（广西专用）2022年高考数学一轮复习 第九章 解析几何 6 双曲线课件 新人教A版（理）.pptx

1、9.6 双曲线-2-知识梳理 双基自测 2311.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 .注:若点M满足|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a0,c0.(1)当 时,点M的轨迹是双曲线;(2)当 时,点M的轨迹是两条射线;(3)当 时,点M的轨迹不存在.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距ac -3-知识梳理 双基自测 2312.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)图形 -4-知识梳理

2、双基自测 231标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)性质 范围 xa 或 x-a,yR xR,y-a 或 ya 对称性 对称轴:坐标轴对称中心:原点 对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点 顶点坐标:A1 ,A2 顶点坐标:A1 ,A2 渐近线 y=y=离心率 e=,e(1,+),其中 c=2+2 (-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)x x-5-知识梳理 双基自测 231标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)性质 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的 ,它的长|A1A2|=;线段 B1B2 叫做双曲线

3、的 ,它的长|B1B2|=;叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(ca0,cb0)实轴2a虚轴2ba b -6-知识梳理 双基自测 231问题思考 方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?提示:若A0,B0,则表示焦点在x轴上的双曲线;若A0,则表示焦点在y轴上的双曲线.因此Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB0,b0)的一条渐近线的斜率=2-1.2-8-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)双曲线方程22 22=(m0,n0,0)的渐近线方程是22 22=0,即 =0.()(2)关于 x,y 的方

4、程2 2=1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.()(3)与双曲线2 2=1(mn0)共渐近线的双曲线方程可设为2 2=(0).()(4)等轴双曲线的离心率等于 2,且渐近线互相垂直.()(5)若双曲线22 22=1(a0,b0)与22 22=1(a0,b0)的离心率分别是 e1,e2,则 112+122=1.()-9-知识梳理 双基自测 234152.双曲线22 22=1(a0,b0)的离心率为 3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22 xD.y=32 x 答案 解析 解析 关闭e=3,22=2+22=2+1=3.=2.双曲线交点在 x 轴上,渐近线方程为 y=x,渐

5、近线方程为 y=2x.答案 解析 关闭A-10-知识梳理 双基自测 23415A.2B.2 2C.2D.3 答案 解析 解析 关闭由题意得,|k|=,由这两条平行线间的距离为43,即|-2|1+2=43,整理,得k2=8,即22=k2=8,所以 e=1+22=3,故选 D.答案 解析 关闭D 3.已知直线 l:kx+y-2k=0(k0)与双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为43,则双曲线 C 的离心率为()-11-知识梳理 双基自测 234154.(2019广东深圳高三二模)已知双曲线C:,且圆E:(x-2)2+y2=1的圆心是双曲线C的右焦点,若

6、圆E与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为 .22 22=1 答案 解析 解析 关闭双曲线22 22=1 的渐近线方程是 y=x,即 bxay=0,以 F 为圆心,以 1 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切,点 F(2,0)到直线 bxay=0 的距离是|2|2+2=2=1,F(2,0)是双曲线 C 的右焦点,c=2,代入2=1,可得 b=1,a2=c2-b2=3,双曲线 C 的方程是23-y2=1.答案 解析 关闭23-y2=1 -12-知识梳理 双基自测 234155.设双曲线29 22=1(b0)的焦点为 F1,F2,P 为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|=.答案

7、解析 解析 关闭由双曲线的方程29 22=1(b0),可得 a=3,根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=6,又因为|PF1|=5,所以|PF2|=11.答案 解析 关闭11-13-考点1 考点2 考点3 考点 1 双曲线的定义及其标准方程 例1(1)(2020广东肇庆三模)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2020 山西大同模拟)已知双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的右焦点为 F,O 为坐标原点,以

8、OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 O 及点 A32,32,则双曲线 C 的方程为()A.x2-23=1B.22 26=1C.23-y2=1D.26 22=1B C-14-考点1 考点2 考点3(3)已知F是双曲线C:x2-y2=1的右焦点,P是C的左支上一点,点A(0,),则APF周长的最小值为 .思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?26-15-考点1 考点2 考点3 解析:(1)如图,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,MF2=2.点F1关于点N的对称点为点M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得PM=PF1,|PF2

9、-PF1|=|PF2-PM|=MF2=20,b0).因为 A 32,32 在渐近线上,即 32=32,所以 a=3b.又 A 在以 OF 为直径的圆上,AOAF,所以 32-2+32 2+32 2+32 2=c2,解得 c=2,a=3,b=1.所以双曲线的方程为23-y2=1.故选 C.-17-考点1 考点2 考点3(3)设双曲线的左焦点为 F,由双曲线 C:x2-y2=1 可得a=1,b=1,c=2,即有 F(2,0),F(-2,0),APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2,由双曲线的定义可得|PF|-|PF|=2a=2,即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF|+

10、2,当P在左支上运动到A,P,F共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AF|=2,则有APF周长的最小值为2+2+2=6.解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系.-18-考点1 考点2 考点3 对点训练1(1)(2020江苏二模)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,且双曲线上的一点P到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为()A.29 216=1 B

11、.216 29=1C.29 216=1 D.216 29=1C-19-考点1 考点2 考点3(2)已知 F1,F2分别为双曲线22 22=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与 x 轴垂直,PF1F2=30,且虚轴长为 2 2,则双曲线的标准方程为()A.24 22=1 B.23 22=1C.24 28=1 D.x2-22=1(3)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8 D B-20-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由抛物线x2=20y,得2p=20,则p=10.

12、故抛物线x2=20y的焦点坐标为(0,5),可知双曲线是焦点在y轴上的双曲线.设其方程为 22 22=1(a0,b0),则 c=5.又双曲线上的一点P到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6,2a=6,即a=3.b2=c2-a2=16.双曲线的标准方程为 29 216=1.故选 C.-21-考点1 考点2 考点3 在PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,-,得

13、|PF1|PF2|=4.(2)依题意得 2b=2 2,tan 60=22=3,于是 b=2,2c=3 2,ac=3,a 2+2=3,解得 a=1,因此该双曲线的标准方程为 x2-22=1,选 D.(3)由题意知 a=1,b=1,c=2,故|F1F2|=2 2.-22-考点1 考点2 考点3 考点 2 双曲线的几何性质(多考向)考向一 已知离心率求渐近线方程 例 2(2020 广西柳州模拟)已知 F1,F2 分别是双曲线 22 22=1(a0,b0)的上、下焦点,过点 F2 的直线与双曲线的上支交于点 P,若过原点 O 作直线 PF2 的垂线,垂足为点 M,|OM|=a,|2|=3,则双曲线的渐

14、近线方程为()A.y=53xB.y=35xC.y=43xD.y=34x思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系?D-23-考点1 考点2 考点3 解析:由题意知|F2M|=|2|2-|2=b,所以 cosPF2F1=,又|2|=3,所以|PM|=3b,|PF2|=4b,且|PF1|=4b-2a.在PF1F2 中,由余弦定理可得cosPF2F1=|2|2+|12|2-|1|22|2|12|=(4)2+(2)2-(4-2)2242,代入 a2+b2=c2,解得=34,所以双曲线的渐近线方程为 y=34x.故选 D.-24-考点1 考点2 考点3 考向二 已知渐近线方程求离心率例 3 设 F1,

15、F2 分别为双曲线22 22=1(a0,b0)的左、右焦点,A为双曲线的一个顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B,C 两点,若ABC 的面积为12c2,则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.3D.2思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?答案 解析 解析 关闭设双曲线的一条渐近线方程为y=x(a0,b0),即为bx-ay=0,则A(a,0)到这条渐近线的距离为 d=2+2=.因为ABC 的面积为12c2,所以122c=12c2,即 4a2b2=c4,即 4a2(c2-a2)=c4,即 c2=2a2,即 c=2a,所以 e=2.答案 解析 关闭D-25-考点1 考点2 考点

16、3 考向三 由离心率或渐近线方程确定双曲线方程 例 4 已知双曲线22 22=1(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 2,若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.24 24=1 B.28 28=1C.24 28=1 D.28 24=1思考求双曲线方程的一般思路是怎样的?答案 解析 解析 关闭设双曲线半焦距为 c(c0),则双曲线22 2 2=1(a0,b0)的左焦点 F 的坐标为(-c,0),渐近线方程为 y=x.点 P 的坐标为(0,4),直线 PF 的斜率为 k=4.由题意得4=.双曲线的离心率为 2,=2.在双曲线中,a2+b2=c2,联

17、立解得 a=b=2 2,c=4.所求双曲线的方程为28 28=1.故选 B.答案 解析 关闭B-26-考点1 考点2 考点3 考向四 利用渐近线与已知直线的位置关系求离心率范围 思考如何求双曲线离心率的取值范围?答案 解析 解析 关闭因为双曲线的一条渐近线方程为 y=x(a0,b0),则由题意得2,所以 e=1+2 1+4=5.答案 解析 关闭C 例 5 已知双曲线22 22=1(a0,b0)与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+)-27-考点1 考点2 考点3 解题心得 1.双曲线的离心率与渐近线有密切联系,可通过公式=2-

18、1来反映.求双曲线的离心率的一般思路就是先根据已知条件,建立起实半轴长 a 与虚半轴长 b 之间的关系,再结合 c2=a2+b2,从而求出的值.2.求双曲线方程的一般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出a,b的值,从而求出双曲线的方程.3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的取值范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且先要对双曲线与直线的交点情况进行分析,再利用三角或不等式解决问题.-28-考点1 考点2 考点3 对点训练2(1)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2D(2)(20

19、20 广西北海一模)已知圆 C:x2+y2-10y+16=0 上有且仅有两点到双曲线22 22=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为 1,则该双曲线离心率的取值范围是()A.(2,5)B.53,52C.54,52D.(5,2+1)C-29-考点1 考点2 考点3(4)双曲线(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.22 22=1(3)(2020 天津二模)已知双曲线 C:22 23=1(a0)的右焦点为 F,圆x2+y2=c2(c 为双曲线的半焦距)与双曲线 C 的一条渐近线交于 A,B两点,且线段 AF 的中点

20、M 落在另一条渐近线上,则双曲线 C 的方程是()A.24 23=1B.23 23=1C.22 23=1D.x2-23=1D2-30-考点1 考点2 考点3 解析:(1)设双曲线的标准方程为22 22=1(a0,b0),点M 在右支上,如图所示,ABM=120,过点M向x轴作垂线,垂足为N,则MBN=60.AB=BM=2a,MN=2asin 60=3a,BN=2acos 60=a.点 M 坐标为(2a,3a),代入双曲线方程22 22=1,整理得22=1,即22=1.e2=1+22=2,又 e(1,+),e=2.-31-考点1 考点2 考点3(2)圆 C:x2+y2-10y+16=0 可化为

21、x2+(y-5)2=9.由题意设双曲线22 22=1(a0,b0)的一条渐近线为 y=x,即 bx-ay=0.圆 C:x2+y2-10y+16=0 上有且仅有两点到双曲线22 22=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为 1,圆心到双曲线渐近线的距离范围为 2d4,2|-5|2+24,又 a2+b2=c2,即 25 4,解得54 0)的一条渐近线方程为 y=-3 x.由方程 =-3,2+2=2,2+3=2,解得 =-,=3 或 =,=-3.故 A(-a,3),B(a,-3),易知 F(c,0)在圆 x2+y2=c2 上,AFBF,kAFkBF=-1,即 3-3-=-1.-33-考点1 考点2 考

22、点3 线段 AF 的中点 M 落在另一条渐近线上,且|OA|=|OF|=c,AF 与该渐近线垂直,BF 与该渐近线平行,得 3-=3.解组成的方程组,得 2a=c,3=c2-a2,解得 a=1,c=2,即 b2=3,双曲线 C 的方程是 x2-23=1.故选 D.-34-考点1 考点2 考点3(4)四边形 OABC 是正方形,AOB=45,不妨设直线 OA 的方程即双曲线的一条渐近线的方程为 y=x.=1,即 a=b.又|OB|=2 2,c=2 2.a2+b2=c2,即 a2+a2=(2 2)2,可得 a=2.-35-考点1 考点2 考点3 考点 3 直线与双曲线的位置关系 例 6 如图,已知

23、双曲线 C:22-y2=1(a0)的右焦点 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AFx 轴,ABOB,BFOA(O 为坐标原点).(1)求双曲线 C 的方程;(2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y00)的直线 l:02-y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x=32相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时,|恒为定值,并求此定值.思考直线与双曲线的位置关系的判断的常见方法有哪些?-36-考点1 考点2 考点3(1)解:设 F(c,0),因为 b=1,所以 c=2+1,直线 OB 的方程为 y=-1x,直线 BF 的方程为 y=1(x-c),解得 B 2,-2.又直线

24、 OA 的方程为 y=1x,则 A,kAB=-2-2=3.又因为 ABOB,所以3 -1=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为23-y2=1.-37-考点1 考点2 考点3(2)证明:由(1)知 a=3,则直线 l 的方程为03-y0y=1(y00),即 y=0-330.因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点 M 2,20-330 ;直线 l 与直线 x=32的交点 N 32,320-330 .则|2|2=(20-3)2(30)214+320-3 2(30)2=(20-3)29024+94(0-2)2=43(20-3)2302+3(0-2)2,-38-考点1

25、考点2 考点3 解题心得直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但是联立直线方程与双曲线方程消元后,注意二次项系数是否为0.对于中点弦问题常用“点差法”.因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则023 02=1,代入上式得|2|2=43(20-3)202-3+3(0-2)2=43(20-3)2402-120+9=43.所求定值为|=2 3=2 33.-39-考点1 考点2 考点3 对点训练 3 双曲线 x2-22=1(b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 过 F2且与双曲线交于 A,B 两点.(1)若 l 的倾斜角为2,F1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近

26、线方程;(2)设 b=3,若 l 的斜率存在,且(1 +1 )=0,求 l 的斜率.解(1)设 A(xA,yA).由题意,F2(c,0),c=1+2,2=b2(c2-1)=b4,因为F1AB 是等边三角形,所以 2c=3|yA|,即 4(1+b2)=3b4,解得 b2=2.故双曲线的渐近线方程为 y=2x.-40-考点1 考点2 考点3(2)由已知,F1(-2,0),F2(2,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:y=k(x-2).显然 k0.由 2-23=1,=(-2),得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因为 l 与双曲线交于两点,所以 k2-30,且=36(1

27、+k2)0.设 AB 的中点为 M(xM,yM).由(1 +1 )=0,即1 =0,知 F1MAB,故1 k=-1.而 xM=1+22=222-3,yM=k(xM-2)=62-3,1=322-3,所以322-3 k=-1,得 k2=35,故 l 的斜率为 155.-41-易错警示忽视判别式而致误典例已知双曲线 x2-22=1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?-42-解：设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),且线段 AB 的中点为(x0,y0),若直线l 的斜率不存在,则显然不符合题意.设经过点 P 的直线 l 的方程为 y

28、-1=k(x-1),即 y=kx+1-k.由 =+1-,2-22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20).则 x0=1+22=(1-)2-2.由题意,得(1-)2-2=1,解得 k=2.当 k=2 时,方程成为 2x2-4x+3=0.=16-24=-80,方程没有实数解.故不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段AB 的中点.-43-反思提升 以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.