（广东专用）2023版高考数学一轮总复习 第五章 平面向量与复数 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件.ppt

1、5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.【教材梳理】1.平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)线性运算的坐标表示类别文字叙述符号表示加法两个向量和

2、的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2).减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2).两点构成的向量坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1).数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.若 a(x，y)，R，则 a(x，y).(3)平面向量共线的坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，向量 a，b 共线的充要条件是

3、 x1y2x2y10.【常用结论】3.平面向量基本定理的推论(1)设 a1e12e2，b3e14e2(1，2，3，4R)，且 e1，e2 不共线，若 ab，则 13且 24.(2)若 a 与 b 不共线，且 ab0，则 0.(3)平面向量基本定理的推论(教材例 1)：已知平面上点 O 是直线 l 外一点，A，B 是直线 l 上给定的两点，则平面内任意一点 P 在直线 l 上的充要条件是：存在实数 t，使得OP(1t)OA tOB.特别地，当 t12时，点 P 是线段 AB 的中点.对于平面内任意一点 O，P，A，B 三点共线存在唯一的一对实数，使得OP OA OB，且 1.4.重要坐标公式已知

4、ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段 AB 的中点坐标为x1x22，y1y22，ABC 的重心坐标为x1x2x33，y1y2y33.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，1 2.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1x2y1y2.()(5)向量的坐标就是向量终点的坐标.()解：(1)；(2)；(3)；

5、(4)；(5).(2021 六安市高一期中)设 e1，e2 是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是()A.e12e2 与 e22e1B.e2 与 e1e2C.e12e2 与 4e22e1D.e1e2 与 e1e2解：因为 e1，e2 是平面内不共线的两个向量，对于 A，因为 e12e2 与 e22e1 不共线，故可以作为基底；对于 B，因为 e2 与 e1e2 不共线，故可以作为基底；对于 C，因为 e12e212(4e22e1)，故 e12e2 与 4e22e1 共线，不可以作为基底；对于 D，因为 e1e2 与 e1e2 不共线，故可以作为基底.故选 C.(教材练习改编

6、)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则 2ABCD ()A.(9，7)B.(7，6)C.(1，5)D.(0，3)解：依题意得AB(2，1)，CD(5，5)，所以 2ABCD 2(2，1)(5，5)(9，7).故选 A.(2021 全国乙卷)已知向量 a(2，5)，b(，4)，若 ab，则.解：由已知，ab，则 245，故 85.故填85.考点一 平面向量的坐标运算(2021 湖南高二期末)设 O(0，0)，A(0，3)，B(6，0)，BP 2AP，则|OP|()A.5 B.2 2C.2 5 D.17解：设 P(x，y)，则BP(x6，y)，AP(x，y3)，因为B

7、P2AP，所以(x6，y)2(x，y3)，所以x62x，y2y6，解得x2，y2，即 P(2，2)，则OP(2，2)，|OP|22222 2.故选 B.【点拨】平面向量坐标运算的技巧：向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解.(2021 安徽省安庆九一六学校月考)设点 A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)，且AD 2AB3BC，则点 D 的坐标为.解：由题意，可得AB(3，1)，BC(1，4)，所以 2AB3BC(3，14).设点 D 的坐标为(x，y)，则A

8、D(x1，y2)，可得x13，y214，解得x2，y16，所以点 D 的坐标为(2，16).故填(2，16).考点二 平面向量基本定理及其应用(1)(2020 辽宁辽阳模拟)已知 O 为ABC 内一点，且满足OA 3OB 5OC 0，延长 AO 交 BC 于点 D.若BD DC，则 _.解：如图，由于OA 3OB 5OC 0，所以OA 3(ABAO)5(ACAO)0，所以 9AO3AB5AC，即AO 13AB59AC.因为BD DC，即AD AB(ACAD)，化简得AD 11AB 1AC，设AO kAD k1AB k1AC，所以k113，k159，解得 53.故填53.(2)已知AB与AC的夹

9、角为 90，|AB|2，|AC|1，AM ABAC(，R)，且AM BC0，则 的值为_.解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB(0，2)，AC(1，0)，BC(1，2).设 M(x，y)，则AM(x，y)，所以AM BC(x，y)(1，2)x2y0，即 x2y，又AM ABAC，即(x，y)(0，2)(1，0)(，2)，所以 x，y2，所以12yx 14.故填14.【点拨】应用平面向量基本定理应注意平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来

10、.(1)(教材练习改编)如图所示，平行四边形 ABCD 中，BE2EC，点 F 为线段 AE 的中点，AEa，BFb，则AC ()A.34a12bB.34abC.54a12bD.54ab解：ACAEECAE12BEAE12(BF12AE)54a12b.故选 C.(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA与OC 的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若OC OA OB(，R)，则 的值为_.解法一：以 OA 和OB 为邻边作平行四边形 OB1CA1，如图，则OC OB1 OA1.因为OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角

11、为 30，所以B1OC90，在RtOB1C 中，|OC|2 3，所以|OB1|2，|B1C|4，所以|OA1|B1C|4，所以OC 4OA 2OB，即 6.解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1，0)，C(2 3cos30，2 3sin30)，B(cos120，sin120).即 A(1，0)，C(3，3)，B12，32.由OC OA OB(1，0)12，3212，32 ，即12，32 (3，3)，得123，32 3，所以2，4，即 6.故填 6.考点三 共线向量的坐标表示及应用(1)(2021 安徽宣城高一期中)设平面向量 a(2，1)，b(x，2)，若 ab，则|

12、3ab|()A.5B.6C.17D.26解：由题意，2(2)x0，得 x4，所以 3ab3(2，1)(4，2)(2，1)，所以|3ab|2212 5.故选 A.(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_.解：因为在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，所以DC 2AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4，2)(x，y)(4x，2y)，AB(2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，所以4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2，4).故填

13、(2，4).【点拨】两平面向量共线的充要条件有两种形式：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(b0)的充要条件是 x1y2x2y10；ab(a0)，当且仅当唯一一个实数，使 ba.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(1)已知向量 a(2，tan)，b(1，1)，且 ab，则 tan4 ()A.2B.3C.3D.13解：由题意可得 tan2，则 tan4 tan4 tan1tan4 tan3.故选 B.(2)(2020 河南新乡市第一中学高三月考)在同一平面内，已知OA(0，3)，OB(1m，6)，OC

14、(m2，2)，若以 A，B，C 为顶点可以构成一个三角形，则 m 的取值范围是_.解：由题意AB(1m，3)，AC(m2，5)，若AB，AC共线，则5(1m)3(m2)，解得 m112，所以 A，B，C 三点构成三角形时有 m112.故填m|m112.思想方法以数辅形在平面向量中的应用(2020 届福建省福州市高三质量检测)已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点，则PC(PBPD)的最小值为()A.1B.3C.12D.32解：建立如图所示坐标系，设 P(x，y)，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，所以PC(2x，2y)，PBPD(2x，y)(x，2

15、y)(22x，22y)，故PC(PBPD)(2x)(22x)(2y)(22y)2x322122y322122x3222y3221，所以当 xy32时，PC(PBPD)最小，且最小值为1.故选 A.【点拨】向量是沟通几何和代数的桥梁，有垂直背景的试题中，直观不易处理时，常可利用向量的正交分解解题，体现出数形结合思想中的“以数辅形”.如条件中的图形是矩形(正方形)、等腰(等边)三角形、等腰或直角梯形等，因为此时建系确定坐标更为容易.与圆相关的问题则常建好系后利用圆的参数方程求解.但是要注意灵活应用，不可把简单问题复杂化.(2020 北京卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2，若点 P 满足AP12(ABAC)，则PBPD_；若点 P 在正方形及其内部自由移动，则PBPD 的最小值为_.解：如图，分别以 AB，AD 为 x 轴，y 轴建立直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2).AB(2，0)，AC(2，2)，因为AP12(ABAC)12(2，0)(2，2)(2，1)，所以 P(2，1)，所以PBPD 201(1)1；当 P(x，y)为动点时，PBPDx22xy22y(x1)2(y1)222.故填1；2.