（福建专用）2022年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 3 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 新人教A版.pptx

1、8.3 直线与圆、圆与圆的 位置关系-2-知识梳理 双基自测 1.直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为.位置关系 几何法 代数法 相交 d r 0 相切 d r 0 相离 d r 0 =0),圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22(r20).位置关系 几何法:圆心距 d 与r1,r2的关系 代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 外切 一组实数解 相交 两组不同的实数解 内切 d=|r1-r2|(r1r2)内含 0d

2、r1+r2 无解 d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2 一组实数解无解 -4-知识梳理 双基自测 3.常用结论(1)当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在直线的方程.(2)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0 x+y0y=r2.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为x0 x+y0y=r2.2-5-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,

3、错误的打“”.(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解,则这两个圆的位置关系为外切.()(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0 x+y0y=r2.()(5)若两圆相交,联立两圆的方程,则消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.()-6-知识梳理 双基自测 234152.“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的()A.充分不必

4、要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A解析 直线l:y=kx+a经过定点P(0,a),显然当a=1时,点P在圆C内,所以直线l与圆C恒相交,故“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的充分条件;而当a=0时,亦有直线l和圆C相交,所以“a=1”不是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的必要条件.综上,“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的充分不必要条件.-7-知识梳理 双基自测 234153.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12 C.

5、-2或-12D.2或12 D解析 由圆 x2+y2-2x-2y+1=0 可知圆心坐标为(1,1),半径为 1,所以圆心到直线 3x+4y=b 的距离为|31+41-|32+42=1,解得 b=2 或 b=12.-8-知识梳理 双基自测 234154.直线 4x-3y=0 与圆(x-1)2+(y-3)2=10 相交所得的弦长为()A.6B.3C.62D.32A解析 设直线与圆相交所得的弦为 AB.圆心到直线的距离 d=5 32+42=1,所以弦长|AB|=2 10-2=6.故选 A.-9-知识梳理 双基自测 234155.圆(x-2)2+(y+1)2=4与圆(x-3)2+(y-2)2=4的位置关

6、系是 .相交解析 由题意可得,两圆的圆心距为(2-3)2+(-1-2)2=10.0101.而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d=|0+0-1|2+2=1 2+21,故直线与圆 O 相交.(2)当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时 m=1;当直线与圆相切时圆心到直线的距离 d=|1+33 2=1,解得 m=233(切点在第一象限,舍去负值),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,须有 1m0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 d1=|2-1-3|5=255.当

7、a=5 时,圆心为(5,5),此时圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 d2=|25-5-3|5=255.综上,圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为255.故选 B.-14-考点1 考点2 考点3 解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决.-15-考点1 考点2 考点3 对点训练1(1)对任意aR,曲线y=ex(x2+ax+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线l与圆C:

8、(x-1)2+y2=16的位置关系是()A.相交B.相切 C.相离D.以上均有可能(2)若圆x2+2x+y2+4y-3=0上的点到直线x+y+1=0的距离为,则这样的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个(3)(2020天津,12)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 .AC2 3 5-16-考点1 考点2 考点3 解析(1)由题意知y=ex(x2+ax+2x+1-a),当x=0时,y=1-a,所以曲线y=ex(x2+ax+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线方程为y-1+2a=(1-a)x,即a(x+2)+y-x-1=0,恒过

9、定点(-2,-1).将其代入(x-1)2+y2-16,可得9+1-160)的圆心为(0,0).圆心到直线 AB 的距离|CD|=|8|1+3=4,|AC|=5,即 r=5.-18-考点1 考点2 考点3 考点 2 圆的切线与弦长问题(多考向)考向一 求圆的切线方程(切线长)(2)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 .思考如何运用圆的几何性质求解圆的切线与切线长问题?例 2(1)(2020 全国,理 10)若直线 l 与曲线 y=和圆 x2+y2=15都相切,则 l 的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12D7

10、-19-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由 y=得 y=12,设直线l 与曲线 y=的切点为(x0,0),则直线 l 的方程为 y-0=12 0(x-x0),即12 0 x-y+12 0=0,由直线 l 与圆 x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线 l 的距离等于圆的半径 r=55,即|12 0|140+1=55,解得 x0=1(负值舍去),所以直线 l 的方程为y=12x+12.-20-考点1 考点2 考点3(2)设直线上的一点为 P,切点为 Q,圆心为 M,则|PQ|即为切线长,|MQ|为圆的半径,且长度为 1,|PQ|=|2-|2=|2-1.要使|PQ|最小,即求|PM|的最小

11、值,此题转化为求直线 y=x+1 上的点到圆心 M 的最小距离.设圆心 M 到直线 y=x+1 的距离为 d,则 d=|3-0+1|12+(-1)2=22.所以|PM|的最小值为 22.所以|PQ|=|2-1 (22)2-1=7,即切线长的最小值为7.-21-考点1 考点2 考点3 考向二 求弦所在直线的方程或弦长 例3(1)若a,b,c是ABC三个内角所对的边,且csin C=3asin A+3bsin B,则直线l:ax-by+c=0被圆O:x2+y2=12所截得的弦长为()A.46B.26C.6D.5(2)若过点(-2,3)的直线l与圆x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB

12、|取得最小值时l的方程为()A.x-y+5=0B.x+y-1=0 C.x-y-5=0D.2x+y+1=0(3)已知直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若|MN|23,则 k 的取值范围是()A.-34,0 B.-33,33 C.0,33 D.-23,0 思考如何求直线被圆所截得的弦长问题?如何求圆中的弦所在直线的方程?CAB-22-考点1 考点2 考点3 解析(1)由正弦定理及 csin C=3asin A+3bsin B,可得c2=3(a2+b2).因为圆 O:x2+y2=12 的圆心为 O(0,0),半径为 r=23,圆心 O 到直线 l 的距离为

13、 d=|2+2=3,所以直线 l 被圆 O 所截得的弦长为2 2-2=2(23)2-(3)2=6.故选 C.(2)由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线 l1 的斜率为 k=3-2-2-(-1)=-1.当直线 l 与 l1 垂直时,|AB|取得最小值,故直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y-3=x-(-2),即 x-y+5=0.(3)设圆心(2,3)到直线 y=kx+3 的距离为 d,若|MN|23,则d2=r2-12|24-3=1,即|2|22+11,解得-33 k33.-23-考点1 考点2 考点3 解题心得1

14、.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.2.求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.-24-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)若直线 xcos+ysin-1=0 与圆(x-1)2+(y-sin)2=116相切,且 为锐角,则该直线的斜率为 .(2)过原点且与直线6x-3y+1=0 平行的直线 l 被圆x2+(y-3)2=7 所截得的弦长为 .(3)若直线 y=-12x-2 与圆 x2

15、+y2-2x=15 相交于点 A,B,则弦 AB 的垂直平分线的方程为.-33 26 y=2x-2-25-考点1 考点2 考点3 解析(1)由题意得,圆心到直线的距离等于半径,即|cos+sin2-1|cos2+sin2=14,|cos-cos2|=14,所以 cos-cos2=14或 cos-cos2=-14(不符合题意,舍去).由 cos-cos2=14,得 cos=12.又 为锐角,所以 sin=32,故该直线的斜率是-cossin=-33.(2)由题意可得直线 l 的方程为2x-y=0.因为圆心(0,3)到 l 的距离 d=33=1,所以所求弦长 l=2 7-2=2 7-1=26.-2

16、6-考点1 考点2 考点3(3)圆的方程可整理为(x-1)2+y2=16,所以圆心坐标为(1,0),半径r=4,易知弦AB的垂直平分线l过圆心,且与直线AB垂直,而kAB=-,所以kl=2.由点斜式方程可得直线l的方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.12-27-考点1 考点2 考点3 考点 3 圆与圆的位置关系及其应用 例4(1)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为()A.62B.32C.94D.23(2)圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交所得公共弦所在直线的方程为 ,其长度为 .思考在两圆的位置关

17、系中,圆心距与两圆半径的关系如何?C2x+4y-5=0 11-28-考点1 考点2 考点3 解析(1)由圆 C1 与圆 C2 外切,可得(+)2+(-2+2)2=2+1=3,即(a+b)2=9.根据基本不等式可知 ab+2 2=94,当且仅当 a=b=32时等号成立.故选 C.(2)由题意可得,公共弦所在直线的方程为 2x+4y-5=0.因为圆心(0,0)到该直线的距离 d=|5|22+42=52,所以公共弦长为 2 4-54=11.-29-考点1 考点2 考点3 解题心得1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从交点个数也就是方程组解

18、的个数来判断,但有时不能得到准确结论.2.两圆位置关系中的含参数问题有时需要将问题进行转化,要注重数形结合思想的应用.-30-考点1 考点2 考点3 对点训练3(1)若把例4(1)条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为 .(2)若把例4(1)条件中的“外切”改为“相交”,则公共弦所在直线的方程为 .(3)若把例4(1)条件中的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是 .14 (2a+2b)x+3+b2-a2=0 相离-31-考点1 考点2 考点3 解析(1)由圆 C1 与圆 C2 内切,得(+)2+(-2+2)2=1.即(a+b)

19、2=1.又 ab+2 2=14,当且仅当 a=b=12时等号成立,故 ab 的最大值为14.(2)把圆C1、圆C2的方程都化为一般方程.圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0,圆C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,由-,得(2a+2b)x+3+b2-a2=0,即(2a+2b)x+3+b2-a2=0为公共弦所在直线的方程.-32-考点1 考点2 考点3(3)由两圆存在四条公切线,知两圆外离,(+)2+(-2+2)23.故(a+b)29,即 a+b3 或 a+b1,所以直线 x+y-1=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=1 相离.-33-易错警示不能将点的坐标转化为直线方程而致误

20、典例已知点 P 是函数 y=-4-(-1)2图象上的任意一点,点 Q 的坐标为(2a,a-3)(aR),则|PQ|的最小值为 .答案 5-2解析 函数 y=-4-(-1)2的图象是圆(x-1)2+y2=4 位于 x 轴下方的半圆.令点 Q 的坐标为(x,y),则 =2,=-3,得 y=2-3,即 x-2y-6=0,作出其图象如图所示.由于圆心(1,0)到直线 x-2y-6=0 的距离 d=|1-20-6|12+(-2)2=52,所以直线 x-2y-6=0 与圆(x-1)2+y2=4 相离,因此|PQ|的最小值是5-2.-34-反思提升1.本题易出现的问题是不能根据点Q的坐标确定其所在直线的方程.2.求解两条曲线上的点之间距离的最值,要灵活利用曲线的性质进行转化.如该题中点P在半圆上,故应将问题转化为半圆上的点到直线距离的最值问题求解.显然,由图可知,|PQ|的最大值为点(-1,0)到直线x-2y-6=0的距离.