（新课标）2023版高考数学一轮总复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 二项分布、超几何分布与正态分布课件.ppt

1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第七节 二项分布、超几何分布与正态分布考试要求：1掌握二项分布和超几何分布的概念 2了解正态分布的含义 必备知识回顾教材重“四基”01一、教材概念结论性质重现 1n 重伯努利试验与二项分布(1)n 重伯努利试验 把只包含两个可能结果的试验叫做 将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验 伯努利试验 n 重伯努利实验具有如下共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做 n 次(2)各次试验的结果相互独立(2)二项分布 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0p1)，用 X 表示事件 A 发生的次

2、数，则 X 的分布列为 P(Xk)，k0,1,2，n，则称随机变量 X 服从_，记作 XB(n，p)二项分布Cpk(1p)nk 二项分布与两点分布的联系由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即 n1 时的二项分布 2超几何分布 一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(Xk)，km，m1，m2，r其中 n，M，NN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M，称随机变量 X 服从超几何分布 CkMCnkNMCnN3超几何分布的期望 E(X)nMN np

3、(p 为 N 件产品的次品率)超几何分布的特征(1)考察对象分两类(2)已知各类对象的个数(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数 X 的概率分布 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 4正态分布(1)正态曲线 函数 f(x)1 2ex222，xR，其中 R，0 为参数，我们称函数 f(x)为正态密度函数，称它的图象为，简称正态曲线 正态密度曲线(2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴，与 x 轴不相交 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值1 2 曲线与 x 轴围成的面积为 上方1xx在参数 取固定值时，正态曲线的位置由 确定，且随着的变化而沿 x

4、轴平移，如图(1)所示 当 取定值时，正态曲线的形状由 确定，时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量 X 的分布比较集中；时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量 X 的分布比较分散，如图(2)所示 较大较小(3)正态分布的定义及表示 若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)1 2ex222，xR，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)P(2X2)P(3X3)XN(，2)0.997 30.682 70.954 5 若 X 服从正态分布，即 XN(，2)，要充分利用正态曲线的关于直线 X 对称和曲线与 x 轴之间的面积为 1 及 3 原则解题 二

5、、基本技能思想活动经验 1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布()(2)从装有 3 个红球、3 个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3 次，则取到红球的个数 X 服从超几何分布()(3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X服从超几何分布()(4)一个盒中装有 4 个黑球、3 个白球，从中任取一个球若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来设取到黑球的次数为 X，则

6、 X 服从超几何分布()(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(ab)n 展开式的通项，其中 ap，b1p()(6)正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布密度函数，参数 是正态分布的均值，是正态分布的标准差()2(2021佛山期末)有一批谷类种子，如果每 1 粒种子发芽的概率为12，那么插下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是()A38B14C18D34 A 解析：3 粒种子中发芽的粒数服从二项分布 XB3，12，所以恰有 2 粒发芽的概率为 C23122112 38 3某班有 48 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，则理论上在 80 分到

7、90 分的人数是()A32B16 C8D20 B 解析：因为数学成绩近似地服从正态分布 N(80,102)，所以P(|x80|10)0.682 7根据正态曲线的对称性可知，位于 80 分到90 分之间的概率是位于 70 分到 90 分之间的概率的一半，所以理论上在 80 分到 90 分的人数是120.682 74816 4有 N 件产品，其中有 M 件次品，从中不放回地抽取 n 件产品，抽到的次品数的数学期望是()AnB(n1)MN CnMND(n1)MN C 解：设抽到的次品数为 X，则有 N 件产品，其中有 M 件次品，从中不放回地抽取 n 件产品，抽到的次品数 X 服从超几何分布即 XH

8、(n，M，N)，所以抽到的次品数的数学期望值 E(X)nMN 5已知随机变量 B5，14，则 P(3)_(用数字作答)45512 解析：随机变量 B5，14，则 P(3)C35143114245512 6已知随机变量 XN(1,62)，若 P(X0)0.8，则 P(X2)_ 0.2 解析：随机变量 X 服从正态分布 N(1,62)，所以正态曲线关于 x1 对称，所以 P(x2)P(x0)1P(x0)0.2考点1 考点2 考点3 02关键能力研析考点强“四翼”考点1 二项分布基础性某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通

9、过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为 310，各专家评审的结果相互独立(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若 4 人应聘，设 X 为被录用的人数，试求随机变量 X 的分布列 解：设“两位专家都同意通过”为事件 A，“只有一位专家同意通过”为事件 B，“通过复审”为事件 C(1)设“某应聘人员被录用”为事件 D，则 DABC 因为 P(A)121214，P(B)212112 12，P(C)310，所以 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)25 所以某应聘人员

10、被录用的概率为25(2)根据题意，X0,1,2,3,4，且 XB4，25，Ai 表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用”(i0,1,2,3,4)因为 P(A0)C04354 81625，P(A1)C1425353216625，P(A2)C24252352216625，P(A3)C3425335 96625，P(A4)C44254350 16625 所以 X 的分布列为 X01234P 816252166252166259662516625 二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk 的三个条件：(1)在一次试验中某事件 A 发

11、生的概率是一个常数 p(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率(2021杭州二模)从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取 3 次，记摸得白球个数为X若 E(X)95，则 m_，P(X2)_ 2 54125 解析：甲从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 3 次，记摸得白球个数为X，则 XB3，3m3，因为 E(X)95，所以 E(X)33m395，所以 m2，所以 P(X2)C2335225 5

12、4125 考点2 超几何分布应用性在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率；(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列 解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含

13、A1 但不包含 B1 的事件为 M，则 P(M)C48C510 518(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X0)C56C510 142，P(X1)C46C14C510 521，P(X2)C36C24C510 1021，P(X3)C26C34C510 521，P(X4)C16C44C510 142，因此 X 的分布列为 X 01234P 1425211021521142 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征：考查对象分两类已知各类对象的个数从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布(2)超几何分布主要用于抽检产品、

14、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 1(多选题)在一个袋中装有质地大小一样的 6 个黑球、4 个白球，现从中任取 4 个小球设取出的 4 个小球中白球的个数为 X，则下列结论正确的是()AP(X1)821 B随机变量 X 服从二项分布 C随机变量 X 服从超几何分布 DE(X)85 ACD 解析：由题意知随机变量 X 服从超几何分布，故 B 错误，C 正确 X 的取值分别为 0,1,2,3,4，则 P(X0)C46C410 114，P(X1)C14C36C410 821，P(X2)C24C26C410 37，P(X3)C34C16C410 435，P(X4)C44C410 1210，

15、所以 E(X)0 1141 8212373 4354 121085，故 A，D正确 2某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12 份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94(1)写出该样本的中位数，若该校共有 3 000 名学生，试估计该校测试成绩在 70 分以上的人数；(2)从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取 4 人，记 表示测试成绩在 80 分以上的人数，求 的分布列和数学期望 解：(1)由已知数据可得中位数为 76，样本中 70 分以上的所占比

16、例为 81223，故可估计该校测试成绩在 70 分以上的约为 3 000232 000(人)(2)由题意可得 的可能取值为 0,1,2,3,4 P(0)C04C44C48 170，P(1)C14C34C48 1670 835，P(2)C24C24C48 36701835，P(3)C34C14C48 1670 835，P(4)C44C04C48 170 所以 的分布列为 01234P 1708351835835170 E()0 1701 835218353 8354 1702 考点3 正态分布应用性(1)(多选题)若随机变量 N(0,1)，(x)P(x)，其中x0下列等式成立的有()A(x)1(x)(2x)2(x)CP(|x)2(x)AC 解析：因为随机变量 服从标准正态分布 N(0，1)，所以正态曲线关于 0 对称，如图(x)P(x)P(x)1(x)，所以 A 项正确(2x)P(2x)，2(x)2P(x)，所以(2x)2(x)，B 项错误 P(|x)P(x84.8)12(10.682 7)0.158 65，所以车速高于 84.8 km/h 的车辆数的估计值为 0.158 6510 0001 586.51 587 行车速度低于 84.8 km/h 的概率为 10.158 650.841 35，又 XB(10,0.841 35)，所以 E(X)100.841 358.413 5