（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 四边形（菱形）.doc

1、菱形 1、（绵阳市 2013 年）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8cm，BD=6cm，DHAB 于点 H，且 DH 与 AC 交于 G，则 GH=（B ）A 2825 cm B 2120 cm C 2815 cm D 2521cm 解析OA=4，OB=3，AB=5，BDHBOA，BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，AH=AB-BH=5-18/5=7/5，AGHABO，GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5/4，GH=21/20。2、（2013曲靖）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAC 交 BC于

2、点 E，交 AD 于点 F，连接 AE、CF则四边形 AECF 是（）A 梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 考点：菱形的判定；平行四边形的性质 分析：首先利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AFO=CEO，进而得出AFOCEO，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可 解答：解：四边形 AECF 是菱形，理由：在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO=CO，AFO=CEO，在AFO 和CEO 中，AFOCEO（AAS），FO=EO，四边形 AECF 平行四边形，EFAC，平行四边形 AECF 是菱形 故选：C 点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，根据

3、已知得出 EO=FO 是解题关键 3、（2013 凉山州）如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（）HGODCBA10 题图 A14 B15 C16 D17 考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质 分析：根据菱形得出 AB=BC，得出等边三角形 ABC，求出 AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可 解答：解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，B=60，ABC 是等边三角形，AC=AB=4，正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=44=16，故选 C 点评：本题考查了菱形性质，正方形

4、性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC 的长 4、（2012泸州）如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O，若 AC=6，BD=4，则菱形 ABCD 的周长是（）A 24 B 16 C 4 D 2 考点：菱形的性质；勾股定理 分析：由菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O，AC=6，BD=4，即可得 ACBD，求得 OA 与 OB 的长，然后利用勾股定理，求得 AB 的长，继而求得答案 解答：解：四边形 ABCD 是菱形，AC=6，BD=4，ACBD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，在 RtAOB 中，AB=，菱形的周长是：4AB=4 故选 C 点评：此

5、题考查了菱形的性质与勾股定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 5、（2013 菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 120 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A15或 30 B30或 45 C45或 60 D30或 60 考点：剪纸问题 分析：折痕为 AC 与 BD，BAD=120，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得ABD=30，易得BAC=60，所以剪口与折痕所成的角 a 的度数应为 30或 60 解答：解：四边形 ABCD 是菱形，ABD=ABC，BAC=BAD，ADBC，BAD=120，ABC=180BAD=180120=6

6、0，ABD=30，BAC=60 剪口与折痕所成的角 a 的度数应为 30或 60 故选 D 点评：此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角 6、（2013玉林）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形甲、乙两人的作法如下：甲：连接 AC，作 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD，AC，BC 于 M，O，N，连接 AN，CM，则四边形 ANCM 是菱形 乙：分别作A，B 的平分线 AE，BF，分别交 BC，AD 于 E，F，连接 EF，则四边形 ABEF是菱形 根据两人的作法可判断（）A 甲正确，乙错误 B 乙正确，甲错误 C 甲、乙均正确

7、D 甲、乙均错误 考点：菱形的判定3718684 分析：首先证明AOMCON（ASA），可得 MO=NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形 ANCM 是平行四边形，再由 ACMN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出 ANCM 是菱形；四边形 ABCD 是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得 AB=AF，所以四边形 ABEF 是菱形 解答：解：甲的作法正确；四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，DAC=ACN，MN 是 AC 的垂直平分线，AO=CO，在AOM 和CON 中，AOMCON（ASA），MO=NO，四边形 ANCM 是平行四边形，ACM

8、N，四边形 ANCM 是菱形；乙的作法正确；ADBC，1=2，6=7，BF 平分ABC，AE 平分BAD，2=3，5=6，1=3，5=7，AB=AF，AB=BE，AF=BE AFBE，且 AF=BE，四边形 ABEF 是平行四边形，AB=AF，平行四边形 ABEF 是菱形；故选：C 点评：此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）7、（2013 年潍坊市）如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=

9、OD,请你添加一个适当的条件 _,使 ABCD 成为菱形.（只需添加一个即可）答案：OA=OC 或 AD=BC 或 AD/BC 或 AB=BC 等 考点：菱形的判别方法.点评：此题属于开放题型，答案不唯一.主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理 8、（2013攀枝花）如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于点 E，cosA=，BE=4，则 tanDBE 的值是 2 考点：菱形的性质；解直角三角形 分析：求出 AD=AB，设 AD=AB=5x，AE=3x，则 5x3x=4，求出 x，得出 AD=10，AE=6，在 RtADE中，由勾股定理求出 DE=8，在 RtBDE 中得出 tanDB

10、E=，代入求出即可，解答：解：四边形 ABCD 是菱形，AD=AB，cosA=，BE=4，DEAB，设 AD=AB=5x，AE=3x，则 5x3x=4，x=2，即 AD=10，AE=6，在 RtADE 中，由勾股定理得：DE=8，在 RtBDE 中，tanDBE=2，故答案为：2 点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出 DE 的长 9、(2013 年临沂)如图，菱形 ABCD 中，AB4，o60B,AEBC AFCD,垂足分别为 E,F,连接 EF,则的AEF 的面积是 .答案：3 3 解析：依题可求得：BAD120，BAEDAF30，BEDF2，AEAF2 3，

11、所以，三角形 AEF 为等边三角形，高为 3，面积 S 13 2 32 3 3 10、（2013泰州）对角线互相 垂直 的平行四边形是菱形 考点：菱形的判定 分析：菱形的判定定理有有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，根据以上内容填上即可 解答：解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故答案为：垂直 点评：本题考查了对菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形 11、(2013 年南京)如图，将菱形纸片 ABCD 折迭，使点 A 恰好落在菱形的对称

12、中心 O 处，折痕为 EF。若菱形 ABCD 的边长为 2 cm，A=120，则 EF=cm。答案：3 解析：点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，如图，P 为 AO 中点，所以 E 为 A 职点，AE1，EAO=60，EP32，所以，EF 3 12、（2013淮安）若菱形的两条对角线分别为 2 和 3，则此菱形的面积是 3 考点：菱形的性质3718684 分析：菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可 解答：解：由题意，知：S 菱形=23=3，故答案为：3 点评：本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=两条对角线的乘积；具体用哪

13、种方法要看已知条件来选择 13、（2013牡丹江）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中，DAB=60连结对角线 AC，以 AC为边作第二个菱形 ACEF，使FAC=60连结 AE，再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使HAE=60按此规律所作的第 n 个菱形的边长是（）n1 考点：菱形的性质3718684 专题：规律型 分析：连接 DB 于 AC 相交于 M，根据已知和菱形的性质可分别求得 AC，AE，AG 的长，从而可发现规律根据规律不难求得第 n 个菱形的边长 解答：解：连接 DB，四边形 ABCD 是菱形，AD=ABACDB，DAB=60，ADB 是等边三角形，DB=AD=1，BM

14、=，AM=，AC=，同理可得 AE=AC=（）2，AG=AE=3=（）3，按此规律所作的第 n 个菱形的边长为（）n1，故答案为（）n1 点评：此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力 14、（2013宁夏）如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是 6 和 4，反比例函数的图象经过点 C，则 k 的值为 6 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质3718684 专题：探究型 分析：先根据菱形的性质求出 C 点坐标，再把 C 点坐标代入反比例函数的解析式即可得出 k的值 解答：解：菱形的两条对角线的长分别是

15、6 和 4，A（3，2），点 A 在反比例函数 y=的图象上，2=，解得 k=6 故答案为：6 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式 15、（2013攀枝花）如图，分别以直角ABC 的斜边 AB，直角边 AC 为边向ABC 外作等边ABD 和等边ACE，F 为 AB 的中点，DE 与 AB 交于点 G，EF 与 AC 交于点 H，ACB=90，BAC=30给出如下结论：EFAC；四边形 ADFE 为菱形；AD=4AG；FH=BD 其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三

16、角形 分析：根据已知先判断ABCEFA，则AEF=BAC，得出 EFAC，由等边三角形的性质得出BDF=30，从而证得DBFEFA，则 AE=DF，再由 FE=AB，得出四边形 ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出 AD=4AG，从而得到答案 解答：解：ACE 是等边三角形，EAC=60，AE=AC，BAC=30，FAE=ACB=90，AB=2BC，F 为 AB 的中点，AB=2AF，BC=AF，ABCEFA，FE=AB，AEF=BAC=30，EFAC，故正确，EFAC，ACB=90，HFBC，F 是 AB 的中点，HF=BC，BC=AB，AB=BD，HF=BD，故说法正确

17、；AD=BD，BF=AF，DFB=90，BDF=30，FAE=BAC+CAE=90，DFB=EAF，EFAC，AEF=30，BDF=AEF，DBFEFA（AAS），AE=DF，FE=AB，四边形 ADFE 为平行四边 形，AEEF，四边形 ADFE 不是菱形；故说法不正确；AG=AF，AG=AB，AD=AB，则 AD=AG，故说法正确，故答案为 点评：本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择 16、（2013内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M、N 分别是边 BC、CD 的中点，P 是

18、对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值=5 考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质 分析：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接AC，求出 OC、OB，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC，即可得出答案 解答：解：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接AC，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，QBP=MBP，即 Q 在 AB 上，MQBD，ACMQ，M 为 BC 中点，Q 为 AB 中点，N 为 CD 中点，四边形 ABCD 是

19、菱形，BQCD，BQ=CN，四边形 BQNC 是平行四边形，NQ=BC，四边形 ABCD 是菱形，CO=AC=3，BO=BD=4，在 RtBOC 中，由勾股定理得：BC=5，即 NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5 点评：本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置 17、（2013黔西南州）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AEBC 于 E，AFCD 于 F，B=60，则菱形的面积为 考点：菱形的性质 分析：根据已知条件解直角三角形 ABE 可求出 AE 的长，再由菱形的面积等于底高

20、计算即可 解答：解：菱形 ABCD 的边长为 4，AB=BC=4，AEBC 于 E，B=60，sinB=，AE=2，菱形的面积=42=8，故答案为 8 点评：本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用 18、（2013衢州）如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，A=60顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连结四边 形 A2B2C2D2各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去则四边形 A2B2C2D2的周长是 20；四边形 A2013B2013

21、C2013D2013的周长是 考点：中点四边形；菱形的性质 专题：规律型 分析：根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可 解答：解：菱形 ABCD 中，边长为 10，A=60，顺次连结菱形 ABCD 各边中点，AA1D1是等边三角形，四边形 A2B2C2D2是菱形，A1D1=5，C1D1=AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，四边形 A2B2C2D2的周长是：54=20，同理可得出：A3D3=5，C3D3=AC=5，A5D5=5（）2，C5D5=AC=（）25，四边形 A2013B2013C2013D2013的周长是：=故答案为：20，点

22、评：此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键 19、（2013 四川宜宾）如图，在ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CEBD于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接BG、DF若 AG=13，CF=6，则四边形 BDFG 的周长为 20 考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 分析：首先可判断四边形 BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得 BD=FD，则可判断四边形 BGFD 是菱形，设 GF=x

23、，则 AF=13x，AC=2x，在 RtACF中利用勾股定理可求出 x 的值 解答：解：AGBD，BD=FG，四边形 BGFD 是平行四边形，CFBD，CFAG，又点 D 是 AC 中点，BD=DF=AC，四边形 BGFD 是菱形，设 GF=x，则 AF=13x，AC=2x，在 RtACF 中，AF2+CF2=AC2，即（13x）2+62=（2x）2，解得：x=5，故四边形 BDFG 的周长=4GF=20 故答案为：20 点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形 BGFD 是菱形 20、（2013黄冈）如图，四边形 ABCD 是菱形，

24、对角线 AC、BD 相交于点 O，DHAB 于 H，连接 OH，求证：DHO=DCO 考点：菱形的性质3481324 专题：证明题 分析：根据菱形的对角线互相平分可得 OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OH=OB，然后根据等边对等角求出OHB=OBH，根据两直线平行，内错角相等求出OBH=ODC，然后根据等角的余角相等证明即可 解答：证明：四边形 ABCD 是菱形，OD=OB，COD=90，DHAB，OH=OB，OHB=OBH，又ABCD，OBH=ODC，在 RtCOD 中，ODC+DCO=90，在 RtGHB 中，DHO+OHB=90，DHO=DCO 点评：本题考查

25、了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键 21、（2013十堰）如图，已知正比例函数 y=2x 和反比例函数的图象交于点 A（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）若双曲线上点 C（2，n）沿 OA 方向平移个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论 考点：反比例函数综合题3718684 分析：（1）设反比例函数的解析式为 y=（k0），然后根据条件求出 A 点坐标，再求出 k的值，进而求出反

26、比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）首先求出 OA 的长度，结合题意 CBOA 且 CB=，判断出四边形 OABC 是平行四边形，再证明 OA=OC 即可判定出四边形 OABC 的形状 解答：解：（1）设反比例函数的解析式为 y=（k0），A（m，2）在 y=2x 上，2=2m，m=1，A（1，2），又点 A 在 y=上，k=2，反比例函数的解析式为 y=；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围为1x0 或 x1；（3）四边形 OABC 是菱形 证明：A（1，2），OA=，由题意知：CBOA 且 CB

27、=，CB=OA，四边形 OABC 是平行四边形，C（2，n）在 y=上，n=1，C（2，1），OC=，OC=OA，四边形 OABC 是菱形 点评：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题 22、（2013 年广州市）如图 8，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O,AB=5,AO=4,求 BD 的长.分析：根据菱形的性质得出 ACBD，再利用勾股定理求出 BO 的长，即可得出答案 解：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O，ACBD，DO=BO，AB=5，

28、AO=4，BO=3，BD=2BO=23=6 点评：此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO 的长是解题关键 23、（2013常州）如图，在ABC 中，AB=AC，B=60，FAC、ECA 是ABC 的两个外角，AD 平分FAC，CD 平分ECA 求证：四边形 ABCD 是菱形 考点：菱形的判定3718684 专题：证明题 分析：根据平行四边形的判定方法得出四边形 ABCD 是平行四边形，再利用菱形的判定得出 解答：证明：B=60，AB=AC，ABC 为等边三角形，AB=BC，ACB=60，FAC=ACE=120，BAD=BCD=120，B=D=60，四边形 ABCD 是平行四边形

29、，AB=BC，平行四边形 ABCD 是菱形 点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出 AB=BC 是解决问题的关键 24、（2013恩施州）如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点，求证：四边形 EFGH 为菱形 考点：菱形的判定；梯形；中点四边形 专题：证明题 分析：连接 AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得 AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到 EF=FG=GH=HE，再根据

30、四条边都相等的四边形是菱形判定即可 解答：证明：如图，连接 AC、BD，ADBC，AB=CD，AC=BD，E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点，在ABC 中，EF=AC，在ADC 中，GH=AC，EF=GH=AC，同理可得，HE=FG=BD，EF=FG=GH=HE，四边形 EFGH 为菱形 点评：本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点 25、（2013宜昌）如图，点 E，F 分别是锐角A 两边上的点，AE=AF，分别以点 E，F 为圆心，以 AE 的长为半径画弧，两弧相

31、交于点 D，连接 DE，DF（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；（2）连接 EF，若 AE=8 厘米，A=60，求线段 EF 的长 考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 分析：（1）由 AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形 AEDF是菱形；（2）首先连接 EF，由 AE=AF，A=60，可证得EAF 是等边三角形，则可求得线段EF 的长 解答：解：（1）菱形 理由：根据题意得：AE=AF=ED=DF，四边形 AEDF 是菱形；（2）连接 EF，AE=AF，A=60，EAF 是等边三角形，EF=AE=8 厘米 点评：此题考查了菱形的判定与性质

32、以及等边三角形的判定与性质此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 26、（2013雅安）在 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 AE=CF（1）求证：ADECBF；（2）若 DF=BF，求证：四边形 DEBF 为菱形 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题：证明题 分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得 AD=BC，A=C，再加上条件 AE=CF 可利用 SAS证明ADECBF；（2）首先证明 DF=BE，再加上条件 ABCD 可得四边形 DEBF 是平行四边形，又 DF=FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论 解答：证

33、明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，A=C，在ADE 和CBF 中，ADECBF（SAS）；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB=CD，AE=CF，DF=EB，四边形 DEBF 是平行四边形，又DF=FB，四边形 DEBF 为菱形 点评：此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质 27、（2013南宁）如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E、F 分别是边 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）若B=60，AB=4，求线段 AE 的长 考点：菱形的性质；全等三角形的

34、判定与性质；等边三角形的判定与性质3718684 分析：（1）首先根据菱形的性质，得到 AB=BC=AD=CD，B=D，结合点 E、F 分别是边 BC、AD 的中点，即可证明出ABECDF；（2）首先证明出ABC 是等边三角形，结合题干条件在 RtAEB 中，B=60，AB=4，即可求出 AE 的长 解答：解：（1）四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=AD=CD，B=D，点 E、F 分别是边 BC、AD 的中点，BE=DF，在ABE 和CDF 中，ABECDF（SAS）；（2）B=60，ABC 是等边三角形，点 E 是边 BC 的中点，AEBC，在 RtAEB 中，B=60，AB=4，sin

35、60=，解得 AE=2 点评：本题主要考查菱形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全等三角形的证明以及等边三角形的性质，此题难度不大，是一道比较好的中考试题 28、（2013 安顺）如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE，连接 CF（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE=4，BCF=120，求菱形 BCFE 的面积 考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理 分析：从所给的条件可知，DE 是ABC 中位线，所以 DEBC 且 2DE=BC，所以 BC 和 EF 平行且相等，所以四边形 BCFE 是

36、平行四边形，又因为 BE=FE，所以是菱形；BCF 是 120，所以EBC 为 60，所以菱形的边长也为 4，求出菱形的高面积就可求 解答：（1）证明：D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC 且 2DE=BC，又BE=2DE，EF=BE，EF=BC，EFBC，四边形 BCFE 是平行四边形，又BE=FE，四边形 BCFE 是菱形；（2）解：BCF=120，EBC=60，EBC 是等边三角形，菱形的边长为 4，高为 2，菱形的面积为 42=8 点评：本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点 29、（2013娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完

37、全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角（090），如图（2），AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF交于点 P（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角=30时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定 分析：（1）根据旋转的性质得出 AB=AF，BAM=FAN，进而得出ABMAFN 得出答案即可；（2）利用旋转的性质得出FAB=120，FPC=B=60，即可得出四边形 ABPF 是平行四边形，再利用菱形的判定得

38、出答案 解答：（1）证明：用两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角（090），AB=AF，BAM=FAN，在ABM 和AFN 中，ABMAFN（ASA），AM=AN；（2）解：当旋转角=30时，四边形 ABPF 是菱形 理由：连接 AP，=30，FAN=30，FAB=120，B=60，AFBP，F=FPC=60，FPC=B=60，ABFP，四边形 ABPF 是平行四边形，AB=AF，平行四边形 ABPF 是菱形 点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知识，根据旋转前

39、后图形大小不发生变化得出是解题关键 30、（2013株洲）已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30，求 CE 的长 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理3718684 分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得 AO=CO，对边平行可得 ADBC，再利用两直线平行，内错角相等可得OAE=OCF，然后利用“角边角”证明AOE 和COF 全等；（2）根据菱形的对角线平分一组对

40、角求出DAO=30，然后求出AEF=90，然后求出 AO 的长，再求出 EF 的长，然后在 RtCEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AO=CO，ADBC，OAE=OCF，在AOE 和COF 中，AOECOF（ASA）；（2）解：BAD=60，DAO=BAD=60=30，EOD=30，AOE=9030=60，AEF=180BODAOE=1803060=90，菱形的边长为 2，DAO=30，OD=AD=2=1，AO=，AE=CF=，菱形的边长为 2，BAD=60，高 EF=2=，在 RtCEF 中，CE=点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定

41、与性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出CEF 是直角三角形是解题的关键，也是难点 31、（2013苏州）如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点，连接 DP 并延长 DP 交边 AB于点 E，连接 BP 并延长交边 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G（1）求证：APBAPD；（2）已知 DF：FA=1：2，设线段 DP 的长为 x，线段 PF 的长为 y 求 y 与 x 的函数关系式；当 x=6 时，求线段 FG 的长 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质3718684 分析：（1）根据菱形的性质

42、得出DAP=PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出APBAPD；（2）首先证明DFPBEP，进而得出=，=，进而得出=，即=，即可得出答案；根据中所求得出 PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出=，求出即可 解答：（1）证明：点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点，DAP=PAB，AD=AB，在APB 和APD 中，APBAPD（SAS）；（2）解：APBAPD，DP=PB，ADP=ABP，在DFP 和BEP 中，DFPBEP（ASA），PF=PE，DF=BE，GDAB，=，DF：FA=1：2，=，=，=，=，即=，y=x；当 x=6 时，y=6=4，PF=PE=4，DP=

43、PB=6，=，=，解得：FG=5，故线段 FG 的长为 5 点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据平行关系得出=，=是解题关键 32、（2013 聊城）如图，AB 是O 的直径，AF 是O 切线，CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F，CD=，BE=2求证：（1）四边形 FADC 是菱形；（2）FC 是O 的切线 考点：切线的判定与性质；菱形的判定 分析：（1）首先连接 OC，由垂径定理，可求得 CE 的长，又由勾股定理，可求得半径 OC 的长，然后由勾股定理求得 AD 的长，即可得 AD=CD，易证

44、得四边形 FADC 是平行四边形，继而证得四边形 FADC 是菱形；（2）首先连接 OF，易证得AFOCFO，继而可证得 FC 是O 的切线 解答：证明：（1）连接 OC，AB 是O 的直径，CDAB，CE=DE=CD=4=2，设 OC=x，BE=2，OE=x2，在 RtOCE 中，OC2=OE2+CE2，x2=（x2）2+（2）2，解得：x=4，OA=OC=4，OE=2，AE=6，在 RtAED 中，AD=4，AD=CD，AF 是O 切线，AFAB，CDAB，AFCD，CFAD，四边形 FADC 是平行四边形，FADC 是菱形；（2）连接 OF，四边形 FADC 是菱形，FA=FC，在AFO

45、 和CFO 中，AFOCFO（SSS），FCO=FAO=90，即 OCFC，点 C 在O 上，FC 是O 的切线 点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 33、（2013 泰安）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，EFD=BCD，并说明理由 考点：菱形的判定与性质；全等

46、三角形的判定与性质 分析：（1）首先利用 SSS 定理证明ABCADC 可得BAC=DAC，再证明ABFADF，可得AFD=AFB，进而得到AFD=CFE；（2）首先证明CAD=ACD，再根据等角对等边可得 AD=CD，再有条件 AB=AD，CB=CD 可得AB=CB=CD=AD，可得四边形 ABCD 是菱形；（3）首先证明BCFDCF 可得CBF=CDF，再根据 BECD 可得BEC=DEF=90，进而得到EFD=BCD 解答：（1）证明：在ABC 和ADC 中，ABCADC（SSS），BAC=DAC，在ABF 和ADF 中，ABFADF，AFD=AFB，AFB=AFE，AFD=CFE；（2

47、）证明：ABCD，BAC=ACD，又BAC=DAC，CAD=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四边形 ABCD 是菱形；（3）当 EBCD 时，EFD=BCD，理由：四边形 ABCD 为菱形，BC=CD，BCF=DCF，在BCF 和DCF 中，BCFDCF（SAS），CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，EFD=BCD 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具 34、（2013遂宁）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是 E、F

48、，并且 DE=DF求证：（1）ADECDF；（2）四边形 ABCD 是菱形 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题：证明题 分析：（1）首先根据平行四边形的性质得出A=C，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）根据菱形的判定得出即可 解答：解：（1）DEAB，DFBC AED=CFD=90，四边形 ABCD 是平行四边形 A=C，在AED 和CFD 中 AEDCFD（AAS）；（2）AEDCFD，AD=CD，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是菱形 点评：此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出A=C 是解题关键 35、（201

49、3舟山）某学校的校门是伸缩门（如图 1），伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每个菱形边长为 30 厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60（如图 2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60缩小为 10（如图 3）问：校门打开了多少米？（结果精确到 1米，参考数据：sin50.0872，cos50.9962，sin100.1736，cos100.9848）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质 分析：先求出校门关闭时，20 个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20 个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可 解答：解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD 根据题意，得BAD=60，A

50、B=0.3 米 在菱形 ABCD 中，AB=AD，BAD 是等边三角形，BD=AB=0.3 米，大门的宽是：0.3206（米）；校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1 根据题意，得B1A1D1=10，A1B1=0.3 米 在菱形 A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O1=5，在 RtA1B1O1中，B1O1=sinB1A1O1A1B1=sin50.3=0.02616（米），B1D1=2B1O1=0.05232 米，伸缩门的宽是：0.0523220=1.0464 米；FEDCBA校门打开的宽度为：61.0464=4.95365（米）故校门打开了 5 米 点评：本题考查了菱形的性质

51、，解直角三角形的应用，难度适中解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解 37、(2013 年临沂)如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF.（1）求证：AF=DC；（2）若 ABAC,试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论.解 析：证 明：（1）E是AD的 中 点，AE=ED.(1 分)AFBC,AFE=DBE,FAE=BDE,AFEDBE.(2 分)AF=DB.AD 是 BC 边上的中点，DB=DC,AF=DC (3 分)（2）四边形 ADCF 是菱形.(4 分)理由：由（1）知，AF=DC,AFCD,四边形 ADCF 是平行四边形.(5 分)又ABAC,ABC 是直角三角形 AD 是 BC 边上的中线,12ADBCDC.(6 分)平行四边形 ADCF 是菱形.(7 分)（第 22 题图）