：2012届高三数学一轮复习同步练习9-6（北师大版）.doc

1、第 9 章 第 6 节 一、选择题1(2010湖南文)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12答案 B解析 本题考查抛物线的定义由抛物线的定义可知，点 P 到抛物线焦点的距离是 426.2(2010陕西理)已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆 x2y26x70 相切，则 p 的值为()A.12B1C2 D4答案 C解析 抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2.又圆 x2y26x70，即(x3)2y216.则P21，p2.3过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于

2、5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条D不存在答案 B解析 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 与 x 轴垂直时，x1x22，与 y 轴垂直时，只一个交点，故 AB 不与两轴垂直，设过焦点 F(1,0)的直线 l：yk(x1)，则 k0.由ykx1y24x消去 y 得，k2x2(2k24)xk20，x1x22k24k25，解得 k2 33.4(2009天津理)设抛物线 y22x 的焦点为 F，过点 M(3，0)的直线与抛物线交于 A，B两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|2，则BCF 与ACF 的面积之比SBCFSACF()A.45B.23C.47D.1

3、2答案 A解析 本小题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的关系等设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|2，12x22，x232，B(32，3)，(取 y20)又 AB 过 M(3，0)点，AB 所在直线方程为 y2(2 3)(x 3)代入 y22x 得 x12，又 C 点横坐标为12.SBCFSACFx212x112321221245.故选 A.5(2009全国理)已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A、B 两点，F 为C 的焦点若|FA|2|FB|，则 k()A.13B.23C.23D.2 23答案 D解析 本题考查抛物线的定义，以及分析问题解决问题的能力

4、、运算能力设 A、B 两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由ykx2y28x，消去 y 得 k2x24x(k22)4k20，x1x242k2k2，x1x24.由抛物线定义得|AF|x12，|BF|x22，又|AF|2|BF|，x122x24，x12x22 代入 x1x24，得 x22x220，x21 或2(舍去)，x14，42k2k25，k289，k0，k2 23.6(2008宁夏、海南)已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为()A.14，1B.14，1C(1,2)D(1，2)答案 A解析 如

5、图，求|PQ|PF|的最小值即求|PA|PQ|的最小值(PAl)，当 A、P、Q 三点共线时，|PA|PQ|最小，此时 P14，1，故选 A.7抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则 AKF 的面积是()A4 B3 3C4 3D8答案 C解析 如图所示，抛物线方程为 y24x，F(1,0)，F1(1,0)，根据抛物线的定义，AKAF，又AFx60，AKF 是等边三角形，由 F 作 FMAK 于 M，则有 MK2，等边三角形边长为 4，SAKF 34 424 3.8对于任意 nN*，抛物线 y(n2n

6、)x2(2n1)x1 与 x 轴交于 An、Bn 两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2012B2012|的值是()A.20102011B.20112012C.20112013D.20092010答案 C解析 设 An(xn,0)，Bn(xn,0)，则 xnxn2n1n2n，xnxn1n2n，|AnBn|xnxn|xnxn24xnxn2n1n2n24n2n1n2n1nn11n 1n1，|A1B1|A2B2|AnBn|112 1213 1n 1n1 1 1n1 nn1，当 n2012 时，结果为20122013.点评 由条件知 An、Bn 的横坐标 x1、x2 是方程

7、(n2n)x2(2n1)x10 的两根，x1 1n1，x21n，|x1x2|1n 1n1.二、填空题9(2010重庆理)已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点 A、B 满足AF3FB，则弦 AB的中点到准线的距离为_答案 83解析 如右图，设|AF|m，|FB|n，由1m1n2P得1m1n1，即 13n1n1，n43，AB 中点到准线的距离 dmn2123 43283.10已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时，量得水面宽 8 米，当水面升高 1 米后，水面宽度是_米答案 4 2解析 设抛物线拱桥的方程为 x22py，当顶点距水面 2 米时，量得水面宽 8 米，即抛物线过点(4，2)

8、代入方程得 164pp4，则抛物线方程是 x28y，水面升高 1 米时，即 y1 时，x2 2则水面宽为 4 2米11设 P 是抛物线 yx2 上的点，若 P 点到直线 2xy40 的距离最小，则 P 点的坐标为_答案(1,1)解析 解法 1 设 P 点坐标为(x0，x02)，由点到直线的距离公式得 d|2x0 x024|5 55|x022x04|55|(x01)23|3 55.由上式可知当 x01 时，dmin3 55.点 P 的坐标为(1,1)解法 2 如图，平移 2xy40 这条直线至过点 P 与抛物线相切，则 P 点到直线的距离最短设 P(x0，y0)，y2x.过 P 点的切线斜率 k

9、y|xx02x02.x01，y0 x021，故 P 点坐标为(1,1)三、解答题12(2011东北三校调研)点 M(5,3)到抛物线 yax2 的准线的距离为 6，试求抛物线的方程解析 当抛物线开口向上时，准线为 y 14a，点 M 到它的距离为 14a36，a 112，抛物线的方程为 y 112x2.当抛物线开口向下时，准线为 y 14a，M 到它的距离为 14a36，a 136，抛物线的方程为 y 136x2.综上可知抛物线的方程为 y 112x2 或 y 136x2.13P 是抛物线 y24x 上的一个动点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值

10、；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解析(1)抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.P 点到准线 x1 的距离等于 P 到 F(1,0)的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使 P 到 A(1,1)的距离与 P 到 F(1,0)的距离之和最小显然 P 是 AF 的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|5.即：所求距离的最小值为 5.(2)|PF|与 P 点到准线的距离相等，如图，过 B 作 BQ准线于 Q 点，交抛物线于 P1 点|P1Q|P1F|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.|PB|PF|的最小值为 4.14(2010福建文)已知抛物线 C：y22px(p0)过点

11、 A(1，2)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线OA 与 l 的距离等于 55？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解析 本小题主要考查直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想(1)将(1，2)代入 y22px，得(2)22p1，所以 p2.故所求的抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2xt由y2xty24x得 y22y2t0因为直线

12、 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t12.另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d 55，可得|t|5 15，解得 t1.综上知：t1.所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10.15设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN 2MP，PM PF.(1)当点 P 在 y 轴上运动时，求 N 点的轨迹 C 的方程；(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上的三点，且|AF|、|BF|、|DF|成等差数列，当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于 E(3,0)时，求 B 点的坐标解析(1)MN 2MP，故 P 为 MN

13、 中点又PM PF，P 在 y 轴上，F 为(1,0)，故 M 在 x 轴的负半轴上，设 N(x，y)，则 M(x,0)，P0，y2，(x0)，PM x，y2，PF1，y2，又PM PF，PM PFxy240，y24x(x0)是轨迹 C 的方程(2)抛物线 C 的准线方程是 x1，由抛物线定义知|AF|x11，|BF|x21，|DF|x31|AF|、|BF|、|DF|成等差数列，x11x312(x21)，x1x32x2又 y124x1，y224x2，y324x3，故 y12y32(y1y3)(y1y3)4(x1x3)，kADy1y3x1x34y1y3，AD 的中垂线为 yy1y34(x3)AD 中点x1x32，y1y32在其中垂线上，y1y32y1y34x1x323.x2x1x321.由 y224x2.y22.B 点的坐标为(1,2)或(1，2)