（广西专用）2022年高考数学一轮复习 第十章 算法初步、统计与统计案例 4 变量间的相关关系、统计案例课件 新人教A版（理）.pptx

1、10.4 变量间的相关关系、统计案例-2-知识梳理 双基自测 234151.变量间的相关关系(1)定义:当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.与函数关系不同,相关关系是一种 .(2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.若这些点分布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量 ;若这些点分布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量 .(3)线性相关关系、回归直线:如果散点图中的点的分布从整体上看大致在 ,那么就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.非确定性关系正相关

2、负相关一条直线附近-3-知识梳理 双基自测 23415(4)非线性相关:若散点图上所有点看上去都在 附近波动,则称这两个变量为非线性相关.此时,可以用 来拟合.(5)不相关:如果所有的点在散点图中 ,那么称这两个变量是不相关的.某条曲线(不是一条直线)一条曲线没有显示任何关系 -4-知识梳理 双基自测 234152.回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.在线性回归模型y=bx+a+e中,因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定,即自变量x只能解释部分y的变化,在统计中,我们把自变量x称为 ,因变量y称为 .解释变量预报变量-5-知识梳理 双基自测 234153.回

3、归方程与最小二乘法若变量 x 与 y 具有线性相关关系,有 n 个样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),则回归方程为=bx+,其中=1-=12-2,=,它主要用来估计和预测取值,从而获得对这两个变量之间整体关系的了解.求回归方程的方法是最小二乘法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小.-6-知识梳理 双基自测 234154.相关系数,它主要用于相关量的显著性检验,以衡量它们之间的线性相关程度.当r0时表示两个变量正相关,当r0,0B.0C.0,0D.0,0 答案 解析 解析 关闭由表格数据可知,y 与 x 是负相关关系,所以0,所以a0,故选 C.答案 解析 关闭C-11-知识梳

4、理 双基自测 234153.(2020四川雅安模拟)一车间为规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验,测得的数据如下表所示,根据表中信息可得回归方程=8x+11,则实数a的值为()零件数 x/个 2 3 4 5 加工时间 y/分钟 30 a 40 50 A.34B.35C.36 D.37 C-12-知识梳理 双基自测 234154.高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三名学生.从这次考试成绩看,(1)在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其两科总成绩名次靠前的学生是 ;(2)在语文和数学两个

5、科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .答案 解析 解析 关闭(1)由题图可知,甲的语文成绩名次比总成绩名次靠后;而乙的语文成绩名次比总成绩名次靠前.故填乙.(2)由题图可知,比丙的数学成绩名次还靠后的人比较多;而总成绩名次中比丙名次靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩名次更靠前.故填数学.答案 解析 关闭(1)乙(2)数学-13-知识梳理 双基自测 234155.为了考察某种疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:参照附表,在犯错误的概率最多不超过 (填百分比)的前提下,可认为“该种疫苗有预防这种病毒感染的效果”.是否服用 是否感染 总计 感染 未感染 服用 10 40

6、50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100 5%-14-知识梳理 双基自测 23415参考公式:K2=(-)2(+)(+)(+)(+)P(K2k0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 -15-考点1 考点2 考点3 考点 1 相关关系的判断 (1)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计某班学生的两科成绩得到散点图(x轴、y轴的单位长度相同)如图所示,用回归直线方程近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强,b的值为1

7、.25 B.线性相关关系较强,b的值为0.83 C.线性相关关系较强,b的值为-0.87 D.线性相关关系较弱,无研究价值 =bx+答案 解析 解析 关闭由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近,所以线性相关关系较强,且应为正相关,所以回归直线方程的斜率应为正数,且从散点图观察,回归直线方程的斜率应该比直线y=x的斜率要小一些,综上可知应选B.答案 解析 关闭B-16-考点1 考点2 考点3(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:则哪位同学的试验结果体现A,B两个变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙

8、C.丙 D.丁 思考如何判断两个变量有无相关关系?同学 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 答案 解析 解析 关闭在验证两个变量之间的线性相关关系时,相关系数的绝对值越接近1,相关性越强,在四个选项中只有丁的相关系数最大;残差平方和越小,相关性越强,只有丁的残差平方和最小,综上可知丁的试验结果体现了A,B两个变量有更强的线性相关性,故选D.答案 解析 关闭D-17-考点1 考点2 考点3 解题心得判断两个变量有无相关关系有两个方法:一是根据散点图,具有很强的直观性,直接得出两个变量是正相关或负相关;二是计算相关系数法,这种方法能比较准

9、确地反映相关程度,相关系数的绝对值越接近1,相关性就越强,相关系数就是描述相关性强弱的.-18-考点1 考点2 考点3 对点训练1(1)对四组数据进行统计,获得散点图如图所示,关于其相关系数的比较,正确的是()A.r2r40r3r1B.r4r20r1r3 C.r4r20r3r1D.r2r40r1r3 A-19-考点1 考点2 考点3 解析:易知题中图与图是正相关,图与图是负相关,且图与图中的样本点集中分布在一条直线附近,故r2r40r3r1.-20-考点1 考点2 考点3(2)(2020全国,理18)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量

10、,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动 物的数量,并计算得=120 xi=60,i=120yi=1 200,=120(xi-)2=80,=120(yi-)2=9 000,=120(xi-)(yi-)=800.-21-考点1 考点2 考点3 求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);求样本(xi,yi)(i=1,2,20)的相关系数(精确到0.01);根据现有统计资

11、料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法.并说明理由.附:相关系数 r=1(-)(-)=1(-)2=1(-)2,21.414.-22-考点1 考点2 考点3(2)解:由已知得样本平均数=120=120yi=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60200=12 000.样本(xi,yi)(i=1,2,20)的相关系数r=i=120(-)(-)=120(xi-x)2 i=120(yi-y)2=800809 000=223 0.94.-23-考点1 考点2 考点3 分层抽样:先根据植物覆盖面积的大小对地块分

12、层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.-24-考点1 考点2 考点3 考点 2 回归方程的求法及回归分析 例2(2020河南郑州检测)疫情面前全国人民展现出既有责任担当之勇,又有科学防控之智,我校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究,一名同学在疫情初期数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期x和全国累计报告确诊病例

13、数量y(单位:万人)之间的关系如表所示:日期 x 1 2 3 4 5 6 7 确诊病例数量 y/万人 1.4 1.7 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5 (1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?-25-考点1 考点2 考点3(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程=bx+(系数精确到 0.01),并预测 2 月 10 日全国累计报告确诊病例数.参考数据:=17yi=16.9,=17xiyi=77.5,=17(-)1.88,72.65.参考公式:相关系数 r=1(-)(-)=1(-)2=1(-)2.回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分

14、别为:=1(-)(-)=1(-)2=1-=12-2,=.-26-考点1 考点2 考点3 思考对已知的两个变量的一组数据如何做回归分析?-27-考点1 考点2 考点3 解:(1)由已知数据,得=17(1+2+3+4+5+6+7)=4,=17(1.4+1.7+2.0+2.4+2.8+3.1+3.5)=16970,=17xiyi-7x y=77.5-7416970=9.9,i=17(-)2=2 (32+22+12)=275.30,故 r=17(-)(-)=17(-)2=17(-)29.95.301.880.99.因为y与x的相关系数r近似为0.99,说明它们的线性相关性相当高,所以可以用线性回归模型

15、拟合y与x的关系.-28-考点1 考点2 考点3(2)由(1),得=17(-)(-)=17(-)2=992800.35,=16970 992804=1,则 y 关于 x 的回归方程为=0.35x+1.2 月 10 日,即 x=10 代入回归方程得=0.3510+1=4.5,预测 2 月 10 日全国累计报告确诊病例数约有 4.5 万人.-29-考点1 考点2 考点3 解题心得1.求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系;(2)求系数:公式有两种形式,=1(xi-x)(yi-y)i=1n(-)2=1-=12-2,根据题目具体情况灵活选用;(3)求:=

16、;(4)写出回归直线方程.说明:当数据较复杂时,题目一般会给出部分中间数据,观察这些中间数据可确定选用公式的哪种形式求.-30-考点1 考点2 考点3 2.对变量值的预测方法 主要是由给出的变量的值预测与其有相关关系的变量的值.一般方法如下:若已知回归直线方程(方程中无参数),则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值;注意到值是自变量每增加一个单位因变量的变化值,因此可以求出自变量变化情况下对应的因变量的变化值.若回归直线方程中有参数,则根据回归直线一定经过点(,)求出参数值,得到回归直线方程,进而完成预测.-31-考点1 考点2 考点3 对点训练2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品

17、过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5)x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 =bx+;-32-考点1 考点2 考点3 解:(1)由题意,作散点图,如图所示.-33-考点1 考点2 考点3(2)由题中数据,计算得=14xiyi=66.5,i=142

18、=32+42+52+62=86,=4.5,=3.5,=66.5-44.53.586-44.52=66.5-6386-81=0.7,=3.5-0.74.5=0.35,所以 y 关于 x 的线性回归方程为=0.7x+0.35.(3)当 x=100 时,y=1000.7+0.35=70.35(吨标准煤),预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90-70.35=19.65(吨标准煤).-34-考点1 考点2 考点3 考点 3 独立性检验 例3(2020广西玉林一模)某外卖平台为提高外卖配送效率,针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案,为比较两种配送方案的效率,共选取50名外卖骑手,并将他们

19、随机分成两组,每组25人,第一组骑手用甲配送方案,第二组骑手用乙配送方案.根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量(单位:单)绘制了茎叶图如图所示.-35-考点1 考点2 考点3(1)根据茎叶图,求各组内25名骑手完成订单数的中位数,已知用甲配送方案的25名骑手完成订单数的平均数为52,结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高,并说明理由.(2)设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数为m,先将完成订单数超过m的记为“优秀”,不超过m的记为“一般”,再将骑手的对应人数填入下列列联表.配送方案 评价 总计 优秀 一般 甲配送方案 乙配送方案 总计 -36-考点1 考点2 考点3(3)根据

20、(2)中的列联表,判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异.附:K2=(-)2(+)(+)(+)(+),其中 n=a+b+c+d.P(K2k0)0.050 0.010 0.005 k0 3.841 6.635 7.879 思考独立性检验的方法是什么?-37-考点1 考点2 考点3 解:(1)用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为53,用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为49,因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为49,且493.841,所以有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异.-39-考点1 考点2 考点3 解题心得独立性检验的方法(1)构造22列联表;(2)

21、计算K2的观测值k;(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联.注意:查表时不是先查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值,再将该数值对应的k值与求得的K2的观测值k相比较.另外,表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p,所以其有关联的可能性为1-p.-40-考点1 考点2 考点3 对点训练3(2020江苏模拟)某小区采取一系列措施,宣传垃圾分类的知识与意义,并采购分类垃圾箱.为了解垃圾分类的效果,该小区物业随机抽取了200位居民进行问卷调查,每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.根据调查结果统计并做出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图,

22、如图:年龄分布条形图 持不满意态度的居民的结构比例图 在这200份问卷中,持满意态度的频率是0.65.-41-考点1 考点2 考点3(1)完成下面的22列联表,并判断能否有95%的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异;年龄 是否满意 总计 满意 不满意 51 岁及以上的居民 50 岁及以下的居民 总计 200 -42-考点1 考点2 考点3(2)按“51岁及以上”和“50岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取5份,再从这5份调查问卷中随机抽取2份进行电话家访,求电话家访的两位居民恰好一位年龄在51岁及以上,另一位年龄在50岁及以下的概率.附表

23、及参考公式:P(K2k0)0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=(-)2(+)(+)(+)(+),其中 n=a+b+c+d.-43-考点1 考点2 考点3 解:(1)在这200份问卷中,持满意态度的频数为2000.65=130,持不满意态度的频数为200-130=70.填写列联表如下:年龄 是否满意 总计 满意 不满意 51 岁及以上的居民 45 35 80 50 岁及以下的居民 85 35 120 总计 130 70 200 -44-考点1 考点2 考点3 由列联表中数据,计算 K2=(-)2(+

24、)(+)(+)(+)=200(4535-8535)28012013070 4.4873.841,因此有95%的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异.-45-考点1 考点2 考点3(2)利用分层抽样的特点可知“51岁及以上”居民抽到2份记为a1,a2;“50岁及以下”居民抽到3份记为b1,b2,b3;基本事件列举为(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共有10个.满足条件的事件是(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3)共有6个.故求得电话家访的两位居民恰好一位年龄在“51岁及以上”,另一位年龄在“50岁及以下”的概率为P(A)=610=35.