（新高考）2023版高考数学一轮总复习 第8章 第8讲 第3课时 定点、定值、探索性问题课件.pptx

1、第八章解析几何第八讲 圆锥曲线的综合问题第三课时 定点、定值、探索性问题考点突破互动探究 名师讲坛素养提升 考点突破互动探究 例1考点一圆锥曲线的定值问题师生共研(2021安徽安庆市一模)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，过椭圆左焦点 F 的直线 x4 3y 30 与椭圆 C 在第一象限交于点 M，三角形 MFO 的面积为 34.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 M 作直线 l 垂直于 x 轴，直线 MA、MB 交椭圆分别于 A、B两点，且两直线关于直线 l 对称，求证：直线 AB 的斜率为定值解析(1)直线 x4 3y 30 过左焦点 F，所以 F(3，0)，c 3，又由

2、SOMF12 3yM 34 可知 yM12，从而椭圆经过点 M3，12，由椭圆定义知 2a1212144，即 a2，b2a2c21，故椭圆的方程为 C：x24y21.(2)由条件知，直线 MA、MB 斜率存在，且两直线斜率互为相反数，设直线 MA：y12k(x 3)交椭圆于点 A(x1，y1)，直线 MB：y12k(x 3)交椭圆于点 B(x2，y2)，由y12kx 3x24y24得(4k21)x2(8 3k24k)x12k24 3k30，从而有，3x112k24 3k34k21，即 x112k24 3k334k21，y14 3k26k34k21 12，故 A12k24 3k334k21，4

3、3k26k34k21 12，同理可得 B12k24 3k334k21，4 3k26k34k21 12，k4 3k26k34k21 12 4 3k26k34k21 1212k24 3k334k2112k24 3k334k21 12k8 3k 32，即证直线 AB 的斜率为定值，且为 32.求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 变式训练 1(2018北京高考)已知抛物线 C：y22px(p0)经过点 P(1，2)过点Q(0，1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y

4、 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM QO，QN QO，求证：11为定值解析(1)因为抛物线 y22px 过点(1，2)，所以 2p4，即 p2.故抛物线 C 的方程为 y24x，由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 ykx1(k0)由y24x，ykx1 得 k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得 k0 或 0k1.解析(1)由题可知，A(0，1)，F(c，0)，则直线 AF 的方程为xcy1，即 xcyc0，因为直线 AF 与圆 M：x2y26x2y70 相切，该圆的圆心为 M

5、(3，1)，r 3，则 331c2，c22，a23，故椭圆的标准方程为x23y21.(2)解法一：依题得直线 l 的斜率必存在，设 l：ykxm，设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立ykxmx23y21，消去 y 并整理得(3k21)x26kmx3m230，36k2m24(3k21)(3m23)0，即 m2b0)的离心率为 22，且短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，P(0，1)，直线 PM 与直线 PN的斜率之积为16，证明：直线 l 过定点并求出该定点坐标解析(1)由ca 222b2a2b2c2得a 2b1c1椭圆 C 的

6、标准方程为x22y21.(2)若直线 l 的斜率不存在，设 M(s，t)，则 N(s，t)，此时 kPMkPNt1s t1s1t2s2 12s2s2 12，与题设矛盾，故直线 l 的斜率必存在设 l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立ykxmx22y21得：(2k21)x24mkx2m220，8(2k2m21)0，x1x2 4mk2k21，x1x22m222k21，kPMkPNy11x1 y21x2 y1y2y1y21x1x2k2x1x2km1x1x2m12x1x216，代入 x1x2 4mk2k21，x1x22m222k21整理得：m23m20，解得：m2 或 m1(舍去)，

7、即直线过定点(0，2)例3考点三圆锥曲线中的探索性问题师生共研(2021山东聊城模拟)已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 为 C 上的一动点，其中 M 到 F1 的最短距离为1，且当MF1F2 的面积最大时，MF1F2 恰好为等边三角形(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)斜率为 k 的动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，那么，|PF2|AB|是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由解析(1)设|F1F2|2c，则由题意可知 ac1a2c，解得 a2，c1，所以 b2a2c23

8、，故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)|PF2|AB|为定值证明如下：由x24y231ykx1，得(34k2)x28k2x4(k23)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8k234k2，x1x24k2334k2，设AB的中点为Q(x0，y0)，则x0 x1x22 4k234k2，y0k(x01)3k34k2.当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3k34k21kx 4k234k2，令 y0，得 xk234k2，所以|PF2|k234k21 31k234k2.又|AB|1k2x1x224x1x212k2134k2.所以|PF2|AB|31k234k212

9、1k234k214.当 k0 时，l 的方程为 y0，此时，|AB|2a4，|PF2|c1，|PF2|AB|14.综上，|PF2|AB|为定值圆锥曲线中的探索性问题 1圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论 2圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)

10、存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 3解决探索性问题的答题模板 变式训练 3(2021陕西西安八校联考)已知 F 为抛物线 C：x22py(p0)的焦点，点 M(m，1)在抛物线上，且|MF|98.直线 l：ykx2 与抛物线 C 交于 A、B 两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变化时，总有OPAOPB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)根据抛物线的定义，得 1

11、p298，解得 p14.抛物线 C 的方程为 x212y.(2)在 y 轴上存在点 P，使得当 k 变化时，总有OPAOPB理由如下：设 P(0，b)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由ykx2，x212y，消去 y，得 2x2kx20.且 k2160 恒成立x1x2k2，x1x21.y12x21，y22x22.OPAOPB 时，直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数kPAkPBy1bx1 y2bx2 x2y1b x1y2bx1x20，x22x21bx2x12x22bx10，即2x1x2b x2x1 0，2b k20，得 b2，即点 P 的坐标为(0，2)所以，y 轴上存

12、在点 P(0，2)，使得当 k 变化时，总有OPAOPB名师讲坛素养提升 求动点轨迹方程的常用方法(1)(2021江苏南京二十九中调研)已知两圆 C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 和圆 C2 外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为()Ax2y281Bx28y21Cx2y281(x1)Dx2y281(x1)例4D(2)(2021河南新乡模拟)在直角坐标系 xOy 中，点 M(2，0)，N 是曲线 x14y22 上的任意一点，动点 C 满足MC NC 0.则点 C 的轨迹方程为_.(3)(2022西南四省名校联盟联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点M(3，0

13、)，直线 l：x4 33，动点 P 到点 M 的距离与到直线 l 的距离之比为 32.y22x求动点P的轨迹E的方程；设曲线E与x轴交于A、B两点，过定点N(1，0)的直线与曲线E交于C、D两点(与A、B不重合)，证明：直线AC，BD的交点在定直线上 解析(1)设动圆M的半径为r，则|C1M|r1，|C2M|3r，|C2M|C1M|20，所以设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，(x1，x22)，则 y1y2 2mm24，y1y23m24 i，由得 A(2，0)，B(2，0)，则直线 AC 的方程为 y y1x12(x2)，直线 BD 的方程为 y y2x22(x2)，联立两直线方程，消去

14、y，整理得 x2x22y1x12y2x12y2x22y1，ii将 x1my11，x2my21 代入，整理得 x22my1y2y1y24y1y1y22y1，iii把 i 式代入 iii，整理得 x24y1 4mm242y1 2mm244，即直线 AC 与直线 BD 的交点的横坐标恒等于4，故直线 AC 与直线 BD 的交点在定直线 x40 上引申1本例(1)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.引申2本例(1)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.引申3本例(1)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.引申4本例

15、(1)中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.x24y251(x2)x24y251(x2)x2y281(x1)x24y251求动点轨迹方程常用方法 1直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式进行整理化简 2定义法：若动点轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程 3代入法：也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(m，n)的坐标，可先用x，y表示m，n，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程 4参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方程

16、，然后消去参数，即得其普通方程 变式训练 4(1)(2020新课标)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若OC BC1，则点 C 的轨迹为()A圆B椭圆C抛物线D直线(2)(2021湖南湘潭模拟节选)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 Q(1，0)，直线 l：x2.若动点 P 在直线 l 上的射影为 R，且|PR|2|PQ|，则点P 的轨迹方程为_.Ax22y21(3)(2022上海宝山区期末)已知双曲线x22y21，作 x 轴的垂线交双曲线于 A、B 两点，作 y 轴的垂线交双曲线于 C、D 两点，且 ABCD，两垂线相交于点 P，则点 P 的轨迹是()A椭圆B双曲线C圆D抛物线B解析(1)不妨以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设 C(x，y)，A(c，0)，B(c，0)，c0，则AC(xc，y)，BC(xc，y)，由ACBC1，得(xc)(xc)yy1，即 x2y2c210，点 C 的轨迹为圆故选 A(2)设 P(x，y)，由|PR|2|PQ|，得|2x|2 x12y2，平方化简得 P 的轨迹方程为x22y21.(3)设 P(m1，n)，由xm，x22y21得 y2m22 1，由yn，x22y21得 x22n22.又由|AB|CD|知 y2x2，即m22 12n22，整理得m26 y2321，故选 B