（新教材）2022版新高考数学人教A版一轮课件：第七章 第三节 等比数列 .ppt

1、第三节 等 比 数 列 必备知识自我排查【基础知识梳理】1等比数列与等比中项(1)等比数列的定义式：(2)等比中项定义：a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项公式：a，G，b成等比数列_性质：an是等比数列 _或_n 1naqa G2abanan2anmanm2n1a 2na【微提示】并不是任意两个实数都有等比中项，只有同号的两个非零实数才有2等比数列的有关公式(1)通项公式：an_.(2)前n项和公式：a1qn13等比数列的性质(1)通项公式的推广：anam _(n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)

2、是等比数列，则an(0)，anbn，仍是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为_qnmn1a2nannabqk(5)若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列，其公比为_(6)若a1a2anTn，则Tn，成等比数列 qn3n2nn2nTTTT，【微思考】将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？【提示】仍是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数【基本技能小测】1等比数列an 中，a118，q2，则 a4 与 a8

3、的等比中项是()A4 B4 C14 D14【解析】选 A.设 a4 与 a8 的等比中项是 x.由等比数列an 的性质可得 a26 a4a8，所以 xa6.所以 a4 与 a8 的等比中项 xa618 254.2等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S3a210a1，a59，则 a1()A13 B13 C19 D19【解析】选 C.设公比为 q，因为 S3a210a1，所以 a1a2a3a210a1，所以 a39a1，即 q29，又 a5a1q4，所以 a1a5q4 981 19.3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a3 54，a2a452，则公比q()A14 B4 C2 D

4、12【解析】选 C.由等比数列可得，a2a4(a1a3)q54 q52，解得 q2.【基本思想小试】4若 1，a1，a2，4 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，则a1a2b2的值为_【解析】因为 1，a1，a2，4 成等差数列，所以 3(a2a1)41，所以 a2a11.又因为 1，b1，b2，b3，4 成等比数列，设其公比为 q，则 b22 144，且 b21q20，所以 b22，所以a1a2b2（a2a1）b212.答案：125等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则an的通项公式 an_【解析】因为S10S5 3132，所以S10S5S

5、5 132，因为 S5，S10S5，S15S10 成等比数列，且公比为 q5，所以 q5 132，q12，则 an112n1 12n1.答案：12n1考点突破典例探究 等比数列基本量的运算【典例 1】(1)已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S314，a38，则 a6 等于()A16 B32 C64 D128(2)已知等比数列an满足 a13，a1a3a521，则 a3a5a7()A21 B42 C63 D84(3)在各项均为正数的等比数列an 中，a2，a42，a5 成等差数列，a12，Sn是数列an 的前 n 项和，则 S10S4_【解析】(1)选 C.因为 S314

6、，a38，所以 q1，所以a1（1q3）1q14a1q28，解得 a12，q2 或 a118，q23(舍)，所以 a6a1q523264.(2)选 B.设数列an的公比为 q，则 a1(1q2q4)21，又 a13，所以 q4q260，所以 q22(q23 舍去)，所以 a36，a512，a724，所以 a3a5a742.【一题多解】选 B.设数列an 的公比为 q，则 a1(1q2q4)21，又 a13，所以 q4q260，所以 q22(q23 舍去)，所以 a3a5a7q2(a1a3a5)22142.(3)由题意知 2(a42)a2a5，即 2(2q32)2q2q4q(2q32)，得 q2

7、，所以 an2n，S102（1210）1221122 046，S42（124）1225230.所以 S10S42 016.答案：2 016【规律方法】解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量 a1 和 q，问题便可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，将q 分为 q1 和 q1 两种情况进行讨论【对点训练】已知等比数列an 满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A18 B12 C1 D2【解析】选 B.设等比数列an 的公比为 q，

8、由题意知 a3a54(a41)a24，则a24 4a440，解得 a42，又 a114，所以 q3a4a1 8，即 q2，所以 a2a1q12.等比数列的判断与证明【典例 2】设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，Sn14an2.(1)设 bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)由 a11 及 Sn14an2，得 a1a2S24a12.所以 a25，所以 b1a22a13.又Sn14an2，Sn4an12（n2），得 an14an4an1(n2)，所以 an12an2(an2an1)(n2).因为 bnan12an，所以 bn2bn1(n2

9、)，故bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 bnan12an32n1，所以an12n1 an2n 34，故an2n是首项为12，公差为34 的等差数列所以an2n 12(n1)34 3n14，故 an(3n1)2n2.【规律方法】1等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若an1anq(q 为非零常数，nN*)或 anan1 q(q 为非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0 且 a2n1 anan2(nN*)，则an是等比数列(3)通项公式法：若数列an的通项公式可写成 ancqn1(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an

10、是等比数列(4)前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0，1)，则an是等比数列2证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【知识拓展】等比数列前 n 项和的形式为 SnAqnA.【对点训练】1已知等比数列的前 n 项和为 Sn4na，则 a 的值为()A4 B1 C0 D1【解析】选 B.由 anSnSn1 得，an4na(4n1a)34n1，又 a1S1，且此数列为等比数列，所以有 341141a，所以 a1.【一题多解】选 B.根据等比数列前 n 项和的形式可得 a1.2(能力拓展)等比数列an 的前

11、 n 项和为 Sn32n1r，则 r 的值为()A13 B13 C19 D19【解析】选 B.当 n1 时，a1S13r；当 n2 时，anSnSn132n132n332n3(321)83 9n1.所以 3r83，即 r13.【一题多解】选 B.将 Sn 整理为 Sn13 9nr，故 r13.等比数列的性质及其应用命题角度 1 等比数列项的性质应用【典例 3】(2021天津模拟)设等比数列an 中，每项均是正数，a5a681，则 log 13a1log 13a2log 13a10()A20 B20 C4 D5【解析】选 B.log 13a1log 13a2log 13a10log 13(a1a

12、2a10)log 13815log 13 1320 20.【通法】在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题，首先考虑其项数和是否相等，若项数和相等，则利用等比数列的性质进行运算命题角度 2 等比数列前 n 项和性质应用【典例 4】设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S3 3，则S9S6 _【解析】由等比数列的性质 S3，S6S3，S9S6 仍成等比数列，由已知得 S63S3，所以S6S3S3S9S6S6S3 即 S9S64S3，S97S3，所以S9S6 73.答案：73【通法】在研究等比数列前 n 项和问题时，当条件中出现下标成等差数列的前 n 项和时，往往借助 Sk，S2kSk，S3kS2

13、k，成等差数列这一性质命题角度 3 等比数列的最值与范围问题【典例 5】设等比数列an满足 a1a310，a2a45，则a1a2an 的最大值为_【解析】设等比数列an的公比为 q，则由 a1a310，a2a4q(a1a3)5，知 q12.又 a1a1q210，所以 a18.故 a1a2anan1 q12(n1)23n12n 1 n2 22nn3n-22 22n7n22 记 tn22 7n2 12(n27n)，结合 nN*可知 n3 或 4 时，t 有最大值 6.又 y2t 为增函数，从而 a1a2an 的最大值为 2664.答案：64【通法】在求等比数列的最值与范围问题时常用思路是根据题目所

14、给条件建立关于变量 n 的函数关系式进行求解，有时也应用基本不等式【题组集训】1(2021济宁模拟)已知数列an 是等差数列，数列bn 是等比数列，如果 a2a6a102，b2b5b88，则 sin a4a8b3b7的值是()A12 B12 C 32 D 32【解析】选 C.由等差中项的性质可得 a2a6a103a62，所以 a623，由等比中项的性质可得 b2b5b8b35 8，所以 b52，因此 sin a4a8b3b7sin 2a6b25sin 2234sin 3 32.2在各项均为正数的等比数列an中，a1a112a6a8a3a1325，则 a27 的最大值是()A25 B254 C5

15、 D25【解析】由 B.由等比数列的性质，可得 a1a112a6a8a3a13a26 2a6a8a28(a6a8)225，又因为 an0，所以 a6a85，所以 a27 a6a8a6a822254，(当且仅当 a6a852 时取等号)所以 a27 的最大值是254.3(2021东营模拟)已知正项等比数列an，满足 2a45a10 10，则 a7 的值可能是()A37 B47 C57 D67【解析】选 A.由基本不等式的性质可知，2a45a10 10 2 10a4a10 2 10a27，因为 a70，所以 a712，A 项符合要求4已知数列an满足 log2an11log2an(nN*)，且 a

16、1a2a3a101，则 log2(a101a102a110)_.【解析】因为 log2an11log2an，可得 log2an1log22an，所以 an12an，所以数列an是以 a1 为首项，2 为公比的等比数列，又 a1a2a101，所以 a101a102a110(a1a2a10)21002100，所以 log2(a101a102a110)log22100100.答案：1005(思维方式创新转化思想的应用)某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比

17、第二实验室的改建费用高 42 万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高 168 万元，并要求每个实验室改建费用不能超过 1 700 万元则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要()A3 233 万元 B4 706 万元C4 709 万元 D4 808 万元【解析】选 C.设每个实验室的装修费用为 x 万元，设备费为 an 万元，n1，2，3，10，则a5a2a1q4a1q42，a7a4a1q6a1q3168，解得 a13，q2，所以 a103291 536，依题意：x1 5361 700，解得 x164.所以该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要：10 xa1a2a1010 x3（1210）1210 x3 0694 709.