（全国100套）2013年中考数学试卷分类汇编 一次函数.doc

1、一次函数 1、（2013 陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 A（2,m），B（n，），那么一定有（）Am0，n0 Bm0，n0 Cm0 Dm0，n0 考点：一般考查的是一次函数或者反比例函数的图象性质及待定系数法求函数的解析式。解析：因为 A，B 是不同象限的点，而正比例函数的图象要不在一、三象限或在二、四象限，由点 A 与点 B 的横纵坐标可以知：点 A 与点 B 在一、三象限时：横纵坐标的符号应一致，显然此题不可能，点 A 与点 B 在二、四象限：点 A 在四象限得 m0，点 B 在二象限得 n0，t0，b=1+t 当 t=3 时，b=4 4yx （2）当直线 yxb 过

2、M（3,2）时 23b 解得 b=5 5=1+t t=4 当直线 yxb 过 N（4,4）时 44b 解得 b=8 8=1+t t=7 4t7(3)t=1 时，落在 y 轴上；t=2 时，落在 x 轴上；39、（2013牡丹江压轴题）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC=12，tanACO=，（1）求 B、C 两点的坐标；（2）把矩形沿直线 DE 对折使点 C 落在点 A 处，DE 与 AC 相交于点 F，求直线 DE 的解析式；（3）若点 M 在直线 DE 上，平面内是否存在点 N，使以 O、F、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说

3、明理由 考点：一次函数综合题3718684 分析：（1）利用三角函数求得 OA 以及 OC 的长度，则 C、B 的坐标即可得到；（2）直线 DE 是 AC 的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得 DE 的解析式；（3）分当 FM 是菱形的边和当 OF 是对角线两种情况进行讨论利用三角函数即可求得 N 的坐标 解答：解：（1）在直角OAC 中，tanACO=，设 OA=x，则 OC=3x，根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，即 9x2+3x2=144，解得：x=2 故 C 的坐标是：（6，0），B 的坐标是（6，6）；（2）直线 AC 的斜率是：=，则直线 DE 的

4、斜率是：F 是 AC 的中点，则 F 的坐标是（3，3），设直线 DE 的解析式是 y=x+b，则 9+b=3，解得：b=6，则直线 DE 的解析式是：y=x6；（3）OF=AC=6，直线 DE 的斜率是：DE 与 x 轴夹角是 60，当 FM 是菱形的边时（如图 1），ONFM，则NOC=60或 120 当NOC=60时，过 N 作 NGy 轴，则 NG=ONsin30=6=3，OG=ONcos30=6=3，则 N 的坐标是（3，3）；当NOC=120时，与当NOC=60时关于原点对称，则坐标是（3，3）；当 OF 是对角线时（如图 2），MN 关于 OF 对称 F 的坐标是（3，3），FO

5、D=NOF=30，在直角ONH 中，OH=OF=3，ON=2 作 NLy 轴于点 L 在直角ONL 中，NOL=30，则 NL=ON=，OL=ONcos30=2=3 故 N 的坐标是（，3）则 N 的坐标是：（3，3）或（3，3）或（，3）40、（2013绥化压轴题）如图，直线 MN 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，C 两点，分别过 A，C两点作 x 轴，y 轴的垂线相交于 B 点，且 OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个实数根（1）求 C 点坐标；（2）求直线 MN 的解析式；（3）在直线 MN 上存在点 P，使以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等

6、腰三角形，请直接写出 P 点的坐标 考点：一次函数综合题 分析：（1）通过解方程 x214x+48=0 可以求得 OC=6，OA=8则 C（0，6）；（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k0）把点 A、C 的坐标分别代入解析式，列出关于系数 k、b 的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB 为腰，PB 为底两种情况下的点 P 的坐标根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答 解答：解：（1）解方程 x214x+48=0 得 x1=6，x2=8 OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个实数根，O

7、C=6，OA=8 C（0，6）；（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k0）由（1）知，OA=8，则 A（8，0）点 A、C 都在直线 MN 上，解得，直线 MN 的解析式为 y=x+6；（3）A（8，0），C（0，6），根据题意知 B（8，6）点 P 在直线 MNy=x+6 上，设 P（a，a+6）当以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：当 PC=PB 时，点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点，则 P1（4，3）；当 PC=BC 时，a2+（a+66）2=64，解得，a=，则 P2（，），P3（，）；当 PB=BC 时，（a8）2+（a+66

8、）2=64，解得，a=，则 a+6=，P4（，）综上所述，符合条件的点 P 有：P1（4，3），P2（，）P3（，），P4（，）点评：本题考查了一次函数综合题其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想 41、（2013常州压轴题）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴交于 A，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（a，0），（其中 a0），直线 l 过动点 M（0，m）（0m2），且与 x 轴平行，并与直线 AC、BC 分

9、别相交于点 D、E，P 点在 y 轴上（P 点异于 C 点）满足PE=CE，直线 PD 与 x 轴交于点 Q，连接 PA（1）写出 A、C 两点的坐标；（2）当 0m1 时，若PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形（注：若HNK 满足 HN=2HK，则称HNK 为以 H 为顶点的倍边三角形），求出 m 的值；（3）当 1m2 时，是否存在实数 m，使 CDAQ=PQDE？若能，求出 m 的值（用含 a 的代数式表示）；若不能，请说明理由 考点：一次函数综合题 3718684 分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；（2）如答图 1 所示，解题关键是求出点 P、点 Q 的坐标，然后利用 P

10、A=2PQ，列方程求解；（3）如答图 2 所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：，据此列方程求出 m 的值 解答：解：（1）在直线解析式 y=2x+2 中，令 y=0，得 x=1；x=0，得 y=2，A（1，0），C（0，2）；（2）当 0m1 时，依题意画出图形，如答图 1 所示 PE=CE，直线 l 是线段 PC 的垂直平分线，MC=MP，又 C（0，2），M（0，m），P（0，2m2）；直线 l 与 y=2x+2 交于点 D，令 y=m，则 x=，D（，m），设直线 DP 的解析式为 y=kx+b，则有，解得：k=2，b=2m2，直线 DP 的解析式为：y=2x+2m2 令 y=0

11、，得 x=m1，Q（m1，0）已知PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，即，整理得：（m1）2=，解得：m=（1，不合题意，舍去）或 m=，m=（3）当 1m2 时，假设存在实数 m，使 CDAQ=PQDE 依题意画出图形，如答图 2 所示 由（2）可知，OQ=m1，OP=2m2，由勾股定理得：PQ=（m1）；A（1，0），Q（m1，0），B（a，0），AQ=m，AB=a+1；OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=直线 lx 轴，CDECAB，；又CDAQ=PQDE，即，解得：m=1m2，当 0a1 时，m2，m 不存在；当 a1 时，m=当 1m2 时，若 a1，则

12、存在实数 m=，使 CDAQ=PQDE；若 0a1，则 m不存在 点评：本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点题目综合性较强，有一定的难度第（3）问中，注意比例式的转化，这样可以简化计算 42、（2013滨州压轴题）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线 l1的函数表达式为 y=x，请直接写出过原点且与 l1垂直的直线 l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30 求直线 l3的函数表达式；把直线 l3绕原点 O 按逆时针方向旋转 90得到的直线 l4，求直线 l4的函数表达式

13、（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线 y=垂直的直线 l5的函数表达式 考点：一次函数综合题 分析：（1）根据题意可直接得出 l2的函数表达式；（2）先设直线 l3的函数表达式为 y=k1x（k10），根据过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30，直线过一、三象限，求出 k1=tan30，从而求出直线 l3的函数表达式；根据 l3与 l4的夹角是为 90，求出 l4与 x 轴的夹角是为 60，再设 l4的解析式为y=k2x（k20），根据直线 l4过二、四象限

14、，求出 k2=tan60，从而求出直线 l4的函数表达式；（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，再根据这一关系即可求出与直线 y=垂直的直线 l5的函数表达式 解答：解：（1）根据题意得：y=x；（2）设直线 l3的函数表达式为 y=k1x（k10），过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30，直线过一、三象限，k1=tan30=，直线 l3的函数表达式为 y=x；l3与 l4的夹角是为 90，l4与 x 轴的夹角是为 60，设 l4的解析式为 y=k2x（k20），直线 l4过二、四象限，k2=tan60=，直线

15、l4的函数表达式为 y=x；（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，过原点且与直线 y=垂直的直线 l5的函数表达式为 y=5x 点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是锐角三角函数、一次函数的解析式的求法，关键是根据锐角三角函数求出 k 的值，做综合性的题要与几何图形相结合，更直观一些 43、（2013攀枝花压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形，ABCD，点B（10，0），C（7，4）直线 l 经过 A，D 两点，且 sinDAB=动点 P 在线段 AB 上从点A 出发以每秒 2 个单位的

16、速度向点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度沿BCD 的方向向点 D 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 ADC 相交于点 M，当 P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒（t0），MPQ 的面积为 S（1）点 A 的坐标为（4，0），直线 l 的解析式为 y=x+4；（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围；（3）试求（2）中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出 S 的最大值；（4）随着 P，Q 两点的运动，当点 M 在线段 DC 上运动时，设 PM 的

17、延长线与直线 l 相交于点N，试探究：当 t 为何值时，QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值 考点：一次函数综合题 分析：（1）利用梯形性质确定点 D 的坐标，利用 sinDAB=特殊三角函数值，得到AOD为等腰直角三角形，从而得到点 A 的坐标；由点 A、点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 l 的解析式；（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：当 0t1 时，如答图 1 所示；当 1t2 时，如答图 2 所示；当 2t时，如答图 3 所示（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的 S 表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定 S 的最大值；（4）QMN

18、为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解 解答：解：（1）C（7，4），ABCD，D（0，4）sinDAB=，DAB=45，OA=OD=4，A（4，0）设直线 l 的解析式为：y=kx+b，则有，解得：k=1，b=4，y=x+4 点 A 坐标为（4，0），直线 l 的解析式为：y=x+4 （2）在点 P、Q 运动的过程中：当 0t1 时，如答图 1 所示：过点 C 作 CFx 轴于点 F，则 CF=4，BF=3，由勾股定理得 BC=5 过点 Q 作 QEx 轴于点 E，则 BE=BQcosCBF=5t=3t PE=PBBE=（142t）3t=145t，S=PMPE=2t（145t）=5

19、t2+14t；当 1t2 时，如答图 2 所示：过点 C、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，E，则 CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t，S=PMPE=2t（167t）=7t2+16t；当点 M 与点 Q 相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t4）+（5t5）=7，解得 t=当 2t时，如答图 3 所示：MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，S=PMMQ=4（167t）=14t+32 （3）当 0t1 时，S=5t2+14t=5（t）2+，a=50，抛物线开口向下，对称轴为直线 t=，当 0t1 时，S 随 t 的增大而增大，当 t=1 时，S

20、 有最大值，最大值为 9；当 1t2 时，S=7t2+16t=7（t）2+，a=70，抛物线开口向下，对称轴为直线 t=，当 t=时，S 有最大值，最大值为；当 2t时，S=14t+32 k=140，S 随 t 的增大而减小 又当 t=2 时，S=4；当 t=时，S=0，0S4 综上所述，当 t=时，S 有最大值，最大值为 （4）QMN 为等腰三角形，有两种情形：如答图 4 所示，点 M 在线段 CD 上，MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，MN=DM=2t4，由 MN=MQ，得 167t=2t4，解得 t=；如答图 5 所示，当点 M 运动到 C 点，同时当 Q 刚好运动至

21、终点 D，此时QMN 为等腰三角形，t=故当 t=或 t=时，QMN 为等腰三角形 点评：本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（2）（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握 44、（2013宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（0，4），点 B 的坐标为（4，0），点 C 的坐标为（4，0），点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P，D，B 三点作Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交Q 于

22、点 F，连结 EF，BF （1）求直线 AB 的函数解析式；（2）当点 P 在线段 AB（不包括 A，B 两点）上时 求证：BDE=ADP；设 DE=x，DF=y请求出 y 关于 x 的函数解析式；（3）请你探究：点 P 在运动过程中，是否存在以 B，D，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为 2：1？如果存在，求出此时点 P 的坐标：如果不存在，请说明理由 考点：一次函数综合题 分析：（1）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）先证出BODCOD，得出BOD=CDO，再根据CDO=ADP，即可得出BDE=ADP，先连结 PE，根据ADP=DEP+DPE

23、，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，得出DPE=OAB，再证出DFE=DPE=45，最后根据DEF=90，得出DEF 是等腰直角三角形，从而求出 DF=DE，即 y=x；（3）当=2 时，过点 F 作 FHOB 于点 H，则DBO=BFH，再证出BODFHB，=2，得出 FH=2，OD=2BH，再根据FHO=EOH=OEF=90，得出四边形OEFH 是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据 DE=EF，求出 OD 的长，从而得出直线 CD的解析式为 y=x+，最后根据求出点 P 的坐标即可；当=时，连结 EB，先证出DEF 是等腰直角三角形，过点 F 作 FGOB

24、 于点 G，同理可得BODFGB，=，得出 FG=8，OD=BG，再证出四边形 OEFG 是矩形，求出 OD 的值，再求出直线 CD 的解析式，最后根据即可求出点 P 的坐标 解答：解：（1）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=1，则直线 AB 的函数解析式为 y=x+4；（2）由已知得：OB=OC，BOD=COD=90，又OD=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，连结 PE，ADP 是DPE 的一个外角，ADP=DEP+DPE，BDE 是ABD 的一个外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD

25、，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90，OAB=45，DPE=45，DFE=DPE=45，DF 是Q 的直径，DEF=90，DEF 是等腰直角三角形，DF=DE，即 y=x；（3）当 BD：BF=2：1 时，过点 F 作 FHOB 于点 H，DBO+OBF=90，OBF+BFH=90，DBO=BFH，又DOB=BHF=90，BODFHB，=2，FH=2，OD=2BH，FHO=EOH=OEF=90，四边形 OEFH 是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，DE=EF，2+OD=4OD，解得：OD=，点 D 的坐标为（0，），直线 CD 的解析式为 y=x+，由得：，则点 P 的坐标为

26、（2，2）；当=时，连结 EB，同（2）可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45，DEF 是等腰直角三角形，过点 F 作 FGOB 于点 G，同理可得：BODFGB，=，FG=8，OD=BG，FGO=GOE=OEF=90，四边形 OEFG 是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF，8OD=4+2OD，OD=43，点 D 的坐标为（0，43），直线 CD 的解析式为：y=13x 43，由得：，点 P 的坐标为（8，4），综上所述，点 P 的坐标为（2，2）或（8，4）点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点

27、是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组 45、（2013 济宁压轴题）如图，直线 y=x+4 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 y=x 交于点C在线段 OA 上，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运动，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB、OC 于点 E、F，连接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外）（1）求点 P 运动的速度是多少？（2）当 t 为多少秒时

28、，矩形 PEFQ 为正方形？（3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值 考点：一次函数综合题 分析：（1）根据直线 y=x+4 与坐标轴分别交于点 A、B，得出 A，B 点的坐标，再利用 EPBO，得出=，据此可以求得点 P 的运动速度；（2）当 PQ=PE 时，以及当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出 s 与 t 的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可 解答：解：（1）直线 y=x+4 与坐标轴分别交于点 A、B，x=0 时，y=4，y=0 时，x=8，=，当 t 秒时，QO=FQ=t，则 EP=t，EPBO

29、，=，AP=2t，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度；（2）如图 1，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，83t=t，解得：t=2，如图 2，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，OQ=t，PA=2t，OP=82t，QP=t（82t）=3t8，t=3t8，解得：t=4；（3）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时，OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，S 矩形 PEFQ=QPQF=（83t）t=8t3t2，当 t=时，S 矩形 PEFQ的最大值为：=4，如图 2，当 Q 在 P 点的右边时，OQ=t，PA=2t，QP=t（82t）=3t8，S 矩形 PEFQ=QPQE=（3t8）t=3t28t，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动，0t4，当 t=时，S 矩形 PEFQ的最小，t=4 时，S 矩形 PEFQ的最大值为：34284=16，综上所述，当 t=4 时，S 矩形 PEFQ的最大值为：16 点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出 P，Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键