《新教材》2021-2022学年高中数学苏教版选择性必修第一册学案：第4章4-1第2课时　数列的通项公式与递推公式 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时数列的通项公式与递推公式必备知识自主学习导思1.什么是数列的递推公式？2什么是数列的前n项和？1.递推公式(1)概念：如果已知一个数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式(2)作用：利用递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项(1)数列1，2，4，8，的第n项an与第n1项an1有什么关系？(2)所有的数列都有递推公式吗？

2、提示：(1)an12an；(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式，如精确到1，0.1，0.01，0.001，的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，就没有递推公式2数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，为例，表示如下：通项公式法：an2n.递推公式法： 列表法：n123kan2462k图象法：3数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出

3、通项公式仅由数列an的关系式anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？提示：不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)递推公式是表示数列的一种方法()(2)根据递推公式可以求出数列已知项以外的任意一项()(3)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和()提示：(1).递推公式也是给出数列的一种重要方法(2).只需将已知的项代入递推公式即可逐个求得数列的其他项(3).由前n项和的定义可知正确2符合递推关系式anan1(n2)的数列是()A1，2，3，4，

4、 B1，2，2，C.，2，2， D0，2，2，【解析】选B.B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式anan1.3数列an中，an1an2an，a12，a25，则a5()A.3 B11 C5 D19【解析】选D.由an1an2an，得an2anan1，则a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419.4已知a11，an1(n2)，则a5_【解析】由a11，an1，得a22，a3，a4，a5.答案：5已知数列的前n项和Snn2n，则a4的值为_【解析】由已知a4S4S3(424)(323)8.答案：8关键能力合作学习类型一由递推公式求数列的项(数学运算)1若a11，an1，则给出的数

5、列an的第4项是()A. B C D2数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，则a3a5等于()A. B C D3已知数列an满足an1若a1，则a2 021_【解析】1.选C.a2，a3，a4.2选C.由题意a1a2a332，a1a222，a1a2a3a4a552，a1a2a3a442，则a3，a5.故a3a5.3计算得a22a11，a32a21，a42a3.故数列an是以3为周期的周期数列，又因为2 02167332，所以a2 021a2.答案：由递推公式求数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可若知道的是首项，通常将

6、所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式【补偿训练】 数列an中，a11，a23，aanan2(1)n，求an的前5项【解析】由aanan2(1)n，得an2，又因为a11，a23，所以a310，a433，a5109.所以数列an的前5项为1，3，10，33，109.类型二由递推公式求通项公式(逻辑推理)角度1累差法【典例】已知数列an满足a11，an1an，nN*，求通项公式an.【思路导引】先将an1an变形为an1an，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解【解析】因为an1an，所以

7、a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana111.所以an11，所以an(n2).又因为n1时，a11，符合上式，所以an(nN*).将条件变为“a1，anan1an1an(n2)”求数列an的通项公式【解析】因为anan1an1an，所以1.所以2n1.所以n1(n2)，又a1也适合上式，所以an.角度2累乘法【典例】设数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.【思路导引】先将anan1(n2)变形为，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解【解析】因为a11，anan1(n2)，所以，ana11.又因为n1时，a11，符合上式，所以

8、an(nN*).由递推公式求通项公式的方法1累差法：形如an1anf(n)的递推公式，可以利用a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN*)求通项公式；2累乘法：形如f(n)的递推公式，可以利用a1an(n2，nN*)求通项公式1已知a11，anan13(n2，nN*)，则数列的通项公式为()Aan3n1 Ban3nCan3n2 Dan3(n1)【解析】选C.因为anan13，所以anan13.所以a2a13，a3a23，a4a33，anan13，以上各式两边分别相加，得ana13(n1)，所以ana13(n1)13(n1)3n2.当n1时，也适合上式2若数列an满足(n1)a

9、n(n1)an1，且a11，则a100_【解析】由(n1)an(n1)an1，即，则a100a115 050.答案：5 050类型三由an与Sn的关系求通项公式(逻辑推理)【典例】已知数列满足a12a23a3nann2.(1)求数列的通项公式；(2)设bn(1)n，求数列的前2 020项和S2 020.四步内容理解题意条件：a12a23a3nann2结论：数列的通项公式思路探求(1)将n换为n1得另一个式子，两式相减即可求出；(2)直接求和书写表达(1)由a12a23a3nann2，可得a12a23a3(n1)an1(n1)2，所以nann2(n1)22n1，即an2，当n1时，a11也满足，

10、所以an2.(2)S2 020b1b2b2 0201.题后反思解决an和Sn关系问题，常常利用an解决由an与Sn的关系求通项公式的方法1对于一般数列an，设其前n项和为Sn，则有an这一关系对任何数列都适用2若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得a1与利用a1S1求得的a1相同，则说明anSnSn1(n2)所得通项公式也适合n1的情况，数列的通项公式用anSnSn1表示；若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得的a1与利用a1S1求得的a1不相同，则说明anSnSn1(n2)所得通项公式不适合n1的情况，数列的通项公式采用分段形式(1)已知数列的前n项和Sn

11、n2，则an等于()An Bn2 C2n1 D2n1(2)已知数列的前n项和Snn23n1，则an_【解析】(1)选D.当n1时，a1S1121，当n2时，由anSnSn1得ann222n1，验证当n1时，a12111满足上式故数列的通项公式为an2n1.(2)当n1时，a1S11313，当n2时，anSnSn1n23n1(n1)23(n1)12n4，当n1时，242a1，所以an答案：备选类型数列的周期性(直观想象、逻辑推理)【典例】已知数列an中，a11，a22，an2an1an，nN*，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 02

12、0项？【思路导引】由递推公式求数列中的指定项时，如果项数比较大，则该数列通常具有周期性，即数列的项会有周期性的变化【解析】a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，.发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6.证明如下：因为an2an1an，所以an3an2an1(an1an)an1an.所以an6an3(an)an.所以数列an是周期数列，且T6.所以a2 020a33664a41.递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项若项数很大，则应考虑数列是否具有规律已知数列

13、xn满足x1a，x2b，xn1xnxn1(n2)，设Snx1x2xn，则下列结论正确的是()Ax100a，S1002ba Bx100b，S1002baCx100b，S100ba Dx100a，S100ba【解析】选A.x1a，x2b，x3x2x1ba，x4x3x2a，x5x4x3b，x6x5x4ab，x7x6x5ax1，x8x7x6bx2，所以xn是周期数列，周期为6，所以x100x4a，因为x1x2x60，所以S100x1x2x3x42ba.课堂检测素养达标1已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的第4项是()A1 B C D【解析】选B.由a11，所以a2a11，依此类推a4.2已知数列的前n项和为Sn，若Sn，nN*，则a2()A B C D【解析】选A.因为Sn，所以a1S11，因为S2a1a2，所以a21.3若数列an满足an1(nN*)，且a11，则a17()A13 B14 C15 D16【解析】选A.由an1an1an，a17a1(a2a1)(a3a2)(a17a16)11613.4已知数列an中，a12，an(n2，nN*)，则a2 020_【解析】因为a2，a32，a4a2，所以an的周期为2，所以a2 020a2.答案：关闭Word文档返回原板块- 14 - 版权所有高考资源网