（广西专用）2022年高考数学一轮复习 第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3 平面向量的数量积与平面向量的应用课件 新人教A版（理）.pptx

1、5.3 平面向量的数量积与平面 向量的应用-2-知识梳理 双基自测 234165781.平面向量的数量积 定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.问题思考 a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗?|a|b|cos 提示:不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos,而b在a方向上的投影为|b|cos,其中为a与b的夹角.-3-知识梳理 双基自测 23416572.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量a,b的夹角.(1

2、)数量积:ab=|a|b|cos=.8x1x2+y1y2(5)已知两非零向量a与b,abab=0 ;abab=|a|b|.(6)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立),即|x1x2+y1y2|12+12 22+22.x1x2+y1y2=0 (2)模:|a|=12+12.(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离AB=|=(2-1)2+(2-1)2.(4)夹角:cos=|=12+12 12+12 22+22.-4-知识梳理 双基自测 23416573.平面向量数量积的运算律(1)ab=ba(交换律).(2)ab=(ab)=a(b)(结合律).(3)(a+b)c=a

3、c+bc(分配律).8-5-知识梳理 双基自测 23416574.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(ab)2=a22ab+b2.8-6-知识梳理 双基自测 234165785.向量在平面几何中的应用 (1)要证 AB=CD,可转化为证明 2=2或|=|.(2)已知 A,B,C,D 四点不共线,要证两线段 AB,CD 平行,只要证存在唯一实数 0,使等式 =成立即可.(3)要证两线段 AB,CD 垂直,只需证 =0.(4)求夹角问题,利用夹角公式 cos=|.-7-知识梳理 双基自测 23416576.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目

4、,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.8-8-知识梳理 双基自测 23416577.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.8-9-知识梳理 双基自测 234165788.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=(为F与s的夹角).|F|s|cos 2-10-知识梳理 双基自测 34151.下列说法

5、正确的打“”,错误的打“”.(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.()(3)若ab=0,则必有ab.()(4)(ab)c=a(bc).()(5)若ab=ac(a0),则b=c.()(6)若 ,则 A,B,C 三点共线.()(7)在ABC 中,若 0,则ABC 为钝角三角形.()-11-知识梳理 双基自测 234152.(2021全国)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb(kR).若ac,则k=.-103 解析:ac,ac=0,即a(a+kb)=0,a2+kab=0.又a=(3,1),b

6、=(1,0),10+3k=0,解得 k=-103.-12-知识梳理 双基自测 234153.已知向量 a=(3,1),向量 b=(-1,-3),则 a 与 b 的夹角大小为 .150-13-知识梳理 双基自测 234154.(2021全国)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,ab=1,则|b|=.3 2 解析:由|a-b|2=a2-2ab+b2,得 25=9-21+|b|2,解得|b|=3 2.-14-知识梳理 双基自测 234155.已知ABC 的三边长均为 1,且 =c,=a,=b,则ab+bc+ac=.-32-15-考点1 考点2 考点3 考点 1 平面向量数量积的运算 例 1(

7、1)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为()A.-58B.18C.14D.118B 思考求向量数量积的运算有几种形式?(2)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影为 .3 22 -16-考点1 考点2 考点3 解析：(1)法一(基向量法):如图所示,选取 ,为基底,则 =+=+12 +12 =+12()+12 12 =12 +34 ,=.故 =12 +34 ()=34 2 14 12 2=34 141112 12=18.-17-考点1 考

8、点2 考点3 法二(坐标法):如图,建立平面直角坐标系,则 A 0,32 ,B-12,0,C 12,0,F 18,-38 ,于是 =18,-58 3,=(1,0),=18.-18-考点1 考点2 考点3(2)由已知得 =(2,1),=(5,5),则 在 方向上的投影为|=155 2=3 22.-19-考点1 考点2 考点3 解题心得1.求非零向量a,b的数量积的3种方法 直接法 若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算 几何法 根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后根据平

9、面向量的数量积的定义进行计算求解 坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系,可通过建立坐标系,求出a,b的坐标,通过坐标运算求解 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.-20-考点1 考点2 考点3 对点训练 1(1)在正三角形 ABC 中,D 是 AC 上的动点,且 AB=3,则 的最小值为()A.9B.94C.274D.92A.-15B.-9C.-6D.0(3)已知|a|=1,|b|=,且a(a-b),则向量a在向量b方向上的投影为 .2(2)一平面图形如图所示,已知 OM=1,ON=2,M

10、ON=120,=2 ,=2 ,则 的值为()22 D C-21-考点1 考点2 考点3 解析:(1)如图,以C为原点,CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设 D(t,3t)0 32,则 =(t-3,3t)(-3,0)=9-3t9-332=92,则 的最小值为92.(2)连接 MN,=2 ,=2 ,=3 ,=3 .=3()=3 =3().OM=1,ON=2,MON=120,=3()=3(-|2)=3 2 1 -12-1=-6.-22-考点1 考点2 考点3(3)设 a,b 的夹角为.|a|=1,|b|=2,且 a(a-b),a(a-b)=a2-ab=1-1 2cos=0,cos

11、=22,向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos=22.-23-考点1 考点2 考点3 考点 2 平面向量的模及应用 例 2(1)已知向量 a=(x,3),b=(x,-3),若(2a+b)b,则|a|=()A.1B.2C.3D.2(2)(2021山东淄博三模)已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=()A.3B.3C.7D.7DD-24-考点1 考点2 考点3 思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?(3)在平面内,定点 A,B,C,D 满足|=|=|,=-2,动点 P,M 满足|=1,=,则|2的最大值是()A.434B.494C.37+6 34D.37+

12、2 334B-25-考点1 考点2 考点3 解析:(1)(2a+b)b,(2a+b)b=0,即(3x,3)(x,-3)=3x2-3=0,解得 x=1,a=(1,3),|a|=(1)2+(3)2=2.(2)由已知可得|a-b|2=a2-2ab+b2=2-2ab=1,则 ab=12,因此,|2a+b|=(2+)2=42+4+2=7.-26-考点1 考点2 考点3(3)由已知易得ADC=ADB=BDC=120,|=|=|=2.以D为原点,直线DA为x轴,过点D且与DA垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.则 A(2,0),B(-1,-3),C(-1,3).设 P(x,y),由已知|=1,得(x-

13、2)2+y2=1.=,M-12,+32 .=+12,+3 32.|2=(+1)2+(+3 3)24,-27-考点1 考点2 考点3 它表示圆(x-2)2+y2=1 上点(x,y)与点(-1,-3 3)距离平方的14,(|2)max=14 32+(0+3 3)2+1 2=494.-28-考点1 考点2 考点3 解题心得1.求向量的模的方法:的运算转化为数量积运算;(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(或范围)的方法:(1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求;(2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,

14、结合动点表示的图形求解.(3)利用绝对值三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|求模的最值(取值范围).(1)公式法,利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模-29-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)(2021 西藏拉萨中学高三月考)已知平面向量 a 与b 的夹角为 30,且 a=(1,3),b 为单位向量,则|a+3b|=()A.1B.13C.21D.7+2 3(2)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=2,ab=-2,=60,则|c|的最大值为()A.4B.2C.2D.1BA-30-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由已知可得|a|=2,|b|=1,则

15、ab=|a|b|cos 30=3,所以|a+3b|2=(a+3b)2=a2+2 3ab+3b2=4+6+3=13,则|a+3b|=13.-31-考点1 考点2 考点3(2)因为|a|=|b|=2,ab=-2,所以 cos=|=-12.所以=120.如图所示,设 =a,=b,=c,则 =a-c,=b-c.因为=60,所以ACB=60,所以AOB+ACB=180,所以A,O,B,C四点共圆.-32-考点1 考点2 考点3 不妨设为圆 M,所以当 OC 为圆 M 的直径时,|c|取得最大值.因为 =b-a,所以 2=a2-2ab+b2=12.所以|=2 3.由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆 M 的

16、直径为2R=|sin=4,所以|c|的最大值为 4.-33-考点1 考点2 考点3 考点 3 平面向量数量积的应用(多考向)(2)已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)c=52,则 a,c 的夹角为 .思考两个向量数量积的正负与两个向量的夹角有怎样的关系?考向一 求平面向量的夹角 例 3(1)在 RtABC 中,|=3,|=2,=2 ,=,设 BF 与 CE 交于点 G,则 cos=()A.1010B.3 1010C.35D.45B 120-34-考点1 考点2 考点3 解析:(1)如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系

17、.由题意得B(3,0),C(0,2),E(2,0),F(0,1),所以直线CE的方程为x+y-2=0,直线BF的方程为x+3y-3=0.解方程组 +-2=0,+3-3=0,得 =32,=12,即 G 32,12.=32,12,=(3,0).cos=92 523=3 1010.-35-考点1 考点2 考点3(2)设a,c的夹角为,a=(1,2),b=(-2,-4),b=-2a.(a+b)c=-ac=52.ac=-52.cos=|=-52 12+22 5=-12.0180,=120.-36-考点1 考点2 考点3 考向二 求参数的值或范围 例 4 在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若 =

18、2 ,=(R),且 =-4,则 的值为 .思考两个向量的垂直与其数量积有何关系?答案 解析 解析 关闭 =2 ,=+=+23 =+23()=23 +13 .又 =,A=60,AB=3,AC=2,=-4.=3212=3,=23 +13 ()=-4,即23 2 13 2+3-23 =-4,23 4-139+3-23 3=-4,即113-5=-4,解得=311.答案 解析 关闭311 -37-考点1 考点2 考点3 考向三 在三角函数中的应用 例5已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值

19、.思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?3-38-考点1 考点2 考点3 解:(1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若 cos x=0,则 sin x=0,与 sin2x+cos2x=1 矛盾,故 cos x0.于是 tan x=-33.又 x0,所以 x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=2 3cos +6.因为 x0,所以 x+6 6,76 ,从而-1cos +6 32.于是,当 x+6=6,即 x=0 时,f(x)取到最大值 3;当 x+6=,即 x=56

20、 时,f(x)取到最小值-2 3.-39-考点1 考点2 考点3 考向四 在解析几何中的应用 例 6 设 F1,F2 分别是双曲线22 22=1(a0,b0)的左、右焦点,P 是双曲线右支上一点,满足(+2 )2 =0(O 为坐标原点),且3|1|=4|2|,则双曲线的离心率为 .思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?5-40-考点1 考点2 考点3 解析：由点P在双曲线的右支上及双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又3|PF1|=4|PF2|,解得|PF1|=8a,|PF2|=6a.由(+2 )2 =0,可知(+2 )(2 )=0,即 2=2 2.故在PF1F2

21、中,|OP|=|OF2|=|OF1|,则F1PF2=90.由勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即 64a2+36a2=4c2,即 c=5a,即 e=5.-41-考点1 考点2 考点3 解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.2.若a,b为非零向量,则abab=0.3.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.-42-考点1 考点2 考点3 4.向量在解析几何中的2个作用 载体 作用 向量在解析几

22、何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 工具 作用 利用abab=0,aba=b(b0),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法-43-考点1 考点2 考点3 对点训练3(1)(2021河北沧州高三三模)已知非零向量a,b满足|b|=|a|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()2A.4B.34C.3D.23B-44-考点1 考点2 考点3(2)如图,已知 F1,F2为椭圆 C:22+22=1(

23、ab0)的左、右焦点,过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点(|AF2|BF2|),若|1 +2|=|1 2|=4,四边形12=4,则 tanBAF2=()A.14B.13C.2+3D.2-3D-45-考点1 考点2 考点3(4)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=22,-22 ,n=(sin x,cos x),x 0,2.若 mn,求 tan x 的值;若 m 与 n 的夹角为3,求 x 的值.(3)(2021广西大学附属中学高三月考)已知向量a=(4,2),b=(,1)(R),若a+2b与a-b的夹角是锐角,则实数的取值范围为 .(1-11,2)(2,1+11)-4

24、6-考点1 考点2 考点3 解析:(1)(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=0,即3a2-ab-2b2=3|a|2-|a|b|cos-2|b|2=0.又|b|=2|a|,且|a|0,3|a|2-2|a|2cos-4|a|2=-|a|2-2|a|2cos=0,cos=-22.又0,=34.-47-考点1 考点2 考点3(2)由|1 +2|=|1 2|,两边平方整理可得1 2 =0,所以1 2 .由椭圆的对称性知四边形 AF1BF2 是矩形.|1 +2|=|1 2|=4,|=|21|=4.|BF2|2+|AF2|2=|AB|2=16.又四边形12=4,|BF2|AF2|=4.由可得

25、|AF2|=6+2,|BF2|=6 2,tanBAF2=|2|2|=6-2 6+2=2-3.-48-考点1 考点2 考点3(3)a=(4,2),b=(,1),a+2b=(4+2,4),a-b=(4-,1).若a+2b与a-b的夹角是锐角,则a+2b与a-b不共线,且它们的乘积为正值,即4+24-41,且(a+2b)(a-b)=(4+2,4)(4-,1)=20+4-220,求得 1-111+11,且 2.-49-考点1 考点2 考点3(4)解:m=22,-22 ,n=(sin x,cos x),mn,mn=22 sin x-22 cos x=0,即 sin x=cos x,又由已知知 cos x

26、0,tan x=sin cos=1.由题意知,|m|=22 2+-22 2=1,|n|=sin2+cos2=1,mn=22 sin x-22 cos x=sin-4.-50-考点1 考点2 考点3 而 mn=|m|n|cos3=12.sin-4=12.又 x 0,2,x-4 -4,4,x-4=6,x=512.-51-思想方法函数思想与数形结合思想在数量积中的应用 答案:2 解析:因为b0,所以b=xe1+ye2,x0或y0.当 x=0,y0 时,|=0;当 x0 时,|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+3xy,|2|2=22+2+3=122+3+1,不妨设=t,则|2|2=12+3+1

27、,典例 1 设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,yR.若 e1,e2 的夹角为6,则|的最大值等于 .-52-当 t=-32 时,t2+3t+1 取得最小值14,此时|2|2取得最大值 4,所以|的最大值为 2.综上,|的最大值为 2.-53-答案:6,56 典例 2 已知 =,=,若平面向量,满足|=1,|1,且以OC,OD 为邻边的平行四边形的面积为12,则 与 的夹角 的取值范围是 .-54-解析:如图,向量与在单位圆O内,因为|=1,|1,且以 OC,OD 为邻边的平行四边形的面积为12,所以以OC,OD为边的三角形的面积为14,所以向量的终点在如图的线段 AB 上 ,且圆心到线段的距离为12,因此 与 的夹角 的取值范围为 6,56 .-55-反思提升求向量夹角与模的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数,利用求函数值域的方法确定最值,体现了函数思想的运用,又多与二次函数、基本不等式相联系;求向量夹角的范围问题,根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合确定夹角的范围.