆C1的离心率e1，

4、则双曲线C2的离心率e2的取值范围是()A.B.C(2,3) D.答案C解析设椭圆的方程为1(ab0)，由|PF1|F1F2|且|PF2|5知，2a52ce1.设双曲线的方程为1(m0，n0)，同理，可得e2.由e1知，2c，故e2(2,3)3已知P是椭圆1(ab0)上的一点，椭圆长轴的两个端点为A，B，若APB120，则该椭圆的离心率的取值范围是_答案解析设Q是椭圆的短轴的一个端点，则AQBAPB120，于是AQO60，ab，即a23(a2c2)，又0e0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q的坐标为且满足|F2Q|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|PQ|F2A|，得，所以2，所以e.因为|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|2a|F2Q|，又在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|PQ|F1F2|成立，所以2a|F2Q|F1F2|，即2a，又e1，所以e.