（福建专用）2022年高考数学一轮复习 第四章 三角函数 1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 新人教A版.pptx

1、第四章 三角函数-2-4.1 任意角、弧度制 及任意角的三角函数-4-知识梳理 双基自测 1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类 端点按旋转方向不同分类 正角:按 方向旋转而成的角负角:按 方向旋转而成的角零角:射线没有旋转按终边位置不同分类 象限角:角的终边在第几象限,这个角就 是第几象限角轴线角:角的终边落在坐标轴上逆时针 顺时针-5-知识梳理 双基自测(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ.-6-知识梳理 双基自测 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于 的

2、弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式 半径长角 的弧度数公式|=lr(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算 1=180 rad,1 rad=180 弧长公式l=扇形面积公式S=12lr=12|r2|r 三角函数 正弦 余弦 正切 定 义 设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 叫做 的正弦,记作 sin 叫做 的余弦,记作 cos 叫做 的正切,记作 tan 各象限符号 一+二+-三-+四-+-7-知识梳理 双基自测 3.任意角的三角函数 y x -8-知识梳理 双基自测 三角函数 正弦 余弦 正切 三角函数线 有向线段 为正弦线 有向线段 为余弦线 有向

3、线段 为正切线 MP OM AT 2-9-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)小于90的角是锐角.()(2)若sin 0,则是第一、第二象限的角.()(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.()(4)若角为第一象限角,则sin+cos 1.()(5)若 0,2,则 tan sin.()-10-知识梳理 双基自测 234152.下列各角与终边相同的角是()A.43B.53C.-43D.-533 D解析 与3终边相同的角可以写成=3+k2,kZ,当 k=-1 时,=-53.-11-知识梳理 双基自测 234153.已知扇形周长为10 cm,面积是4

4、 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是()A.8B.12C.8 或12D.8 或 4B解析 设圆心角是,半径是 r cm,则 2+=10,12 2=4,解得 =1,=8(舍)或 =4,=12,故扇形的圆心角的弧度数为12.-12-知识梳理 双基自测 234154.已知角的终边经过点P(12,-5),则cos 的值为 .1213 解析 因为 x=12,y=-5,所以 r=2+2=13,所以 cos=1213.-13-知识梳理 双基自测 234155.若角同时满足sin 0,且tan 0,则角的终边一定落在第象限.四解析 由sin 0,可知的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由t

5、an 0,可知的终边可能位于第二象限或第四象限,故的终边只能位于第四象限.-14-考点1 考点2 考点3 考点 1 角的表示及象限的判定 例 1(1)终边在直线 y=3x 上的角的集合为 ;(2)若角 的终边与67 角的终边相同,则在0,2)内终边与3角的终边相同的角为 ;(3)已知角为第三象限角,则2的终边在 .思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角所在的象限,如何求角k,(k2,且kN*)所在的象限?=3+,Z 27,2021,3421 第一或第二象限或y轴的非负半轴-15-考点1 考点2 考点3 解析(1)在(0,2)内,终边在直线 y=3x 上的角是3,43,与角3,

6、43 终边相同的角分别为 2k+3,2k+43=(2k+1)+3,kZ,终边在直线 y=3x 上的角的集合为 =3+,Z.(2)=67+2k(kZ),3=27+23(kZ).依题意,027+23 2,kZ,解得-37k187,kZ.k=0,1,2,即在0,2)内,终边与3相同的角为27,2021,3421.(3)由 是第三象限角,得+2k32+2k(kZ),则 2+4k20B.cos20C.tan20D.sin2cos20(3)在-7200(含-720,不含 0)范围内所有与 45角终边相同的角为 .CC-675或-315-18-考点1 考点2 考点3 解析(1)-34 是第三象限角,故错误;

7、43=+3,从而43 是第三象限角,故正确;-400=-360-40,从而-400是第四象限角,故正确;-315=-360+45,从而-315是第一象限角,故正确.(2)由题意知2+2k+2k,kZ,所以4+k2 2+k,kZ.当 k 为偶数时,2是第一象限角;当 k 为奇数时,2是第三象限角.故选 C.(3)所有与 45角有相同终边的角可表示为=45+k360(kZ),则令-72045+k3600,得-765k360-45,解得-765360k0 时,r=5a,sin=35,cos=-45,tan=-34,5sin+5cos+4tan=3-4-3=-4;当 a 0,tan 0,即 sin c

8、os,tan 0.由 tan 0 可知角 为第一或第三象限角,画出单位圆.又 sincos,用正弦线、余弦线得满足条件的角 的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即 4,2 ,54 .-23-考点1 考点2 考点3(2)由题意,得 sin x32,作直线 y=32 交单位圆于 A,B 两点,连接OA,OB,则OA,OB与圆围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角 x 的集合为 2+3 2+23,Z.-24-考点1 考点2 考点3 解题心得1.用定义法求三角函数值的两种情况:(1)已知角终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求三角函数值;(2)已知角的终边所在的直线

9、方程,注意角的终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.2.三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负.-25-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)已知角 的终边过点 P(-8m,-6sin 30),且 cos=-45,则 m 的值为()A.-12B.12C.-32D.32(2)若 是第二象限角,则sin(cos)cos(sin)0.(填“”“”或“=”)(3)函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域为 .B0,m=12.(2)是第二象限角,-1cos 0,0sin 1.sin(cos)0.sin(cos

10、)cos(sin)0,sin2x34.-32 sin x32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),x-3,+3(kZ).-27-考点1 考点2 考点3 考点 3 扇形弧长、面积公式的应用 例4(1)已知扇形的半径为10 cm,圆心角为120,则扇形的弧长为 ,面积为 .(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角=弧度时,其面积最大,最大面积是 .思考求扇形面积最值的常用思想方法有哪些?203 cm 1003 cm2 2 216-28-考点1 考点2 考点3 解析(1)圆心角=23,弧长 l=r=203 cm;面积 S=12r2=1003 cm2.(2)设扇形的半径为 r

11、,弧长为 l,面积为 S.(方法一)c=2r+l,r=-2(lc),S=12rl=12 -2 l=-14 -2 2+216,当 l=2时,Smax=216,此时=2.(方法二)S=12rl=14(c-l)l14 -+2 2=216,当且仅当 c-l=l,即 l=2时等号成立,此时 r=4,=2.(方法三)c=2r+l=2r+r,r=2+,S=12r2=12 2(2+)2=12 24+4+12 28=216,当且仅当4=,即=2 时等号成立.-29-考点1 考点2 考点3 解题心得求扇形面积最值的常用思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先将问题转化为关于角的函数,再利用基本不等式

12、或二次函数求最值.-30-考点1 考点2 考点3 对点训练3(1)已知一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角是 弧度,扇形的面积是 .(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角的大小为 ,所在的扇形弧长l为 ,弧所在的弓形的面积S为 .-2 12(-2)r2 3 103 50 3-32 -31-考点1 考点2 考点3 解析(1)设扇形的圆心角为,则扇形的周长是 2r+r.依题意得 2r+r=r,所以=-2.所以扇形的面积 S=12r2=12(-2)r2.(2)在AOB 中,AB=OA=OB=10,所以AOB 为等边三角形.因此弦 AB

13、所对的圆心角为3.l=310=103,S 弓=S 扇-SAOB=12 103 10-12102sin3=503-5032=50 3-32 .-32-审题线路图挖掘隐含条件寻找等量关系 典例如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚 动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为 .-33-审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:点P转动的弧长等于弧所对的圆心角;(4)解题思路:求点P的坐标可借助已知的坐标(2,1),通过构造直角三

14、角形,并在直角三角形中利用三角函数定义可求出.答案(2-sin 2,1-cos 2)-34-解析 如图,作 CQx 轴,PQCQ,Q 为垂足.根据题意得劣弧 的长为 2,故DCP=2.则在PCQ 中,PCQ=2-2,|CQ|=cos 2-2=sin 2,|PQ|=sin 2-2=-cos 2,所以点 P 的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2,纵坐标为1+|PQ|=1-cos 2,所以点 P 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).故 =(2-sin 2,1-cos 2).-35-反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.