（广西专用）2022年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教A版（文）.pptx

1、8.3 空间点、直线、平面 之间的位置关系-2-知识梳理 双基自测 23416571.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过 的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 过该点的公共直线.两点不在一条直线上一条 -3-知识梳理 双基自测 23416572.直线与直线的位置关系 位置关系的分类 共面直线 异面直线:不同在 一个平面内平行相交任何(2)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).范围:0

2、,2.-4-知识梳理 双基自测 23416573.公理4 平行于 的两条直线互相平行.同一条直线 -5-知识梳理 双基自测 23416574.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .相等或互补 -6-知识梳理 双基自测 23416575.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有 、_三种情况.平行相交在平面内-7-知识梳理 双基自测 23416576.平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有 、两种情况.平行相交-8-知识梳理 双基自测 23416577.常用结论(1)唯一性定理 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

3、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.-9-知识梳理 双基自测 2341657(3)确定平面的三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(4)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.2-10-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(

4、1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.()(4)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,那么就说平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直 线.()-11-知识梳理 双基自测 234152.如图,平面平面=直线l,点A,B,点C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点B C.点C但不过点MD.点C和点M D解析:AB,MAB,M.又=l,Ml,M.根

5、据公理3可知,M在与的交线上.同理可知,点C也在与的交线上.-12-知识梳理 双基自测 234153.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90 C解析:连接B1D1,D1C,图略,则B1D1EF,故D1B1C即为异面直线B1C与EF所成的角或其补角.B1D1=B1C=D1C,B1D1C为等边三角形.D1B1C=60.-13-知识梳理 双基自测 234154.设l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,且l,m.下列说法正确的是()A.若,则l B.若lm,则 C.若,则l D.若lm,

6、则 答案 解析 解析 关闭,l,加上l垂直于与的交线,才有l,故A选项错误;若lm,l,m,则与平行或相交,故B选项错误;若,l,则l,故C选项正确;若lm,l,m,则与平行或相交,故D选项错误.选C.答案 解析 关闭C-14-知识梳理 双基自测 234155.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH是正方形.答案 解析 解析 关闭易知 EHBDFG,且 EH=12BD=FG,同理 EFACHG,且EF=12AC=HG,显然四边形 EFGH 为平行四边形

7、.(1)要使平行四边形EFGH为菱形,需满足EF=EH,即AC=BD;(2)要使四边形EFGH为正方形需满足 EF=EH 且 EFEH,即 AC=BD 且 ACBD.答案 解析 关闭(1)AC=BD(2)AC=BD 且 ACBD-15-知识梳理 双基自测 23415自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等.2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交且得到的是一条直线.3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.-16-考点1 考点2 考点3 考点 1 平面的基本

8、性质及应用 例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点?-17-考点1 考点2 考点3 证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFA1B.又A1BCD1,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P,则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA.CE,D1F,DA三线共点.-18

9、-考点1 考点2 考点3 解题心得1.点线共面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面,重合.2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.-19-考点1 考点2 考点3 对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求

10、证:P,A,C三点共线.-20-考点1 考点2 考点3 证明(1)E,F分别为AB,AD的中点,EFBD.GHBD,EFGH.E,F,G,H四点共面.(2)EGFH=P,PEG,EG平面ABC,P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADC=AC,PAC,P,A,C三点共线.在BCD 中,=12,-21-考点1 考点2 考点3 考点 2 异面直线与异面直线所成的角 例2平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13思考如何求两条异面直

11、线所成的角?A-22-考点1 考点2 考点3 解析:(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n 所成的角的正弦值为32.-23-考点1 考点2 考点3(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF

12、平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故 m,n 所成角的正弦值为32.-24-考点1 考点2 考点3 解题心得几何法求异面直线所成的角(1)作:利用定义转化为平面角,对于异面直线所成的角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.(2)证:证明作出的角为所求角.(3)求:把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形求空间角.-25-考点1 考点2 考点3 对点训练2(1)(2020重庆沙坪坝区模拟)已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABC

13、D为菱形,且ABC=60,AB=AA1,则异面直线A1B与D1B1所成角的余弦值为()A A.64B.24C.14D.28解析:连接A1D,DB,如图.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,DBD1B1,A1BD是异面直线A1B与D1B1所成的角或其补角,设 AB=AA1=1,则 A1B=A1D=12+12=2.又ABC=60,BD=21sin 60=3,cosA1BD=12+2-1221=2+3-2223=64.异面直线 A1B 与 D1B1 所成角的余弦值为64.故选 A.-26-考点1 考点2 考点3(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1

14、B1,B1C1的中点.问:AM和CN是不是异面直线?说明理由.D1B和CC1是不是异面直线?说明理由.-27-考点1 考点2 考点3(2)解:不是异面直线.理由如下:如图,连接MN,A1C1,AC.M,N分别是A1B1,B1C1的中点,MNA1C1.又A1AC1C,四边形A1ACC1为平行四边形,A1C1AC,MNAC.A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.-28-考点1 考点2 考点3 是异面直线.理由如下:ABCD-A1B1C1D1是正方体,B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,D1,B,C,C1,与B,C,C1,D

15、1不共面矛盾.假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.-29-考点1 考点2 考点3 考点 3 空间中线面的位置关系 例3设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是()A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直 思考如何借助空间图形确定线面位置关系?答案 解析 解析 关闭如图,m 是平面 的斜线,PA,l,lAB,则 lm,平面 内所有与l 平行的直线都垂直于 m,故 A 错;由题意可知过 m 有且仅有一个平面 PAB 与平面 垂直,假设有两个平面都与平面 垂直,则这两个

16、平面的交线m应与平面垂直,与条件矛盾,故 B 正确;又 l,ll,l,lm,lm,故 C 错;又在平面 内取不在直线 AB 上的一点 D,过 D 可作平面 与平面PAB 平行,m,平面 PAB,平面,故 D 错.答案 解析 关闭B-30-考点1 考点2 考点3 解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.-31-考点1 考点2 考点3 对点训练3,是两个平面,m,n是两条直线

17、,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)答案 解析 解析 关闭对于,若mn,m,n,则,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为n,所以过直线n作平面与平面相交于直线c,则nc.因为m,所以mc,所以mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有.答案 解析 关闭-32-考点1 考点2 考点3 1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明

18、三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.-33-考点1 考点2 考点3 1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.-34-思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考

19、常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.-35-典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F

20、分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有 条.-36-(3)已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题:若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,则mn.其中所有正确的命题的序号是 .答案:(1)D(2)无数(3)-37-解析:(1)在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.(2)(方法一)如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有

21、不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.-38-(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因CD与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.(3)对于,利用直二面角的定义可得平面,互相垂直,故正确;借助于长方体模型来解决,对于,平面,可能垂直,如图b所示,故不正确;对于,平面,可能垂直,如图c所示,故不正确;对于,由m,可得m,因为n,所以过n作平面,且=g,如图d所示,所以n与交线g平行,因为mg,所以mn,故正确.-39-反思提升1.构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.2.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.