（广东专用）2023版高考数学一轮总复习 第二章 函数 2.3 幂函数与二次函数课件.ppt

1、2.3 幂函数与二次函数 1.通过具体实例，结合 yx，y1x，yx2，y x，yx3 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.掌握二次函数定义、解析式求法、性质、图象等，并能熟练应用以解决与二次函数相关问题.【教材梳理】1.幂函数(1)定义：一般地，函数 yx 叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较性质函数图象定义域值域奇偶性单调性公共点yxRR奇在R上单调递增(1，1)yx2Ry|y0偶在(，0上单调递减；在0

2、，)上单调递增yx3RR奇在 R 上单调递增yx12x|x0y|y0非奇非偶在0，)上单调递增yx1x|x0y|y0奇在(，0)和(0，)上单调递减(1，1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xh)2k(a0).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(2)二次函数的图象与性质：二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：对称轴：x b2a.顶点坐标：b2a，4acb24a.开口方向：a0 时，开口向上；a0 时，开口向下.值域：a0 时，y4acb24a

3、，；a0 时，y，4acb24a.单调性：a0 时，f(x)在，b2a 上单调递减，在 b2a，上单调递增；a0 时，f(x)在，b2a 上单调递增，在 b2a，上单调递减.(3)三个“二次”之间的关系：二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程 ax2bxc0 的根，也是一元二次不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)解集的端点值.(4)二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.【常用结论】3.幂函数相关常用结论(1)一般地，在区间(0，1

4、)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，图象越远离 x 轴(不包括幂函数 yx0).(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，最多只能同时出现在两个象限内.(3)形如 yxmn或 yxmn(m，n 为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当 m，n 都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当 m 为奇数，n 为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当 m 为偶数，n 为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.4.二次函数相关常用结论对于二次函数 f(x)ax2bxc(a0)：(1)|a|越大，抛物线开口越小；|

5、a|越小，抛物线开口越大.(2)f(1)abc，f(1)abc，f(0)c.(3)|AB|x1x2|a|（x1x2）24x1x2，其中 A(x1，0)，B(x2，0)为二次函数图象与 x 轴的交点.(4)若对 f(x)定义域内任意两个不等的自变量 x1，x2，有 f(x1)f(x2)，则 yf(x)的图象关于直线 xx1x22对称.5.一元二次方程根的分布设 x1，x2 是实系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两实根，则 x1，x2 的分布范围与系数之间的关系如表所示.根的分布(mnp 且m，n，p 均为常数)图象满足的条件x1x2m0，b2a0mx1x20，b2am，f（m）0根的分布

6、(mnp 且 m，n，p 均为常数)图象满足的条件x1mx2f(m)0，m b2a0，f（n）0mx1nx2pf（m）0，f（n）0mx1x2n0，m b2an只有一根在区间(m，n)内f(m)f(n)0判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”.(1)函数 y3x3 是幂函数.()(2)二次函数 yax2bxc，xm，n的最值一定是4acb24a.()(3)二次函数 yax2bxc，xR 不可能是偶函数.()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(5)当 n0 时，幂函数 yxn 是定义域上的减函数.()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).(教 材

7、复 习 题 改 编)已 知 幂 函 数 f(x)xa 的 图 象 经 过 点(2，4)，则 f(3)()A.9 B.9 C.3 D.3解：因为幂函数 f(x)xa 的图象过点(2，4)，所以 2a4，a2，f(x)x2，所以 f(3)(3)29.故选 B.(2020 呼和浩特开来中学期末)已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，1)，且过点(2，2)，则该二次函数的解析式为 ()A.yx21 B.y(x1)21C.y(x1)21 D.y(x1)21解：设二次函数的解析式为 ya(x1)21，将(2，2)代入上式，2a(21)21 得 a1，所以 y(x1)21.故选 C.(2020 江苏卷)已知

8、yf(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)x23，则 f(8)的值是_.解：f(8)8234，因为 f(x)为奇函数，所以 f(8)f(8)4.故填4.考点一 幂函数的图象和性质(1)已知幂函数 yf(x)的图象过点12，22，则 log2f(2)的值为()A.12B.12C.1 D.1解：设 f(x)xa，因为 f(x)的图象过点(12，22)，故(12)a 22 a12，所以 f(x)x12，故 log2f(2)log221212.故选 A.(2)(2020 内蒙古宁城高一期末)已知函数 yxa，yxb，yxc 的部分图象如图所示，则 a，b，c 的大小关系为()A.cba B.abcC.

9、bca D.ca1，0b1，c(3x1)23的解集为()A.13，1 B.(1，0)C.(0，1)D.(，0)(1，)解：yx23是偶函数，且在0，)上单调递增，故|x1|3x1|，所以(x1)2(3x1)2，解得1x0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当 0 时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.(1)已知幂函数 f(x)k2xa1 的图象过点12，22，则 ka()A.12B.32C.12或32D.2解：因为 f(x)k2xa1 是幂函数，所以 k21，k1.又 f(x)的图象过

10、点12，22，所以12a1 22，所以 a112，所以 a12，所以 ka11212或32.故选C.(2)幂函数 yxm24m(mZ)的图象如图所示，则 m 的值为()A.0 B.1C.2 D.3解：因为 yxm24m(mZ)的图象不过原点，所以 m24m0，即 0m2x 的解集为(1，3).若方程 f(x)6a0 有两个相等的根，则 f(x)的解析式为_.解：因为 f(x)2x0 的解集为(1，3)，设 f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0，所以 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.则方程 f(x)6a0，即 ax2(24a)x9a0.【点拨】根据已知条件确定二次函数的

11、解析式，一般用待定系数法，方法如下：因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，解得 a1 或 a15.由于 a0，所以 a15，代入式得 f(x)15x265x35，即为所求.故填 f(x)15x265x35.(1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式是 y_.解：设 ya(x2)21(a0)，当 x0 时，4a11，a12，所以 y12(x2)2112x22x1.故填12x22x1.(2)若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_.解：因为 f(x)的值域为(，4，所以 a0，b

12、0，由 f(x)是偶函数知 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以a2ab 0，b2，所以 f(x)2x22a2，又 f(x)的值域为(，4，所以 2a24，故 f(x)2x24.故填2x24.(3)已知二次函数 yf(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)_.解：因为 f(2x)f(2x)对任意 xR 恒成立，所以 f(x)图象的对称轴为 x2.又因为 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，所以 f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0)，又 f(x)的图象

13、过点(4，3)，所以 3a3，a1，所以所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)，即 f(x)x24x3.故填 x24x3.考点三 二次函数的图象与性质命题角度 1 二次函数的图象【多选题】如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3，0)，对称轴为 x1.则下面四个结论中正确的是 ()A.b24ac B.2ab1C.abc0 D.5ab解：因为图象与 x 轴交于两点，所以 b24ac0，即 b24ac，A 正确；对称轴为 x1，即 b2a1，2ab0，B 错误；结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，C 错误；由对称轴为 x1 知，b2a，又函数图象开口向下，

14、所以 a0，所以 5a2a，即 5ab，D 正确.故选 AD.【点拨】对于函数 f(x)ax2bxc，若是二次函数，就隐含 a0，当题目未说明是二次函数时，就要分 a0 和 a0 两种情况讨论；在二次函数 yax2bxc(a0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向(a 的大小决定开口大小)，c 确定抛物线在 y 轴上的截距，b 与 a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).(1)抛物线 yax2bxc 的顶点在第一象限，与 x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则 a，b，c 的符号为()A.a0，b0，c0 B.a0，b0，c0C.a0，b0，c0 D.a0，b0，c0解：由题意知抛物线开口向下，故

15、 a0.由抛物线与 x 轴的两个交点分别位于原点两侧得ca0.再由顶点在第一象限得 b2a0，所以 b0.故选 B.(2)已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则()A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以 f(x)先减后增，所以 a0.故选 A.命题角度 2 二次函数的单调性若函数 f(x)x22ax3 在区间4，6上是单调函数，则实数 a 的取值范围为_.解：由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.故填(，64，).【点拨】二次函数的单调性由其

16、图象开口方向及对称轴位置确定，故而若是二次项系数含参数，则往往还需要讨论其正负(开口方向).如果函数 f(x)ax22x3 在(，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是()A.14，B.14，C.14，0D.14，0解：当 a0 时，函数 f(x)2x3 为一次函数，在(，4)上单调递增；当 a0 时，依题意知，a0 且对称轴1a4，解得 a14，又 a0，故14a0.综上，14a0.故选 D.命题角度 3 二次函数的最值(1)若函数 f(x)x23x4 的定义域为0，m，值域为254，4，则 m 的取值范围是_.解：函数 f(x)图象的对称轴为 x32，且 f32 254，f(3)f(0)

17、4，由二次函数的图象知 m 的取值范围为32，3.故填32，3.(2)已知函数 f(x)x22ax1a 在区间0，1上的最大值为 2，则 a 的值为()A.2 B.1 或3C.2 或3 D.1 或 2解：函数 f(x)x22ax1a 图象的对称轴为直线 xa，开口向下.当 a0 时，f(x)在区间0，1上单调递减，所以 f(x)maxf(0)1a，由 1a2，得 a1；当 0a1 时，f(x)在区间0，a上单调递增，在a，1上单调递减，所以 f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由 a2a12，解得 a1 52或 a1 52，因为01 时，f(x)在区间0，1上单调递增，所以 f(x)

18、maxf(1)12a1a2，所以 a2.综上可知，a1 或 a2.故选 D.【点拨】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.(1)若函数 f(x)x22x1 在区间a，a2上的最小值为 4，则 a 的取值集合为()A.3，3B.1，3C.3，3 D.1，3，3解：函数 f(x)x22x1(x1)2，其图象的对称轴方程为 x1.因为 f(

19、x)在区间a，a2上的最小值为 4，令 x22x14x1 或 3.令 a21 或 a3，得 a3 或 3，故 a 的取值集合为3，3.故选 C.(2)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足：当 x(，0时，f(x)x2mx1.()当 x0 时，f(x)的解析式为_；()若函数 f(x)在区间2，4上的最大值为 4，则 m 的值为_.解：()当 x0 时，x0，f(x)x2mx1.因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)x2mx1(x0).()当m22，即 m4 时，f(x)在2，4上单调递减，所以 f(2)42m14，m92，不符合；当 2m24，即8m4 时，m24 14，m2 5，此时

20、 m2 5；当m24，即 m8 时，f(x)在2，4上单调递增，所以 f(4)164m14，m214，不符合.综上可得 m2 5.故填()f(x)x2mx1；()2 5.命题角度 4 二次方程根的分布已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围；(2)若方程两不等实根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围.解：(1)条件说明抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，作出函数 f(x)的大致图象，得 f（0）2m10，f（1）4m20m12，mR，m56.故

21、 m 的取值范围为m|56m12.(2)由抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，作出函数 f(x)的大致图象，得f（0）2m10，f（1）4m20，（2m）24（2m1）0，0m1.解得12m1 2.故 m 的取值范围为m|12m1 2.【点拨】根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解.(1)(2020 安徽省临泉一中高一月考)二次方程 x2(a21)xa20有一个根比 1大，另一个根比1 小，则 a 的取值范围是 ()A.(2，0)B.(1，0)C.(3，1)D.(0，2)解：设 f(x)x2(a21)xa2，抛物线开口向上，所以f（1）

22、0，f（1）0，解得1a0，f（1）0，即42bc0，1bc0，即2bc4，bc1，又 f(3)93bc，令 3bcm(2bc)n(bc)，则2mn3，nm1，解得m4，n5，故 3bcm(2bc)n(bc)445(1)11，所以 f(3)20.又 c0 且 cb1，故 b10，即 b1，所以 3bc3，即 f(3)12.综上知 f(3)的取值范围是(12，20).故选 C.命题角度 5 二次函数中的恒成立问题(1)对于任意 a1，1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值恒大于零，那么 x 的取值范围是()A.(1，3)B.(，1)(3，)C.(1，2)D.(3，)解：原问题可转化为关于

23、a 的一次函数 ya(x2)x24x40 在 a1，1上恒成立，只需（1）（x2）x24x40，1（x2）x24x40，所以x3或x2，x1或x2，所以 x1 或 x3.故选 B.(2)已知在(，1上单调递减的函数 f(x)x22tx1，且对任意的 x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数 t 的取值范围是 ()A.2，2 B.1，2 C.2，3 D.1，2解：由于 f(x)x22tx1 的图象的对称轴为 xt，又 yf(x)在(，1上单调递减，所以 t1.则在区间0，t1上，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的 x1，x20，t1

24、，都有|f(x1)f(x2)|2，只需 1(t21)2，解得 2t 2.又 t1，所以 1t 2.故选 B.【点拨】由不等式恒成立求参数的取值范围，常用的方法有两种：一是分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min；二是判别式法，转化依据是 f(x)0(a0)恒成立的充要条件为a0，0，f(x)0(a0)恒成立的充要条件为a0，0.(1)(2020 玉林期末)已知函数 f(x)x2(4k)x，若 f(x)k2 对x1，2恒成立，则 k 的取值范围为()A.，72B.72，C.，143D.143，解：由题意可得，x2(4k)xk2

25、0 在 x1，2上恒成立，设 g(x)x2(4k)xk2，由于 yg(x)的图象为开口向上的抛物线，只需 g(1)0 且 g(2)0，所以14kk20，42（4k）k20，即k72，k143，可得 k143.故选 D.(2)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)2x.若对任意的 xa，a2，不等式 f(xa)f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解：由题知函数 f(x)2|x|，故 f(xa)f(x)2，即 2|xa|(2|x|)222|x|，即|xa|2|x|，即 3x22axa20 对任意的 xa，a2恒成立.令 g(x)3x22axa2，则只要g(a)0 且 g(a2)0 即可.g(a)0，满足要求，g(a2)3(a2)22a(a2)a28a120，即 a32.故填，32.