江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习：空间向量.doc

1、一、知识梳理【高考考情解读】高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题1 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同)(1)线面平行：laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直：laaka1ka2，b1kb2，c1kc

2、2.(3)面面平行：vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直：vv0a3a4b3b4c3c40.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)线线夹角：设l，m的夹角为(0)，则cos .(2)线面夹角：设直线l与平面的夹角为(0)，则sin |cosa，|.(3)面面夹角：设平面、的夹角为(0)，则|cos |cos，v|.提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析3 求空间距离直线到平面的距离，两平行

3、平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到平面的距离：d(其中n为的法向量，M为内任一点).二、课前预习1平面的法向量为m，向量a、b是平面之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：am；ab；mb.以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出所有正确的命题_2.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，则cos，的值为_3如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_4如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角

4、的大小是_三、典型例题探究点一利用向量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，CACBCC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2如图，已知平面ABCD平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点，求直线MN与平面DCEF所成的角的正弦值探究点三利用向量法求二面角例3如图，ABCD是直角梯形，BAD90，SA平面ABCD，SABCBA1，AD，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另

5、一个侧面ABC是正三角形(1)求证：ADBC；(2)求二面角BACD的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由四、课后练习一、填空题(每小题6分，共48分)1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin，的值等于_2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为_3如图，在正四面体ABCD中，E、F分别是BC和AD的中点，则AE与CF所成的角的余弦值为_4(2011南通模拟) 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1C

6、，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为_5P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_6(2011无锡模拟)已知正四棱锥PABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是_7如图，PA平面ABC，ACB90且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_8如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为_二、解答题(共42分)9(14

7、分) 如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6，OEAD.(1)求二面角BADF的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值10(14分)(2011大纲全国，19)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值11(14分)(2011湖北，18)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan 的最小值