（全国I卷）2020届高三数学考前冲刺必刷卷（三）理（含解析）.doc

1、（全国 I 卷）2020 届高三数学考前冲刺必刷卷（三）理（含解析）第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|02Axx，12|log2Bxx，则 AB （）A.R B.|02xx C.|0 x x D.1|24xx【答案】C【解析】【分析】先化简集合 A，B，再求 AB.【详解】因为|02Axx，121|log2|4Bxxx x，所以|0ABx x.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知 1,2A，2,1B，若点C 满足0ACAB，则点C 坐标为（）A.1 1,2 2 B.3,3 C.3

2、,3 D.4,5【答案】D【解析】【分析】先设,C x y，由0ACAB得 ACBA，再由坐标求解.【详解】设,C x y，由0ACAB得 ACBA，即1,23,3xy，所以1323xy ，解得45xy，所以点C 坐标为4,5.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.3.已知命题 p：00,x，使得0sin xa，命题q：对1,32x，11ax ，若 pq为真命题，则a 的取值范围是（）A.40,3 B.0,3 C.41,3 D.1,3 【答案】A【解析】【分析】根据 pq为真命题，判断出,p q均为真命题，分别求得,p q为真命题时，各自的a 的取值范围，取这两个取值范围

3、的交集求得a 的取值范围.【详解】由于 pq为真命题，所以,p q均为真命题.对于命题 p，00,x时，0sin0,1x，所以0a.对于命题q，由于1,32x，所以 1114,2,1,333xx，所以43a.所以a 的取值范围是40,3.故选：A.【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围.考查存在性问题和恒成立问题的求解策略，属于基础题.4.已知点 cos300,sin300P 是角 终边上一点，则sincos（）A.3122 B.3122 C.3122 D.3122【答案】D【解析】【分析】根据点 cos300,sin300P 是角 终边上一点，利用三角函数的定义

4、求解.【详解】由点 cos300,sin300P 是角 终边上一点，可得sincossin300cos300sin 360cos 366600031sin60cos6022.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.5.已知21()()ln|f xxaxx是奇函数，则曲线 f x 在1x 处的切线方程为（）A.230 xy B.210 xy C.210 xy D.20 xy【答案】A【解析】【分析】先根据21()()ln|f xxaxx是奇函数，得0a，11f ，当0 x 时，求导得12f ，然后写出切线方程.【详解】由21()()ln|f xxaxx是奇函数，可得0a

5、，11f ，当0 x 时，1lnf xxxx，21()ln()1fxxx，12f ，所以曲线 f x 在1x 处的切线方程为121yx，即230 xy.故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.直线 ya与函数()tan(0)4f xx的图象的相邻两个交点的距离为2，若 f x 在,0m mm上是增函数，则m 的取值范围是（）A.(0,4 B.(0,2 C.3(0,4 D.3(0,2【答案】B【解析】【分析】根据直线 ya与函数 f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12，则 1tan 24f xx，然后求得其单调增区间，再根

6、据 f x 在,0m mm上是增函数，由(,)m m是增区间的子集求解.【详解】因为直线 ya与函数 f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12，1tan 24f xx，由12242kxk，得322()22kxkkZ，所以 f x 在3,22 上是增函数，由3(,),22m m ，解得02m.故选：B【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题 7.已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 20f xfx，且0,1x时 2f xxx，则方程 14f x 的解集为（）A.B.3|4,2x xkkZ C.3|4,2x xkkZ D.3|2,2x xkkZ

7、【答案】C【解析】【分析】根据 f x 为偶函数，20f xfx，可推出 f x 是周期为 4 的周期函数，再根据0,1x时 2f xxx，得到一个周期2,2x 时，14f x 的解集为3 3,2 2，然后加上周期即可.【详解】因为 f x 为偶函数 所以 fxf x 又因为 20f xfx，所以 2fxf x 所以 4fxf x 所以 f x 是周期为 4 的周期函数，因为0,1x时 2f xxx，如图所示：所以当2,2x 时，14f x 的解集为3 3,2 2，所以方程 14f x 的解集为3|4,2x xkkZ.故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了数形结合的思想

8、和运算求解的能力，属于中档题.8.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，则 ABC的面积222221()42abcSab.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且2222abc，则 ABC的面积为（）A.2 B.2 2 C.6 D.2 3 【答案】A【解析】【分析】根据cos3cos0aBbcA，利用正弦定理边化为角得sincoscossin3sincos0ABABCA，整理为sin1 3cos0CA，根据sin0C，得1cos3A ，再 由 余 弦 定 理 得3bc，又222 2abc，代 入

9、公 式222221()42cbaSbc求解.【详解】由cos3cos0aBbcA得sincoscossin3sincos0ABABCA，即sin3sincos0ABCA，即sin1 3cos0CA，因为sin0C，所以1cos3A ，由余弦定理22222cos23abcbcAbc，所以3bc，由 ABC的面积公式得222222211()312424cbaSbc 故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.在平行四边形 ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上（包含端点），且2AC，则PB PD PA有（）.A.最大值为 12，没有最小值

10、B.最小值为12，没有最大值 C.最小值为12，最大值为 4 D.最小值为 4，最大值为 12【答案】C【解析】【分析】画出图形,通过平面向量的线性运算可将PBPDPA转化为两个共线向量的数量积,分类讨论 P 的位置,利用不等式即可求出最值.【详解】如图：2PBPDPO所以2PBPD PAPO PA（）,（1）当点 P 在 AO 上,设|0,1POa,()22(1)PBPD PAPO PAaa,当12a 时,有最小值12;（2）当点 P 在CO上,设|0,1POa,()22(1)PBPD PAPO PAaa,当1a 时,有最大值 4;综上PBPDPA有最小值为12,最大值为 4.故选:C 【点

11、睛】本题考查了向量的数量积最值问题,在解答过程中需要注意分类讨论,运用数量积的及算法方法结合不等式求出最值,本题属于中档题.10.已知14a，5ln 4b，c 满足122logcc，则下列关系正确是（）A.abc B.cab C.acb D.bca【答案】B【解析】【分析】根据1412122log 4，11220log 1，可得 114c，构造函数 ln11f xxxx，利用导数研究其单调性，比较,a b 的大小.【详解】由1412122log 4，11220log 1，可得 114c，构造函数 ln11f xxxx，则 110fxx，所以 f x 在1,)上是减函数，所以 514ff，解得5

12、1ln 44.所以cab 故选：B【点睛】本题主要考查对数，指数比较大小，还考查了构造函数用导数法研究单调性问题，属于中档题.11.已知函数 sin(0)f xx满足00112f xf x，且 f x 在00,1x x 上有最小值，无最大值.给出下述四个结论：0112fx；若00 x，则 sin 26f xx；f x 的最小正周期为 3；f x 在0,2019 上的零点个数最少为 1346 个 其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可【详解】00,1x x 区间中点为012x，根据正弦曲线的对称性知0112f

13、x,正确.若00 x，则00112f xf x，即12sin ，不妨取6 ，此时 sin 26f xx，满足条件，但113f 为0,1 上的最大值，不满足条件，故错误.不妨令0526xk，0126xk，两式相减得23,即函数的周期23T，故正确.区间0,2019 的长度恰好为 673 个周期，当 00f时，即k时，f x 在开区间0,2019 上零点个数至少为673 2 1 1345 ，故错误.故正确的是，故选：C【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象和性质，利用特值法以及三角函数的性质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 12.已知函数 22xf xxx

14、e，若方程 f xa有 3 个不同的实根123123,x x xxxx，则22ax 的取值范围是（）A.1,0)e B.22,0e C.222,2ee D.20,2e【答案】A【解析】【分析】利用导数法，明确 f x 在,2，2,上是增函数，在2,2上是减函数，结合 f x 的图象，得220 x，构造函数 2222222xf xag xx exx，再利用导数法求其取值范围.【详解】由 22xf xxx e得 22xfxxe，所以 f x 在,2，2,上是增函数，在2,2上是减函数，结合 f x 的图象 可得220 x，又2222222xf xax exx，设()(20)xg xxex，则 1x

15、gxxe，所以 g x 在2,1上是减函数，在1,0上是增函数，由 11ge，222ge，00g，可得22ax 的取值范围是 1,0)e 故选：A【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解问题的能力，属于难题.第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.若23122,2()2,2xxxf xx，且 2f a，则a _【答案】2 2或 6【解析】【分析】根据分段函数的定义域，分2a，2a，两种情况讨论求解.详解】若2a，由 232f aa，得28a，所以2 2a（舍去）或2 2a ，若2a，由12222a，得6a.故答案为：2 2或 6【点睛】本

16、题主要考查分段函数求函数值，还考查了分类讨论思想和运算求解问题的能力，属于基础题.14.若1tan3tanxx，则44sincosxx _【答案】79【解析】【分析】根 据1t a n3t a nxx，利 用 商 数 关 系，化 简 为1sin cos3xx，再 利 用 平 方 关 系442sincos1 2(sin cos)xxxx求解.【详解】由1tan3tanxx得22sincsinos13sin cossin coscoscossinxxxxxxxxxx，所以1sin cos3xx，所以44227sincos1 2(sin cos)199xxxx .故答案为：79【点睛】本题主要考查同

17、角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.已知 ABC中，3AB，5AC，7BC，若点 D满足1132ADABAC，则DB DC_【答案】12【解析】【分析】根据1132ADABAC，以,ABAC为一组基底，由2222()2BCACABACABAB AC，得到152AB AC，再由2111()()3223DBDCABADACADABACACAB求解.【详解】因为2222()2BCACABACABAB AC 又因为3AB，5AC，7BC 所以152AB AC，所以2111()()3223DB DCABADACADABACACAB 22211251521294244ABACA

18、B AC 故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，若 cos2 cosbCcB，且2c，则 ABC面积的最大值为_【答案】3【解析】【分析】根据 cos2 cosbCcB，利用正弦定理得sincos2cossinBCBC，再利用两角和的正弦，有sin3cossinABC，再根据2c，表示：2sinsinAaC，2sinsinBbC，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.【详解】由 cos2 cosbCcB得sincos2cossinBCBC，所以sinsin()sin

19、coscossin3cossinABCBCBCBC，由2c 可得2sinsinsinabCAB，所以2sinsinAaC，2sinsinBbC，所以211 4sinsinsinsinsin2sin22sinsinABCABAabCCBCSC6sincos3sin23BBB 当4B时，ABC面积取得最大值 3.【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.17.已知 sin(0,0,0)f xAxA的部分图象如图所示 1 写出 A，的值(直接写出结果)；2 若 cos2g xf xx，求 g x

20、在 0,4上的值域【答案】（1）2A，2，3；（2）30,12【解析】【分析】（1）由()f x 的部分图象直接可求得 A，T，和 的值；（2）由()f x 求得()g x 的解析式，化为正弦型函数，再求()g x 在 0,4上的值域【详解】解：（1）由 sinf xAx 的部分图象知，3532,46124AT，解得T；22T；令2 122x，解得3；（2）由（1）知，()2sin 2sin 23 cos23f xxxx；所以213(1 cos4)3()sin 2 cos23 cos 2sin 4sin 42232xg xxxxxx；当0,4x时，44333x，所以3sin123x，所以30(

21、)12g x，即函数()g x 在 0,4上的值域为30,12【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题 18.已知定义域为(,0)(0,)I 的函数 f x 满足对任意12,(,0)(0,)x x ，都有121221fx xx fxx fx.（1）求证：f x 是奇函数；（2）设 f xg xx，且1x 时，0g x，求证：g x 在0,上是减函数；求不等式 213gxgx的解集.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；1 11(,1),5 22.【解析】【分析】（1）采用赋值法，利用奇偶性的定义求解.（2）根据 f xg xx及121221fx

22、 xx fxx fx，得 g x 是偶函数且 1212g x xg xg x，再利用单调性的定义证明.由 g x 是偶函数且在0,上是减函数，将不等式(21)(3)gxgx，转化为(|21|)(|3|)gxgx求解.【详解】（1）取121xx，得 10f，取121xx ，得 11102ff，取1xx，21x ，得 1fxf xxff x ，所以 f x 是奇函数.（2）由 f xg xx及121221fx xx fxx fx，可得 g x 是偶函数且 1212g x xg xg x，设120 xx，则121xx，由1x 时 0g x，得120 xgx，所以 11122222xxg xg xg

23、xgg xxx，所以 g x 在0,上是减函数.由 g x 是偶函数且在0,上是减函数，可得(21)(3)(|21|)(|3|)gxgxgxgx 2212102300213(21)(3)xxxxxxxx 1x 或 1152x或12x，所以不等式 213gxgx的解集为1 11(,1),5 22.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，还考查了转化论证运算求解的能力，属于中档题.19.如图，在 ABC中，3A，在 CDE中，4CE，BCCD，ACCD，,A C E三点共线，DFCE于点 F，3DF.（1）若6DCE，求 DE；（2）求 BC最小值.【答案】（1）2；（2）6 23.

24、【解析】【分析】（1）根据3DF，6DCE及 DFCE，求得22 3CDDF，然后在 CDE中，由余弦定理2222cosDECDCECD CEDCE求解.（2）设DCE，则3sinACCD，在 ABC中，3A，2ACB，6ABC，然后由正弦定理得到sin3sin2sinsin 6ACABCABC，再化简转化为33sin 232BC求解.【详解】（1）由3DF，6DCE及 DFCE得22 3CDDF，在 CDE中，由余弦定理得2222cosDECDCECD CEDCE 312 162 2 3442 ，所以2DE.（2）设DCE，则3sinACCD，在 ABC中，3A，2ACB，6ABC，由正弦定

25、理得 sinsinBCACAABC，所以sin3sin2sinsin 6ACABCABC 2333sinsincos331cos2sin 2222 336(23)33sin 21322.当 232，即512 时取等号.所以 BC 的最小值为 6 23.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了辅助角法以及运算求解的能力，属于中档题.20.已知函数()ln()x af xxea aR.（1）若1a ，讨论 f x 的单调性；（2）若1a ，求证：0f x.【答案】（1）f x 在0,1 上是增函数，在1,上是减函数；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）当1a 时，1ln

26、1xf xxe ，求导 11xfxex，由 0fx得增区间，0fx，得减区间.（2）由 lnx af xxea得 1x afxex，fx在0,是减函数，易知1x 且xa 时 10 x afxex，当1x 且 xa 时，10 x afxex，所以存在00 x,，得00fx，有001xaex，即 00lnaxx，代入0000001ln2lnxaf xxeaxxx，构造函数设1()2ln(01)g xxxxx，研究其最大值即可.【详解】（1）当1a 时，1ln1xf xxe ，所以 11xfxex，显然 fx在0,上是减函数，且 10f，所以0,1x时，0fx，f x 是增函数，1,x 时，0fx，

27、f x 是减函数，故 f x 在0,1 上是增函数，在1,上是减函数.（2）由 lnx af xxea得 1x afxex，fx在0,是减函数，1x 且 xa 时 10 x afxex，当1x 且 xa 时，10 x afxex，所以存在00 x,，使得00fx，所以 f x 在00,x上是增函数，在0,x 上是减函数，0f xf x，由00fx得001xaex，00ln xxa，00lnaxx，由1a 得001x，因为0000001ln2lnxaf xxeaxxx，设1()2ln(01)g xxxxx，则 g x 在(0,1上是增函数，所以 10g xg，即 00f x，所以 0f x.【点

28、睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的要求，扎实推进社会主义新农村建设，2018 年 4 月习近平近日作出重要指示强调，要结合实施农村人居环境整治三年行动计划和乡村振兴战略，建设好生态宜居的美丽乡村.为推进新农村建设某自然村计划在村边一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界,AB BC CD DE AE 以及对角线 BE 均为绿化区小路（不考虑宽度），120BCDCDEBAE ，100 3BCCDm,400DEm.（1）求

29、四边形 BCDE 的面积；（2）求绿化区所有小路长度之和的最大值.【答案】（1）600007500 3（m2）（2）9001600 33（m）【解析】【分析】（1）连接 BD，分别求 BCD和 BDE的面积，即可求解；（2）由（1）知,BC CD DE 边长为定值，则在 ABE中，可知500BEm，根据余弦定理和基本不等式，求解 ABAE的范围，即可求解.【详解】（1）连接 BDBCD，的面积211sin7500 32SBC CDBCDm.在 BCD中，由余弦定理得2222cos90000BDBCCDBC CDBCD，300BDm=.又 BCCD，BCCD，30CBDCDB，又120CDE，9

30、0BDE，BDE的面积221SBD DE600002m.四边形 BCDE 的面积2600007500 3Sm；（2）由已知及（1）可知，100 3400BCCDmDEm，22500BEBDDEm，可知要使绿化区所有小路长度之和取最大值，应使 ABAE最大，在 BAE中，由余弦定理得2222cosBEABAEAB AEBAE，即222250000)ABAEAB AEABAEAB AE(.2221344ABAEABAEABAE，1000 33ABAEm，当且仅当500 33ABAEm时取等号.此时绿化区所有小路长度之和取得最大值为1600 39003m.【点睛】本题考查余弦定理解三角形的应用，以及

31、三角形面积公式，考查计算能力，属于中等题型.22.已知函数 21xf xxae.（1）若 f x 有两个不同的极值点1x，2x，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：124xxeea.【答案】（1）20,e；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由 21xf xxae 得 2xfxxae，根据 f x 有两个不同的极值点1x，2x，则 fx有两个不同的零点，即方程2xxae有两个不同的实根，转化为直线 ya与2xxye的图象有两个不同的交点求解.（2）由（1）知20ae，设12xx，则1201xx，由121222xxxaexae得12122xxxxa ee，12122xxxxae

32、e，要证124xxeea，将12122xxxxaee 代入整理为 121212121xxxxxxee，再令12(0)xxt t，转化为2101ttete，再构造函数21()(0)1tteg ttte，研究其最大值即可.【详解】（1）由 21xf xxae 得 2xfxxae，f x 有两个不同的极值点1x，2x，则 fx有两个不同的零点，即方程2xxae有两个不同的实根，即直线 ya与2xxye的图象有两个不同的交点，设 2xxg xe，则 2 1xxgxe，,1x 时 0gx，g x 单调递增，且 g x 的取值范围是2,e；1,x 时 0gx，g x 单调递减，且 g x 的取值范围是20

33、,e，所以当20ae时，直线 ya与2xxye的图象有两个不同的交点，f x 有两个不同的极值点1x，2x，故实数a 的取值范围是20,e.（2）由（1）知20ae，设12xx，则1201xx，由121222xxxaexae得 12122xxxxa ee，12122xxxxaee 所以要证124xxeea，只需证 124xxa ee，即证 1212122xxxxxxeeee，即证 121212121xxxxxxee，设12(0)xxt t，即证1 21ttt ee，即证2101ttete，设21()(0)1tteg ttte，则21()01tteg te，所以 g t 在,0是增函数，00g tg，所以2101ttete，从而有124xxeea.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.