（福建专用）2022年高考数学一轮复习 第五章 数列 4 数列求和课件 新人教A版.pptx

1、5.4 数列求和 -2-知识梳理 双基自测 1.基本数列求和方法 (1)等差数列求和公式:Sn=(1+)2=na1+(-1)2d.(2)等比数列求和公式:Sn=1,=1,1-1-=1(1-)1-,1.-3-知识梳理 双基自测 2.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和

2、法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.-4-知识梳理 双基自测(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的裂项公式:1(+)=1 1-1+;1(2-1)(2+1)=12 12-1-12+1;1(+1)(+2)=12 1(+1)-1(+1)(+2);1+=1(+).-5-知识梳理 双基自测 3.常用求和公式(1)

3、1+2+3+4+n=(+1)2;(2)1+3+5+7+(2n-1)=n2;(3)12+22+32+n2=(+1)(2+1)6;(4)13+23+33+n3=(+1)2 2.2-6-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)若数列an为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.()(2)利用倒序相加法可求得sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=44.5.()(3)已知Sn=a+2a2+3a3+nan,当a0,且a1时,求Sn的值可用错位相减法.()(4)如果数列an是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).(

4、)(5)已知等差数列an的公差为d,则有()(6)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S50=-25.()1-+11-1+1=1 1-1+1.-7-知识梳理 双基自测 234152.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2D.2n+n-2 C解析 Sn=2(1-2)1-2+(1+2-1)2=2n+1-2+n2.-8-知识梳理 双基自测 234153.若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=()A.15B.12 C.-12 D.-15 A解析 因为an=(-1)

5、n(3n-2),所以a1+a2+a10=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15.-9-知识梳理 双基自测 234154.已知数列an的通项公式为,其前n项和为Sn,则S2 020=.an=ncos2 1010解析 因为数列 an=ncos2 呈周期性变化,观察此数列规律如下:a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,故 S4=a1+a2+a3+a4=2.所以 S2 020=(a1+a2+a3+a4)+(a2 013+a2 014+a2 015+a2 016)+(a2 017+a2 018+a2 019+a2 020)=2 0204 2=1 010.-10-知识梳理 双基自测

6、 234155.已知等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.=11Sk 2+1 解析 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可知 1+2=3,41+432 =10,解得 1=1,=1.所以 Sn=na1+(-1)2d=(1+)2.所以 1=2(+1)=2 1-1+1.所以=11Sk=2 1-12+12-13+1n-1n+1 =2 1-1n+1=2nn+1.-11-考点1 考点2 考点3 考点 1 分组求和与并项求和 例1在等比数列an中,已知a1=3,公比q1,等差数列bn满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记cn=(-1)

7、nbn+an,求数列cn的前n项和Sn.思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适合分组求和?-12-考点1 考点2 考点3 解(1)设等比数列an的公比为 q,等差数列bn的公差为 d.由已知,得 a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,故 3=3+3,32=3+12 =1+,2=1+4q=3(q=1 舍去).则 d=2,故 an=3n,bn=2n+1.(2)由题意,得 cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+cn=(-3+5)+(-7+9)+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+3n.

8、当 n 为偶数时,Sn=n+3(1-3)1-3=3+12+n-32;当 n 为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+3(1-3)1-3=3+12-n-72.故 Sn=3+12+-32,为偶数,3+12-72,为奇数.-13-考点1 考点2 考点3 解题心得1.若数列an的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和求数列的前n项和.2.具有下列特点的数列适合分组求和(1)若an=bncn,且bn,cn为等差数列或等比数列,可采用分组求和求an的前n项和;(2)通项公式为的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和求前n项和.an=,为奇数,为偶数-14-考点1 考

9、点2 考点3 对点训练1设an是等差数列,bn是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足 c1=1,cn=1,2 2+1,=2,其中 kN*.求数列2(2-1)的通项公式;求=12aici(nN*).-15-考点1 考点2 考点3 解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意得 6=6+2,62=12+4,解得 =3,=2,故an=4+(n-1)3=3n+1,bn=62n-1=32n.所以,an的通项公式为an=3n+1,bn的通项公式为bn=32n.-16-考点1 考点2 考点3(2)2(2

10、-1)=2(bn-1)=(32n+1)(32n-1)=94n-1.所以,数列2(2-1)的通项公式为2(2-1)=94n-1.=12aici=12ai+ai(ci-1)=12ai+=1a2i(2-1)=2n4+2(2-1)23+=1(94i-1)=(322n-1+52n-1)+94(1-4n)1-4-n=2722n-1+52n-1-n-12(nN*).-17-考点1 考点2 考点3 考点 2 错位相减法求和 例2已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和数列an的通项公式;思考具有什么特点的

11、数列适合用错位相减法求和?(2)设 bn=log222-1,nN*,求数列bn的前 n 项和.-18-考点1 考点2 考点3 解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3,所以 a2(q-1)=a3(q-1).又因为 q1,所以 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2.当 n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=2-12;当 n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=22.所以数列an的通项公式为 an=2-12,为奇数,22,为偶数.-19-考点1 考点2 考点3(2)由(1)得 bn=log222-1=2-

12、1.设bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1 120+2 121+3 122+(n-1)12-2+n 12-1,12Sn=1 121+2 122+3 123+(n-1)12-1+n 12,上述两式相减,得12Sn=1+12+122+12-1 2=1-121-12 2=2-22 2,整理,得 Sn=4-+22-1.所以数列bn的前 n 项和为 4-+22-1.-20-考点1 考点2 考点3 解题心得1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和,可采用错位相减法,解题思路是:和式的两边同乘等比数列bn的公比,作差求解.2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特

13、别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.-21-考点1 考点2 考点3 对点训练2(2020全国,理17)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.-22-考点1 考点2 考点3 解:(1)设an的公比为q(q1),由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比为-2.(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+

14、(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.-可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)3-n(-2)n.所以 Sn=19(3+1)(-2)9.-23-考点1 考点2 考点3 考点 3 裂项相消法求和 例3正项数列an的前n项和Sn满足-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令 bn=+1(+2)22,数列bn的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 nN*,都有 Tn0,Sn=n2+n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.又a1=S1=2,适合上式,故数列an的通项公式an=2n.

15、(2)证明 由于 an=2n,bn=+1(+2)22,则 bn=+142(+2)2=116 12-1(+2)2,Tn=116 1-132+122 142+132 152+1(-1)2 1(+1)2+12 1(+2)2=116 1+122-1(+1)2-1(+2)2 0,可得q=2,所以an=2n-1.设等差数列bn的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以,数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.-28-考点1 考点2 考点3(2)解 由(1),有 Sn=1-21-2=2n-1,故 Tn=1(2k-1)=k=1n2k-n=2(1-2)1-2-n=2n+1-n-2.证明 因为(+2)(+1)(+2)=(2+1-2+2)(+1)(+2)=2+1(+1)(+2)=2-2+2 2+1+1,所以,=1(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=233-222 +244-233 +2n+2n+2-2n+1n+1=2n+2n+2-2.