（广东专用）2023版高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 9.5 二项分布与超几何分布、正态分布课件.ppt

1、9.5 二项分布与超几何分布、正态分布1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义.1.二项分布(1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验.显然，n 重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做 n 次，且各次试验的结果相互独立.(2)二项分布：一般地

2、，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0p0 为参数.我们称 f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示.若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布.记为 XN(，2).特别地，当 0，1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.若 XN(，2)，则如图所示，X 取值不超过 x 的概率 P(Xx)为图中区域 A 的面积，而 P(aXb)为区域 B的面积.(3)正态曲线的特点曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；曲线在 x 处达到峰值12；当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.在参数 取固定值时，正态曲

3、线的位置由 确定，且随着 的变化而沿 x 轴平移，如图 1 所示.图 1当 取定值时，正态曲线的形状由 确定.当 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量 X 的分布比较集中；当 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X 的分布比较分散，如图 2 所示.图 2(4)正态分布的均值、方差：若 XN(，2)，则 E(X)，D(X)2.(5)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3.在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(，2)的随机变量 X 只取3，3中的值，这在统计学中称为 3 原则.【常用结论】4.n 次独立重复

4、试验中恰好发生 k 次的概率与第 k 次才发生的概率计算公式分别是 Pn(k)Cknpk(1p)nk与 Pk(1p)k1p.5.二项分布的增减性与最大值 记 pkP(xk)，则当 kpk1，pk 递增；当 k(n1)p 时，pkpk1，pk 递减.故 pk 最大值在k(n1)p 时取得(此时 pkpk1，两项均为最大值；若(n1)p 非整数，则 k 取(n1)p 的整数部分时，pk最大且唯一).6.正态分布计算常用结论(1)P(Xa)1P(Xa).(2)P(Xa)P(Xa).(3)P(X0).判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”.(1)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连

5、续射击了 10 次，是 n 重伯努利试验.()(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n 二项展开式的通项公式，其中 ap，b1p.()(3)抛掷三枚骰子，点数是 6 的骰子个数记为 X，则 X 的概率分布是超几何分布.()(4)正态曲线不一定位于 x 轴上方，它与 x 轴可能有交点.()(5)当 一定时，正态曲线的形状由 确定，越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).(2021 天津市实验中学滨海学校高二期中)在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，

6、则下列概率中等于C47C68C1015 的是()A.P(X2)B.P(X2)C.P(X4)D.P(X4)解：X 服从超几何分布，P(Xk)Ck7C10k8C1015，故 k4，故选 C.(2020 山西灵丘豪洋中学高二期末)已知随机变量 X2Y2，若 XB(10，0.4)，则E(Y)，D(Y)分别是 ()A.4 和 0.6B.4 和 2.4C.1 和 2.4D.1 和 0.6解：因为 XB(10，0.4)，则 E(X)100.44，D(X)100.4(10.4)2.4，由 X2Y2，得 YX21，则 E(Y)EX21 12E(X)112411，D(Y)122D(X)142.40.6.故选 D.

7、(教材改编)某品牌摄像头的使用寿命 X(单位：年)服从正态分布，且使用寿命多于 2年的概率为 0.8，使用寿命不少于 6 年的概率为 0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在 4 年内这两个摄像头都能正常工作的概率为_.解：由题意知 P(X2)0.8，P(X6)0.2，所以 P(X2)P(X6)0.2，所以正态曲线的对称轴为直线 x4，所以 P(X4)0.5，即每个摄像头在 4 年内能正常工作的概率为 0.5，所以两个该品牌的摄像头在 4 年内都能正常工作的概率为 0.50.50.25.故填 0.25.考点一 二项分布命题角度 1 n 重伯努利试验(2021 届湖南师大附中第二次

8、月考)现有 4 个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 Z|XY|，求随机变量 Z 的分布列与数学期望 E(Z).解：(1)依题意可得：参加甲游戏的概率为 P12613，参加乙游戏的概率为 P24623，设事件 Ai 为“有 i 个人

9、参加甲游戏”，i0，1，2，3，4，则 P(Ai)Ci413i234i，所以 P(A2)C24132232 827.(2)设事件 B 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”，则 BA3A4，所以 P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)C3413323C4413419.(3)Z 的所有可能取值为 0，2，4，所以 P(Z0)P(A2)C24132232 827，P(Z2)P(A1)P(A3)C1413233C34133234081，P(Z4)P(A0)P(A4)C04234C441341781，所以 Z 的分布列为 Z024P82740811781所以 E(Z)0 82724081417811488

10、1.【点拨】在求 n 重伯努利试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率.(2020 辽宁调兵山一中高三月考)某检疫部门对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为 110，两轮检测是否合格相互没有影响.(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损 80 元(即获利80 元).已知一箱中有该海产品 4 件，记一箱该海产品获利 X元，求 X 的分布列.解

11、：(1)设“该海产品不能销售”为事件 A，则 P(A)1116 1 110 14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知可知 X 的可能取值为320，200，80，40，160.P(X320)144 1256，P(X200)C1414334 364，P(X80)C24142342 27128，P(X40)C34143432764，P(X160)344 81256.所以 X 的分布列为 X3202008040160P125636427128276481256命题角度 2 二项分布(2019 天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校

12、情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率.解：(1)由题意知 XB3，23，从而 P(Xk)Ck323k133k，k0，1，2，3.所以随机变量 X 的分布列为 X01 23P1272949827 随机变量 X 的数学期望 E(X)3232.【点拨】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：试验是否为 n 重伯努利试验；随机变量是否为这 n

13、 重伯努利试验中某事件发生的次数.(2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 Y，则 YB3，23，且 MX3，Y1X2，Y0.由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由(1)知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0)P(X3，Y1)P(X2，Y0)P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0)8272949 127 20243.(2021 届辽宁六校一联)某省实行的“新高考方案：312”模式，其中“3”指统一高考的语文、数学、外语 3 个科目，“1”指考生在物理、历史 2 个科目中选择一个；“2”指考生在思想政治、地理、化学、生物 4 个

14、科目中选择 2 个.某校根据统计，选物理的学生人数占整个学生人数的34，在选物理的条件下，选择地理的概率为23，在选历史的条件下，选地理的概率为45.(1)求该校最终选地理的学生概率；(2)设该校甲、乙、丙三人中选地理的人数为随机变量 X.求 X 的概率分布列以及数学期望.解：(1)该校最终选地理的学生记为事件 A，则 P(A)34231445 710.(2)由题意可知，XB3，710，所以 P(X0)3103 271 000，P(X1)C13 7103102 1891 000，P(X2)C237102 310 4411 000，P(X3)C337103 3431 000，所以，随机变量 X

15、的分布列为 X0123P271 0001891 0004411 0003431 000 所以 E(X)3 7102110.考点二 超几何分布某大学志愿者协会有 10 名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学的概率为25.专业性别 中文英语数学体育男/人n1m1女/人1111现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求 m，n 的值；(2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率；(3)设 X 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量 X 的分布

16、列、数学期望及方差.解：(1)设事件 A 为“从 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学”.由题意可知，数学专业的同学共有(1m)名，则 P(A)1m10 25，解得 m3.因为 mn610，所以 n1.(2)设事件 B 为“选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生”，则 P(B)C13C231C310 112.(3)由题意可知，这 10 名同学中是女生或专业为数学的人数为 7，X 的可能取值为 0，1，2，3.P(X0)C33C310 1120，P(X1)C17C23C310 21120 740，P(X2)C27C13C310 631202140，P(X3)C37C310

17、35120 724.所以 X 的分布列为 X0123P11207402140724 E(X)0 11201 740221403 7242110.D(X)021102 1120121102 7402211022140321102 724 49100.【点拨】超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(Xk)CkMCnkNMCnN，即恰取了 k 件次品的概率次品中取了k件正品中取了nk件N件产品中任取n件.当 n 较小，N 较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替.也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当 n 较小而产品总数 N 很大时，不放回

18、抽样近似于放回抽样.超几何分布在计算出均值后，可以用nMN 进行验证.(2020 届北京人大附中 6 月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对班级某一组的所有学生进行了调查，调查结果如下表(每名学生至少完成一套).(1)从该组学生中任选一名男生、一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为 4 的概率；(2)若从完成套卷数不少于 4 套的学生中任选 4 人，设选到的男生人数为 X，求随机变量 X的分布列和数学期望.解：(1)设事件 A：从该组学生中任选一名男生、一名女生，这两名学生完成套卷数之和为 4，由题意可知，P(A)1341128 796.(2)完成套卷数不少于 4 本的学生

19、共 8 人，其中男生为 4 人，故 X 的取值为 0，1，2，3，4.由题意可得 P(X0)C44C48 170；P(X1)C14C34C48 835；P(X2)C24C24C48 1835；P(X3)C34C14C48 835；P(X4)C44C48 170.所以随机变量 X 的分布列为 X01234 P1708351835835170 E(X)0 1701167023670316704 1702.考点三 正态分布命题角度 1 正态曲线的应用(1)【多选题】(2020 年江苏镇江吕叔湘中学高二下期中)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布 N(1，21)，N(2，22)，其正态分

20、布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是 ()A.甲类水果的平均质量 10.4 kgB.乙类水果的平均质量 21.99 kgC.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近解：由题图象可知，甲图象关于直线 x0.4 对称，乙图象关于直线 x0.8对称，所以 10.4，20.8，且 12，故 A，C 正确，B 不正确；甲图比乙图更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故 D 正确.故选 ACD.(2)【多选题】已知正态分布 N(，2)的密度曲线是 f(x)12 e（x）22 2，下列四个命题正确的是()A.对任意 xR，f

21、(x)f(x)成立B.如果随机变量 XN(，2)，且 F(x)P(Xx)，那么 F(x)是 R 上的增函数C.如果随机变量 XN(108，100)，那么 X 的数学期望是 108，标准差是 100D.随机变量 XN(，2)，P(X2)p，则 P(0X2)P(X0)p，则 P(0 x2)12p，故 D 正确.故选 ABD.【点拨】利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.(1)(2020 山东潍坊高三期末)老师想要了解全班 50 名同学的成绩状况，为此随机抽查了 10名学生某次考试的数学与

22、物理成绩，结果列表如下：学生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均标准差数学8862x1x2x3x4x5x6x7x8X60(X)94物理7563y1y2y3y4y5y6y7y8Y65(Y)23若这 10 名同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是()A BC D解：由 X(Y)，知数学成绩分布曲线即实线应“矮胖”，而物理成绩分布曲线应相对“瘦高”，排除 C，D，应选 A.故选 A.(2)某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长 X(单位：h)近似服从正态分布，人均活动时间

23、约为 40 h.若某高中学校 1 000 名学生中参加该活动时间在 30 h 至 50 h 之间的学生约有 300 人.据此，可推测全市 n 名学生中，累计时长超过 50 h 的人数大约为_.解：由题意，40，则 XN(40，2)，由 P(30X50)0.3，可得 P(X50)10.320.35，故累计时长超过 50 h 的人数大约有 0.35n.故填 0.35n.命题角度 2 综合应用(2020 届吉林吉化一中测试)某市决定参加创建“全国文明卫生城”测评.为确保创建全国文明城市各项目标顺利完成，该市不断加大宣传力度和管理力度，在此期间通过网络对市民进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加

24、一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人中，得分统计结果如下表所示：组别30，40)40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100频数213212524114(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 N(，198)，近似为这 100 人得分的平均值，利用该正态分布求 P(37.579.5).(注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)在(1)的条件下，为鼓励市民参与“创建”，该市对参加问卷调查的市民制定了如下奖励方案：得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的

25、金额/元2050概率2313现有市民甲参加此次问卷调查，记 X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学期望.附：352451355216525752485119546 550；19814;若 XN(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3 X 3)0.997 3.解：(1)由题意，可得，352451355216524851195410065.5，19814，所以 P(37.579.5)P(2)0.954 50.954 50.682 720.818 6.(2)由题意，可得 P()P()12，则获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，7

26、0，100，P(X20)122313，P(X40)12232329，P(X50)121316，P(X70)12231312132329，P(X100)121313 118，则 X 的分布列为 X20405070100P13291629118 所以期望 E(X)2013402950167029100 11845.【点拨】解决正态分布问题有三个关键点：对称轴 x；标准差；分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为，2或 3 特殊区间，从而求出所求概率.为了加强爱校教育，某高校从新入学的全体学生中随机抽取了 100 人，对他们进行校史问卷测试，得分在 4

27、595 之间，分为45，55)，55，65)，65，75)，75，85)，85，95五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为 40.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数 X 和方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).(2)根据样本数据，可认为新入学的学生校史问卷测试分数 X 近似服从正态分布 N(，2)，其中 近似为样本平均数 X，2 近似为样本方差 s2.()求 P(47.2X79.9)；()在某间寝室有 6 人，求这 6 个人中至少有 1 人校史问卷测试分数在 90.8 分以上的概率.参考数据：若 XN(，2)，则 P(X )0.682 7，P(2X2)0.

28、954 5；11910.9，0.954 560.76，0.977 2550.89，0.977 2560.87.解：(1)由题意得各组的频率依次为 0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，则平均数 X0.1500.25600.4700.15800.19069；方差 s20.1(5069)20.25(6069)20.4(7069)20.15(8069)20.1(9069)2119.(2)()由(1)得 X69，2s2119，故学生校史问卷测试分数 X 近似服从正态分布 N(69，10.92)，则 P(47.2X79.9)P(69210.9X6910.9)P(2X)12P(2X2)P(X90.8)P(X2)121P(2X2)0.022 75，故随机抽取一名学生，测试分数在 90.8 分以上的概率为 0.022 75.设“这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件A，则 P(A)1P(A)1(10.022 75)610.870.13，故这 6 个人中至少有 1 人校史问卷测试分数在 90.8 分以上的概率为 0.13.