4.2.1 等差数列的概念-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）.doc

1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)第四章：数列4.2.1等差数列的概念【考点梳理】考点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零考点二等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项且2Aab.考点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式ana1(n1)d.考点四从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf(

2、n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1d；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.等差数列的性质考点一等差数列通项公式的变形及推广设等差数列an的首项为a1，公差为d，则andn(a1d)(nN*)，anam(nm)d(m，nN*)，d(m，nN*，且mn)其中，的几何意义是点(n，an)均在直线ydx(a1d)上可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.可用来由等差数列任两项求公差考点二等差数列的性质1若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)

3、can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为kd的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)2.下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman2ap.3在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列4等差数列an的公差为d，则d0an为递增数列；d2的解集为x|xb，则数列an的通项公式an_.四、解答题43（2021全国高二单元测试）已知数列满足，数列满足关系式（1）求，；（2）求证：数列为等差数列44（2021全国高二课时练习

4、）数列an满足a12，an1(3)an2n(nN*).（1）当a21时，求及a3的值；（2）是否存在，使数列an为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.45（2021全国高二课时练习）在等差数列an中，（1）已知a12，d3，n10，求an；（2）已知a13，an21，d2，求n；（3）已知a112，a627，求d；（4）已知d，a78，求a1和an.46（2021全国高二单元测试）数列满足，已知（1）求，；（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由47（2021全国高二课时练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是

5、等差数列;（2）求的通项公式9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案详解】1D解：因为，则，又，则，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则故选：D2A解：，且数列是等差数列，.故选：A3D解：因为，则，又，则，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则故选：D.4C【详解】设等差数列的公差为，则，联立，解得.故选：C.5D解：依题意由，解得.故选：D6D【详解】，数列是以1为首项，3为公差的等差数列，解得.故选：D.7A【详解】设等差数列的公差为.由已知条件，得即，解得.故选：A8B【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，则，所以.故选：B.

6、9A【详解】设b1a1a4a758，b2a2a5a844，b3a3a6a9.因为an是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1b32b2，所以b32b2b12445830，即a3a6a930.故选：A10D【详解】因为，所以公差，又因为，所以，所以，故选：D.11C【详解】解：设数列的公差为，则，所以，所以.故选：C.12C【详解】在等差数列中，依题意，故，解得，故和是的两根，解得，因为为正项等差数列，故公差，从而，则，即，所以.故选：.13（1）由3anan1anan10(n2，nN*)，整理得(n2，nN*)，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）可得.（3）由

7、（2），问题等价于对对任意的n2恒成立，即对对任意的n2恒成立.记，则，则当n2时，即是递增数列，.所以.14证明由即，nN*，故数列是等差数列.（2）由（1）知，所以，nN*.15（1）当时，即，解得.当时，所以，所以，即是以，公差为2的等差数列.（2）因为的通项公式为，所以当时，当时，又因为，所以数列的通项公式为：.16A【详解】a12，a53a3，得a14d3(a12d)，即da12，所以a3a12d2.故选：A.17C设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列，公差为d1d2.又d1d2

8、(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以数列anbn为常数列，所以a37b37a1b1100.故选：C.18C【详解】因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.故选：C.19A【详解】数列满足，可得，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以，数列满足，则.故选：.20C【详解】由题意，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，.所以.故选：C.21B解：因为 ，所以原式log222020.故选：B.22A【详解】设等差数列的公差为，由于，故，即，从而.故选：A.23D【详解】由题意，可得，即.又，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所

9、以，所以.故选：.24D【详解】因为2nan(n1)an1(n1)an1，所以nan(n1)an1(n1)an1nan故数列nan(n1)an1为常数列，且，所以，即，因此数列是以1为首项，5为公差的等差数列，所以，因此所以a20.故选：D25A【详解】a，b的等差中项为 .故选：A26B【详解】因为数列的首项，且各项满足公式，则，以此类推，对任意的，由可得，所以，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，因此，.故选：B.27C【详解】对于A：数列是等差数列，A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：

10、，数列是等差数列，反之若为等差数列，则，此时不一定为2，所以必要性不成立，C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；对于D：若数列是等差数列，则，成立，反之当，时，满足，但不是等差数列，D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误故选：C28D【详解】在等差数列中，所以，所以，故选：D.29C【详解】先分析四个答案，A举一反例a12，a21，则a34，a1a20，而a2a30，A错误；B举同样反例a12，a21，a34，a1a30，B错误；下面针对C进行研究，an是等差数列，若0a10，设公差为d，则d0，数列各项均为正，由于a1a3(a1d)2a1(a12d)2a

11、1dd22a1dd20，则a1a3a2，an是等差数列，若公差，则数列为常数数列，(a2a1)(a2a3)，D错.故选：C30B【详解】由于an，bn都是等差数列，所以anbn也是等差数列，而a1b16，a20b206，所以anbn是常数列，故a10b106.故选：B.31A解：设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，升，则数列，为等差数列.依题意有，又因为，故.故选：A.32B【详解】由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第个图形所需要的火柴棒数量为，则，套用关系式可以算出，第个图形所用火柴棒数量为故选：B3

12、3AC【详解】选项A正确.当时，选项B不成立.由等差数列的定义知选项C正确，证明如下：设的公差为d，则（常数），所以也是等差数列.选项D错误,比如数列为：-2，-1，0，1，2，则数列为：4，1，0，1，4故选：AC34CD【详解】解：根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以.又，所以，故选：CD.35BCD【详解】A.设等差数列的通项公式，则，不一定是常数，所以不是等方差数列，故错误；B. 因为，所以数列是等方差数列，故正确；C.因为数列是等方差数列，则，又数列是等差数列，则，当时，数列是常数列，当时，所以数列一定是常数列，故正确；D.数列是因为，则，所以，所以数列（，为常数）也是等方差数列

13、，故正确；故选：BCD36ABD解：由，得，即，又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，则，可得，故正确；当时，数列的最大项为，故错误，正确故选：37CD【详解】由题意得：，根据累加法得：.对于选项A，因，故数列不为等差数列，因此A错；对于选项B，由，得，故B错；对于选项C，因根据题意求得，故C正确；对于选项D，由，得，故D正确.故选：CD.【详解】由得：，而，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，则有，所以数列的通项公式为：.故答案为：3932【分析】由a1a52，a3a78，两式相减求得公差即可.【详解】因为a1a52，a3a78，所以(a3a7)(a1a5)4d6，解得d，所以a1

14、1a15(a1a5)20d22032.故答案为：3240#【详解】设此等差数列为an，公差为d，由题意，所以.故答案为：.41【分析】根据等差中项的性质以及对数的运算性质可得，再由基本不等式即可求解.【详解】因为，成等差数列，所以，即所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.42an2n1.【详解】因为不等式log2(ax23x6)2可转化为ax23x20，所给条件表明：ax23x20的解集为x|xb，根据不等式解集的性质可知：方程ax23x20的两根为x11，x2b.利用根与系数的关系得解得a1，b2.由此知an12(n1)2n1.故答案为：an2n1.43【详解】（1）因为，所

15、以，；（2）由题意得，当时，所以，因，所以当时，当时，由等差数列的定义可知：数列是首项为，公差为的等差数列44（1）an1(3)an2n(nN*)及a12，a21，a2(3)a12，.a3a222，a3.（2）不存在.a12，an1(3)an2n，a2(3)a1224，a3(3)a24221016.若数列an为等差数列，则a1a32a2，即22210162(24)，27130.494130，方程无实数解，不存在，即不存在使an为等差数列.45（1）ana10a1(101)d29329.（2）由ana1(n1)d得32(n1)21，解得n10.（3）由a6a15d得125d27，解得d3.（4）由a7a16d得a128，解得a110，所以ana1(n1)d10 (n1)n.46（1）；（2）存在；（1）当时，当时，解得（2）当时，要使为等差数列，则为常数，即，即存在，使为等差数列47（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.26原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！