江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题.doc

1、江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题(满分160分，考试时间120分钟)20201参考公式：锥体的体积公式VSh，其中S是锥体的底面积，h为锥体的高样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中xi.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分(第3题)1. 已知集合A1，0，1，Bx|x20，则AB_2. 若复数z满足zi1i(i是虚数单位)，则z的实部为_3. 如图是一个算法的流程图，则输出S的值是_4. 函数y的定义域是_5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是_6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选

2、2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为_7. 已知函数f(x)则f(f(8)_8. 函数y3sin(2x)，x0，取得最大值时自变量x的值为_9. 在等比数列an中，若a11，4a2，2a3，a4成等差数列，则a1a7_10. 已知，则tan 2_11. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，过A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B.若OB2a，则C的离心率为_12. 已知函数f(x)|lg(x2)|，互不相等的实数a，b满足f(a)f(b)，则a4b的最小值为_13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：x22axy22ay2a210上存在点P到点(0，

3、1)的距离为2，则实数a的取值范围是_14. 在ABC中，A，点D满足，且对任意xR，|x|恒成立，则cosABC_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，cos B.(1) 若A，求sin C的值；(2) 若b，求c的值16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，APAD，点M，N分别是线段PD，AC的中点求证：(1) MN平面PBC；(2) PCAM.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy

4、中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆右顶点为A，点F2在圆A：(x2)2y21上(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 点M在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知，求直线F1M的斜率18. (本小题满分16分)请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2，求x的取值范围；(2) 若要求包装盒容积V(

5、cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积19. (本小题满分16分)已知函数f(x)(ax22x)ln xx21(aR)(1) 若曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围(e为自然对数的底数，e2.718 28)20. (本小题满分16分)设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列An，Bn满足：存在正数L，当nN*且nm时，都有|AnBn|L，则称数列An，Bn是“(m，L)接近的”已知无穷等比数列an满足8a34a21，无穷数列bn的前n项和为Sn，b11，且，nN*.(1) 求数列an通

6、项公式；(2) 求证：对任意正整数m，数列an，a1是“(m，1)接近的”；(3) 给定正整数m(m5)，数列，bk(其中kR)是“(m，L)接近的”，求L的最小值，并求出此时的k(均用m表示)(参考数据：ln 20.69)2020届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修4-2：矩阵与变换)已知点(a，b)在矩阵A对应的变换作用下得到点(4，6)(1) 写出矩阵A的逆矩阵；(2) 求ab的值B. (选修4-4

7、：坐标系与参数方程)求圆心在极轴上，且过极点与点P(2，)的圆的极坐标方程C. (选修4-5：不等式选讲)求函数y的最小值【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中优等品的个数(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)23. 设集合A1，2，Ant|tan3nan13n1a13a0，其中aiA，i0，1，2，n，nN*.(1) 求A1中所有元素的和，并写出集合An中元素的个数；(2) 求证：能将

8、集合An(n2，nN*)分成两个没有公共元素的子集Bsb1，b2，b3，bs和Clc1，c2，c3，cl，s，lN*，使得bbbccc成立2020届高三模拟考试试卷(五)(常州)数学参考答案及评分标准1. 1，12. 13. 104. 0，)5. 26. 7. 8. 9. 6410. 211. 212. 1413. 14. 15. 解：(1) 在ABC中，0B，则sin B0.因为cos B，所以sin B.(3分)在ABC中，ABC，所以sin Csin(AB)sin(AB)，(5分)所以sin Csin(B)sin cos Bcos sin B.(8分)(2) 由余弦定理得b2a22acc

9、os Bc2，则()212cc2，(10分)所以c2c10，(c)(c)0.(12分)因为c0，所以c0，即c.(14分)16. 证明：(1) 取PC，BC的中点E，F，连结ME，EF，FN，在三角形PCD中，点M，E为PD，PC的中点，所以EMCD，EMCD.在三角形ABC中，点F，N为BC，AC的中点，所以FNAB，FNAB.因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD，ABCD，从而EMFN，EMFN，所以四边形EMNF是平行四边形(4分)所以MNEF，又EF平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面 PBC.(6分)(2) 因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.因为四边形ABC

10、D是矩形，所以ADCD.(8分)因为PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又AM平面PAD，所以CDAM.(10分)因为APAD，点M为PD的中点，所以AMPD.因为PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AM平面PCD.(12分)又PC平面PCD，所以PCAM.(14分)17. 解：(1) 圆A：(x2)2y21的圆心A(2，0)，半径r1，与x轴交点坐标为(1，0)，(3，0)点F2在圆A：(x2)2y21上，所以F2(1，0)，从而a2，c1，所以b，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 由题可设点M(x1，y1)，0x12，y10，点N(x2，y2

11、)，x20，y20，则(x12，y1)，(x22，y2)由知，点A，M，N共线(5分)由题知直线AM的斜率存在，可设为k(k0)，则直线AM的方程为yk(x2)由得或所以N(2，)(7分)由得(34k2)x216k2x16k2120，解得或所以M(，)(10分)代入得(2，)(，)，即(4k29)(52k251)0，又k0，解得k，(13分)所以M(1，)，又F1(1，0)，可得直线F1M的斜率为.(14分)18. 解：(1) 在图1中连结AC，BD交于点O，设BD与FG交于点M，在图2中连结OP.因为ABCD是边长为10 cm的正方形，所以OB10(cm)由FGx，得OM，PMBM10.(2

12、分)因为PMOM，即10，所以0x10.(4分)因为S4FGPM2x(10)20xx2，(6分)由20xx275，得5x15，所以5x10.答：x的取值范围是5x10.(8分)(2) 在RtOMP中，因为OM2OP2PM2，所以OP，VFG2OPx2，0x10.(10分)设f(x)100x410x5，0x10，所以f(x)400x350x450x3(8x)令f(x)0，解得x8或x0(舍去)，(12分)列表：x(0，8)8(8，10)f(x)0f(x)极大值所以当x8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分)所以当x8时，V的最大值为.答：当x8 cm时，包装盒容积V最大为(cm3)(

13、16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)(2ax2)ln x(ax22x)ax2(ax1)ln x2ax22(ax1)(ln x1)，(2分)则f(1)2(a1)2，所以a0.(3分)此时f(x)2xln x1，定义域为(0，)，f(x)2(ln x1)，令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得x；所以函数f(x)的单调增区间为(，)，单调减区间为(0，)(6分)(2) 函数f(x)(ax22x)ln xx21在区间1，e上的图象是一条不间断的曲线由(1)知f(x)2(ax1)(ln x1)，1) 当a0时，对任意x(1，e)，ax10，ln x10，则f(x)0，所以

14、函数f(x)在区间1，e上单调递增，此时对任意x(1，e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(8分)2) 当a0时，令f(x)0，得x或，其中1，若1，即a1，则对任意x(1，e)，f(x)0，所以函数f(x)在区间1，e上单调递减，由题意得f(1)10，且f(e)ae22ee210，解得2a，其中(1)0，即1，所以a的取值范围是2a1；(10分)若e，即a0，则对任意x(1，e)，f(x)0，所以函数f(x)在区间1，e上单调递增，此时对任意x(1，e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(12分)若1e，即1a

15、，则对任意x(1，)，f(x)0，所以函数f(x)在区间1，上单调递增，对任意x(1，都有f(x)f(1)10成立；(1分)对任意x(，e)，f(x)0，函数f(x)在区间，e上单调递减，由题意得f(e)ae22ee210，解得a，其中()0，即()，所以a的取值范围是1a.(15分)综上，实数a的取值范围是2a.(16分)20. 解：(1) 设等比数列an公比为q，由8a34a21得8a1q24a1q1，解得a1q，故an.(3分)(2) |an(a1)|()2.(5分)对任意正整数m，当nN*，且nm时，有0，则()21，即|an(a1)|1成立，故对任意正整数m，数列an，a1是“(m，

16、1)接近的”(8分)(3) 由，得到Sn(bn1bn)bnbn1，且bn，bn10，从而bn1bn0，于是Sn.(9分)当n1时，S1，b11，解得b22；当n2时，bnSnSn1，又bn0，整理得bn1bn12bn，所以bn1bnbnbn1，因此数列bn为等差数列因为b11，b22，则数列bn的公差为1，故bnn.(11分)根据条件，对于给定正整数m(m5)，当nN*且nm时，都有|2n(n2k)|L成立，即L2nn2kL2nn2对n1，2，3，m都成立(12分)考查函数f(x)2xx2，f(x)2xln 22x，令g(x)2xln 22x，则g(x)2x(ln 2)22，当x5时，g(x)

17、0，所以g(x)在5，)上是增函数因为g(5)25ln 2100，所以当x5时，g(x)0，则f(x)0，所以f(x)在5，)上是增函数注意到f(1)1，f(2)f(4)0，f(3)1，f(5)7，故当n1，2，3，m时，L2nn2的最大值为L2mm2，L2nn2的最小值为L1.(14分)欲使满足的实数k存在，必有L2mm2L1，则L，因此L的最小值，此时k.(16分)2020届高三模拟考试试卷(常州)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) A1.(4分)(2) 点(a，b)在矩阵A对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A，(6分)所以A1，(8分)所以a1，b1，得ab2.(1

18、0分)B. 解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2rcos .因为点P(2，)在圆上，所以22rcos ，解得r2.因此所求圆的极坐标方程是4cos .(10分)C. 解：函数y的定义域为0，)，10.(2分)(1)4242，当且仅当1，即x4时取到“”(8分)所以当x4时，函数y的最小值为2.(10分)22. 解：(1) 记“取出的3个样品中有优等品”为事件A，则A表示“取出的3个样品中没有优等品”，P(A)(10.3)3，所以P(A)1P(A)1.(3分)答：取出的3个样品中有优等品的概率是.(4分)(2) XB(3，0.3)，P(Xk)C0.3k(10.3)3

19、k，k0，1，2，3，(6分)随机变量X的分布如表：X0123P(8分)E(X)0123.答：随机变量X的数学期望是.(10分)23. 解：(1) A1t|ta13a0，其中aiA，i0，14，5，7，8所以A1中所有元素的和为24，集合An中元素的个数为2n1.(2分)(2) 取sl2n.下面用数学归纳法进行证明当n2时，A213，14，16，17，22，23，25，26，(3分)取b113，b217，b323，b425，c114，c216，c322，c426，有b1b2b3b4c1c2c3c478，且bbbbcccc1 612成立(4分)即当nk1时也成立(9分)综上可得：能将集合An，n2分成两个没有公共元素的子集Bs b1，b2，b3，bs和Clc1，c2，c3，cl，s，lN*，使得bbbccc成立(10分)