（新教材）2020-2021高中数学人教B版选择性必修三课件： 6-1-3 基本初等函数的导数 .ppt

1、6.1.3 基本初等函数的导数 必备知识素养奠基 1.导函数 一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一个点x都可导,则称f(x)可导,此时,对定义域内的_,都对应_,于是,在f(x)的定义 域内,f(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作:f(x)(或y,yx),即f(x)=_=_=.每一个值x 一个确定的导数f(x)y yx x0f(xx)f(x)limx 2.几个常用函数的导数 函数f(x)=C,其中C是 常数f(x)=xf(x)=x2f(x)=x3 导数f(x)=0f(x)=1 f(x)=2xf(x)=3x2 1f(x)xf(x)x21f xx（）=1f x

2、2 x（）=3.常用函数的导数公式,其中C,a均为常数,a0,且a1 函数导数函数导数f(x)=Cf(x)=0f(x)=axf(x)=ax ln af(x)=xf(x)=_f(x)=exf(x)=_f(x)=sin xf(x)=_f(x)=logax f(x)=cos xf(x)=_ f(x)=ln x x-1 ex cos x-sin x 1f xxln a（）f x_（）1x【思考】(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系?提示:f(x)=ex是底数为e的指数函数,是特殊的指数函数,所以其导数f(x)=ex也是f(x)=axlna当a=e时的特殊情况.(2)函

3、数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系?提示:f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例,f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)(sinx)=-cos x.()(2).()(3)(log5x)=.()(4)(lnx)=.()211()xx 15ln x1x提示:(1).(sin x)=cos x.(2).=(x-1)=-x-2=.(3).(log5x)=.(4).1()x 21x1xln 52.已知f(x)=x2,则f(3)等于()A.0 B.2x C.6 D.9【解析】选C.因为f(x)=

4、x2,所以f(x)=2x,所以f(3)=6.关键能力素养形成 类型一 利用导数公式计算导数【典例】1.f(x)=a3(a0,a1),则f(2)=()A.8 B.12 C.8ln 3 D.0 2.已知f(x)=,则f(1)=()A.1 B.-1 C.3 D.-3 31x3.求下列函数的导数.(1)y=x6.(2)y=2x.(3)y=log3x.(4)y=.【思维引】运用基本初等函数的导数公式.【解析】1.选D.f(x)=a3(a0,a1)是常数函数,所以f(x)=0.所以f(2)=0.21x2.选D.f(x)=x-3,所以f(x)=-3x-4,所以f(1)=-3.3.(1)y=(x6)=6x5.

5、(2)y=(2x)=2xln 2.(3)y=(log3x)=.(4)y=(x-2)=-2x-3.31x1xln 321()x【内化悟】运用导数公式求导需注意什么问题?提示:认真审题,确定函数类型,准确选择公式计算.【类题通】运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数,直接套用公式;(2)对于较为复杂,不能直接套用公式的,可先把题中函数恒等变形为基本初等函数,再求导.【习练破】1.已知函数f(x)=cos ,则f(x)=()A.sin B.-sin C.cos D.0【解析】选D.f(x)=cos =-,所以f(x)=0.2323232312232.已知f(x)=,则 =_.【

6、解析】因为f(x)=,所以f(x)=,所以 答案:23x1f()823x132 x3131214f()().838343【加练固】若函数f(x)=,则f(1)=()A.0 B.-C.1 D.【解析】选B.因为f(x)=,所以f(x)=,f(1)=-.321x23x2323532 x323类型二 导数公式的应用【典例】1.曲线y=在点 处的切线方程为()A.4x-4 y+2 -1=0 B.4x-4y+1=0 C.4 x-4y+2-=0 D.4x+4y-3=0 x1 1(,)4 233332.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则点P 处的切线方程为_.【思维

7、引】1.求函数y=在x=处的导数,即为切线的斜率.2.先求函数y=ex在x=0的导数,依题意求出函数y=(x0)上点P处的导数,从而求 出点P的坐标.1xx141x【解析】1.选B.由于y=,所以y=,于是 =1,所以曲线在点 处的切线的斜率等于1,切线方程为4x-4y+1=0.2.由题意知,y=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=(x0)的 导数为y=-(x0),曲线y=(x0)在点P处的切线斜率k2=-(m0),由题 意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1),k2=-1.点P处的 切线方程为x+y-2=0.答案:x

8、+y-2=0 12 xx1x 4y|1 1(,)4 21x21x1x21m【内化悟】应用导数公式求切线方程的关键是什么?提示:确定切点,求函数在切点处的导数,即切线的斜率.【类题通】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.【习练破】(2020全国卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1【解题指南】求得函数f(x)的导数f(x),计算出f(1)和f(1)的值

9、,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.【加练固】函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有_条.()A.1 B.2 C.多于两个 D.不能确定【解析】选B.因为f(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=.所以可得切点坐标为 和 .所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.3333(,)3933(,)391.下列结论不正确的是()A.若y=3,则y=0 B.若y=,则y=C.若y=-,则y=D.若y=3x,则y=3【解析】选B.课

10、堂检测素养达标 1x1x2x12 x1322111y()xx2x2x x （）2.若y=ln x,则其图象在x=2处的切线斜率是()A.1 B.0 C.2 D.【解析】选D.因为y=,所以 ,故图象在x=2处的切线斜率为 .121xx21y|2 123.若y=sin x,则 =()【解析】选A.y=cos x,=.x3y|1133A.B.C.D.2222x3y|1cos 324.曲线y=ln x与x轴交点处的切线方程是_.【解析】因为曲线y=ln x与x轴的交点为(1,0),所以 =1,切线的斜率为1,所求切线方程为y=x-1.答案:y=x-1 x1y|课时素养评价 十五 基本初等函数的导数【

11、基础练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题正确的是()A.(logax)=B.(logax)=C.(3x)=3xln 3 D.(ln x)=1x1xln 10 x【解析】选CD.根据基本初等函数导数公式知,(logax)=,(3x)=3xln 3,(ln x)=.所以A,B均不正确,C,D正确.1xln a1x2.(2020阜阳高二检测)已知f(x)=,则f(8)等于()A.0 B.C.D.-1【解析】选C.f(x)=,得f(x)=,所以f(8)=.x2 228x121 x212128283.已

12、知f(x)=xa,若f(-1)=-4,则a的值等于()A.4 B.-4 C.5 D.-5【解析】选A.f(x)=axa-1,f(-1)=a(-1)a-1=-4.当a=4时,a-1=3,则f(-1)=-4成立.当a=-4时,f(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.4.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为()A.B.C.-e D.e【解析】选D.因为y=(ex)=ex,设切点坐标为(x0,y0),所以k=,得x0=1,所以k=e.1e1e000 xxx00e0ee,x0 x二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=,则f(x)=_,=_.【解析】因

13、为f(x)=所以f(x)=.答案:53x1f()323535xx，253 x52251313112f()()().32532525253 x51256.曲线y=cos x在x=处的切线方程为_.【解析】因为cos =0,即求曲线y=cos x在点 处的切线方程,y=-sin x,当x=时,y=-1.所以切线方程为 即x+y-=0.答案:x+y-=0 22(,0)222y1(x)2，2三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知点P 在曲线y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值.(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.(a)3，【解析】(1)因为P 在曲线y=cos x上,所

14、以a=cos .(2)因为y=-sin x,所以kl=又因为所求直线与直线l垂直,所以所求直线的斜率为 ,所以所求直线方程为 ,即y=.(a)3，132 x 33ysin.32 12 3k3l12 3y(x)2332 32 31x3928.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积.1x【解析】联立两条曲线方程 解得 故交点坐标为(1,1).因为k1=所以两条切线的方程分别为x+y-2=0,2x-y-1=0,与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示.因为两条切线与x轴的交点分别为(2,0),.所以三角形的面积 21y,xyx,x 12x 121|1,k2x|2,x

15、113S(2)1.224 1(,0)2x1,y1,【能力练】(15分钟30分)1.(5分)正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜 角的范围是()3A.0,B.04433C.,D.0,44424，）【解析】选A.因为y=cos x,而cos x-1,1.所以直线l的斜率的范围是-1,1,所以直线l倾斜角的范围是 .30,442.(5分)若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则实数a的值是()A.4 B.-4 C.2 D.-2 xa【解析】选A.y=所以切线方程为 令x=0,得 ,令y=0,得x=-a.由题意知S=2,解得a=4.x

16、 ax a111,y,2 x2 x2 a1yaxa.2 a（）ay21aa22 3.(5分)(2020广陵高二检测)若f(x)=x3,其导数满足f(x0)=3,则x0的值为 _.【解析】根据题意,若f(x)=x3,其导数f(x)=3x2,若f(x0)=3,则3 =3,解得x0=1.答案:1 20 x4.(5分)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2 020(x)等于_.【解析】因为f0(x)=sin x,所以f1(x)=f0(x)=(sin x)=cos x,f2(x)=f1(x)=(cos x)=-sin x,f3(x

17、)=f2(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=f3(x)=(-cos x)=sin x,所以4为最小正周期,所以f2 020(x)=f0(x)=sin x.答案:sin x 5.(10分)求下列函数的导(函)数.(1)y=x-5;(2)y=4x;(3)y=;(4)y=sin ;(5)y=cos(2-x).x x x(x)2【解析】(1)y=(x-5)=-5x-6;(2)y=(4x)=4xln 4;(3)因为y=所以y=;(4)因为y=sin =cos x,所以y=-sin x;(5)因为y=cos(2-x)=cos x,所以y=-sin x.17118824xxxx，187 x8

18、(x)2【培优练】1.函数y=x2(x0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是_.2ka【解析】因为函数y=x2,y=2x,所以函数y=x2(x0)在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),令y=0得ak+1=ak.又因为a1=16,所以a3=a2=a1=4,a5=a3=1,所以a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:21 2ka2ka121214142.已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解析】不存在.理由如下:设y1=sin x,y2=cos x两条曲线的一个公共点为P(x0,y0).则两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为 若使两条切线互相垂直,必须有cos x0(-sin x0)=-1,0011x x022x x0ky|cos x,ky|sin x，即sin x0cos x0=1,即sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两曲线的切线互相垂直.