（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（一）理.doc

1、（全国 I 卷）2021 届高三数学第二次模拟考试题（一）理 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 定 义 集 合，已 知 集 合2

2、31 00Ax xx，70Bxx，则 AB（）A51xx B72xx C51xx D50 xx 2若1ii,1 iaaxy a x yR，则（）A0 xy B0 xy C10 xay D10 xay 3在ABC中，设:sincospAC，:qABC是锐角三角形，则 p 是q 的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域在区块链技术中，若密码的长度设定为256 比特，则密码一共有2562种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次运算现在有一台机器，每秒能进行112.5 10次运算，假设机器一直正常运转，

3、那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据：lg20.3010）A834.5 10秒 B654.5 10秒 C174.5 10秒 D72.8 10秒 5设数列 na的前 n 项和为nS，若11a，121nnSS ，则7S （）A63 B127 C128 D256 6中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程

4、讲座不同的排课顺序共有（）种 A408 B120 C156 D240 7已知曲线1:sinCyx，曲线2c23:osCyx，则下列结论正确的是（）A将曲线1C 上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 6个单位，得到曲线2C B将曲线1C 上各点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位，得到曲线2C C将曲线1C 上各点的横坐标变为原来的 12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 6个单位，得到曲线2C D将曲线1C 上各点的横坐标变为原来的 12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位，得到曲线2C 8在三角形 ABC 中，

5、EF 分别为 ACAB 上的点，BE 与 CF 交于点 Q 且2AEEC，3AFFBuuuruur，AQ交 BC 于点 D，AQQD，则 的值为（）A3 B4 C5 D6 9在三棱锥 ABCD中，4ABCD，3ACBDADBC，则该三棱锥的内切球的表面积为（）A 45 B17 C 32 D 34 10已知椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点分别是1F，2F，点 P 在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PFFOP，则椭圆的离心率是（）A 322 B 332 C 1023 D 1022 11已知函数 22xxf xxmxeme（其中 e 为自然对数的底数）有三个零点，则实数 m 的取值

6、范围为（）A11me e B11me e C101me e D101me e 12已知函数3()log(91)xf xx ，则使得 2311log 10f xx 成立的 x 的取值范围是（）A20,2 B,01,C()0,1 D,1 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13(21)nx 展开式中二项式系数和为 32，则2(21)nxx展开式中3x 的系数为_ 14已知 2321f xxx，若 11d2f xxf a，则a _ 15实数 x、y 满足2211xy，则 3xy的取值范围是_ 16 已知0,0O，2,1A，1,2B，31,55C，动 点,P x y满 足 02OP

7、OA且02OP OB，则点 P 到点C 的距离大于 14的概率为_ 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若2sintancbCAa cosC（1）求角 A 的大小；（2）若3 2b，2c，点 D在边 BC 上，且2CDDB，求 a 及 AD 18（12 分）在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD 为平行四边形，APB为等腰直角三角形，PAPB，2AD，2AB，PDAB，5PC （1）求证：BDAD；（2）求直线 BD与面 PAD 所成角的正弦值 19（12 分）202

8、0 年爆发人群广泛感染的新型冠状病毒是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒某市防疫部门为尽快筛查出新冠病毒感染者，将高风险地区及重点人群按照1:1单样检测，中风险地区可以按照5:1混样检测，低风险地区可以按照10:1混样检测单样检测即为逐份检测，混样检测是将5份或10份样本分别取样后混合在一起检测若检测结果为阴性，则全为阴性；若检测结果为阳性，就要同时对这几份样本进行单独逐一检测，假设在接受核酸检测样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且中风险地区每份样本是阳性结果的概率均为01pp（1）现有该市中风险地区 A的5份核酸检测样本要进行5:1混样检测，求检测总次数为6次的概率；

9、（2）现有该市中风险地区 B 的15份核酸检测样本，已随机平均分为三组，要采用5:1混样检测，设检测总次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 20（12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率22e，过右焦点,0F c的直线yxc与椭圆交于 A，B 两点，A在第一象限，且2AF （1）求椭圆C 的方程；（2）在 x 轴上是否存在点 M，满足对于过点 F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点 P，Q，都有MP MQ为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由 21（12 分）已知函数 lnxf xx eaxax（1）若ae，讨论 f x 的单调性；（2）若对任意0 x 恒有不等

10、式 1f x 成立，求实数a 的值 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为325425xtyt（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2282cos，点 P 的极坐标为2 2,4（1）求曲线C 的直角坐标方程和点 P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 交于 M，N 两点，线段 MN 的中点为Q，求 PQ 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()|2|21|f xxx（1）求不等式()3f x

11、 的解集；（2）已知222(1)(1)6abc，证明：824abc 理 科 数 学 答 案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】C【解析】由不等式2310(2)(5)0 xxxx，解得 52x，即52Axx；又由70Bxx，若1xB，可得61xxx，所以51ABxx，故选 C 2【答案】B【解析】因为1i 1 i1i11ii1 i222aaaaaaxy，所以12ax，12ay，则0 xy，故选 B 3【答案】B【解析】当C 为钝角时，满足sincosAC，但不满足ABC是锐角三角形，故 p 推不出q；若ABC是锐

12、角三角形，则 022AC，所以sinsincos2ACC，故qp，所以 p 是q 的必要不充分条件，故选 B 4【答案】B【解析】设这台机器破译所需时间大约为 x 秒，则112562.5 102x，两边同时取底数为 10 的对数，得112562.5 10)lg2lg(x，所以11lglglg2.510256lg2x，所以52l11256ll2glggg x，所以258lg2 12258 0.3010l1265g.658x，所以65.658650.658101010 x，而9lg4.5lg2lg3 lg20.6532，所以0.653104.5，654.5 10 x，故选 B 5【答案】B【解析】

13、121nnSS 中，令1n，得23S，所以22a 由121nnSS ，得2121nnSS，两式相减得212nnaa，即212nnaa 又11a，212aa，所以数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以771 21271 2S，故选 B 6【答案】A【解析】根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有66A720（种），当“乐”排在第一节有55A120（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有2525A A240（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有2424A A48（种），则 满 足“乐”不 排 在 第 一 节，“射”和“御”两 门 课 程 不 相 邻 的 排 法

14、 有720 12024048408（种），故选 A 7【答案】D【解析】A得到曲线211:sin()sin()26212Cyxx，所以该选项错误；B得到曲线211:sin()sin()212224Cyxx，所以该选项错误；C得到曲线2sin 2sin 2cos 2636:yxxxC，所以该选项错误；D得到曲线2sin 2sin 2sin 2cos 2126233:yxxCxx，所以该选项正确，故选 D 8【答案】C【解析】因为,B Q E 三点共线，所以2(1)(1)3AQxABx AExABx AC；因为,C Q F 三点共线，所以3(1)(1)4AQyACy AFyACy AB，所以3(1

15、)42(1)3xyyx，12x，13y，所以11=231AQABACAD，所以1+123ADABAC，因为,B D C 共线，所以1+1123，5，故选 C 9【答案】A【解析】由题可将该三棱锥还原到如图长方体中，设长方体的长宽高分别为,a b a，则22222234abaa，解得2 2a，1b ，1182 2 1 2 242 2 1 2 2323D ABCV ，设内切球的半径为r，则1833D ABCABCABDBCDACDVr SSSS，2214322 52ABCABDBCDACDSSSS，则 182 5433r，解得55r，则内切球的表面积为254455，故选 A 10【答案】D【解析】

16、根据12123FPFFOP 以及121PF FOF P，得121PFOF F P，于是11121PFFOF FPF，所以12PFc，又122PFPFa，所以222PFac 在21F F P中，由余弦定理，得222142222222()2ccaccac ，即22220caca，所以2220ee，因为01e，所以椭圆的离心率1022e，故选 D 11【答案】C【解析】令 0f x，可得22200 xxxxxxxmxememmee，令 xxtg xe，则 1xxgxe，令 0gx，解得1x，当1x 时，0gx；当1x 时，0gx，所以 g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减，()g x 图象如下

17、图所示：所以 max11g xge，令 2ttmtm，1(,te，因为函数有三个零点，设 2ttmtm的两根分别为 1t，2t，24()0mm，解得0m 或4m 则 1t，2t 有下列三种情况，（1）当 110,te，21te时，将 21te带入方程，即210mmee，解得11me e；带入方程，即 211011ttte ee e，解得 21te，1110,1tee，故舍去；（2）当 110,te，20t 时，将 20t 带入方程，则0m，2tt，不满足 110,te，故舍去；（3）当 110,te，20t 时，0010e ，解得011mme e，所以101me e，故选 C 12【答案】C【

18、解析】令21txx，则221331()244txxx，3()1log 10f t ，所以33log(91)1log 10tt ，所以133log(91)log(91)1tt ，令3()log(91)tg tt，则9 ln92 991()11(91)ln39191ttttttg t ，因为34t，所以910t ，所以()0g t，所以()g t 在 3,)4 单调递增，所以由()(1)g tg，得 314t，所以231 14xx ，解得01x，故选 C 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】30【解 析】由 21nx 展 开 式 中 二 项 式 系 数 和 为 32，

19、可 得 232n，解 得5n，2555(21)(1)(21)xxxx，根据二项式定理可以求得5(1)x 的展开式中，三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是 10、10、5、1，5(21)x 的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是 1、10、40、80，所以展开式中3x 项的系数为 10 100200 8030 14【答案】1 或 13【解析】112321111d321 d42f xxxxxxxxf a，23212f aaa，解得1a 或 13，故答案为 1 或 13 15【答案】1,3【解析】圆2211xy的圆心坐标为0,1，该圆的半径为1r ，设 3xyt，可知直线 3xy

20、t 与圆2211xy有公共点，所以，112t，即 212t ，解得 13t ，因此，3xy的取值范围是1,3，故答案为1,3 16【答案】5164【解析】由题意得，因为0,0O，2,1A，1,2B，31,55C，所以动点(,)P x y 满足02OP OA且02OP OB，所以022022xyxy，则点 P 到点C 的距离为22311()()5516zxy，作出不等式组对应的平面区域，如图所示，因为点 P 到点C 的距离大于 14，所以14PC，则对应的部分为阴影部分，由2042,2055xyxyxy，即点4 2(,)5 5E，则22422 5()()555OE，所以正方形OEFG 的面积为

21、45，则阴影部分的面积为 41 516，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为41 516455164 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）4A；（2）10a，583AD 【解析】（1）由正弦定理，原式可化为2sinsinsinsintancosCBACAC，即2sinsinsinsintancosCA CACAC，2sin2sinsincoscossinsinsincoscosACACACCACA，sin0C，2sincos2cosAAA，2cos2A，又0A，4A （2）由余弦定理可得2222cos184 1210a

22、bcbcA，10a，点 D在边 BC 上，且2CDDB，1033aBD，又22210cos210acbBac，222582cos9ADABBDAB BDB，583AD 18【答案】（1）证明见解析；（2）427【解析】（1）设 AB 的中点为 E，连接 PE 与 DE，因为PAB是等腰三角形，PAPB，所以 PEAB，又因为 ABPD，PDPEP，所以 AB 平面 PED，所以 ABDE，2BDAD，2AB，所以ABD是等腰直角三角形，则 ADBD（2）由（1）可知 AB 平面 PED，故 ABPD，平面 PED 平面 ABD，又因为5PC，CDAB，CDPD，221PDPCCD，易知1PED

23、E，所以60PDE 如图，以 D 为原点，,DE DC 所在直线为,x y 轴，以,DE DC 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向，过 D 在PDE所在平面内作 DE 的垂线为 z 轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0)D，13,0,22P，(1,1,0)A，(1,1,0)B 得(1,1,0)DB，13,0,22DP，(1,1,0)DA，设平面 PAD 的法向量(,)x y zn，则130220 xzxy，取(3,3,1)n，所以42cos,7|DBDBDB nnn，因此直线 BD与平面 PAD 所成角的正弦值为427 19【答案】（1）511p；（2）分布列见解析，518 15 1p【解析

24、】（1）设“检测总次数为6次”为事件 A，511P Ap，检测总次数为6次的概率为511p（2）X 的所有可能取值为3,8,13,18，设51pt，Y 为三个小组中出现阳性的小组数，则53XY，3,1YBt，153301P XP Ytp，5101238113 111P XP YCttpp，22552313213 111P XP YCttpp，33533183111P XP YCtp，所以，随机变量 X 的分布列为：X 3 8 13 18 P 151p 5103 111pp 2553 111pp 3511p 553535 3 1318 1518 15 1E XEYE Yttp 20【答案】（1）

25、221189xy；（2）存在点15,04M，满足 MP MQ为定值【解析】（1）由22e，及222abc，得22acb，设椭圆方程为222212xybb，联立方程组22222xybyxb，得2340 xbx，则43Abx，所以2223AFbAFxx，所以3b，所以椭圆C 的方程为221189xy（2）当直线l 不与 x 轴重合时，设:3l xny，联立方程组222183xyxny，得222690nyny 设 11,P x y，22,Q xy，,0M t，则有12262nyyn，12292yyn 于是1212121233MP MQxtxty ynytnyty y 2222221212211339

26、163322ny yntyytnnttnn2222222262732 3918212922ttnttnttnn，若 MP MQ为定值，则有222129218ttt，得1245t，154t，此时218MP MQt；当直线l 与 x 轴重合时，3 2,0P，3 2,0Q，也有 2123 23 218MP MQxtxtttt，综上，存在点15,04M，满足 MP MQ为定值 21【答案】（1）f x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增；（2）1【解析】（1）111xxxxxaafxexeaexxexxax，当 ae时，1xefxxex，0 x 当1x 时，xeex，0 xeex，可得 0fx，f

27、 x 单调递增；当01x 时，xeex，0 xeex，可得 0fx，f x 单调递减，综上所述：f x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增（2）由（1）知 1 xafxxex，当0a 时，10 xafxxex恒成立，此时 f x 单调递增，f x 的值域为R，不符合题意；当0a 时，则1211122fe，也不符合题意；当0a 时，令 10 xafxxex，可得0 xaex，即0 xexa，令 xg xex，则 10 xxxgxexeex，所以 xg xex在0,单调递增，设存在00 x,使得00 xexa，两边同时取对数可得00lnlnxxa，则当00 xx时，xexa，0fx；当0 xx

28、时，xexa，0fx，所以当0 xx时，0000in0m0lnlnlnxf xxeaxaxaaxaaxaaa，故只需ln1aaa 即可，令 lnh aaaa0a，11 lnlnh aaaaa ，由 0h a，可得01a；由 0h a，可得1a，因此 h a 在0,1 上单调递增，在(1,)上单调递减，从而 max11 01h ah ，所以 ln1h aaaa，又因为 ln1h aaaa，所以 ln1h aaaa，由以上证明可知 11h，所以1a，故满足条件的实数 a 的值为1 22【答案】（1）22280 xy，(2,2)P；（2）11041【解析】（1）222222282cos802802c

29、os:Cxy ，所以，曲线C 的直角坐标方程是22280 xy 点 P 的极坐标为2 2,4，化为直角坐标得(2,2)P（2）将直线l 的参数方程325425xtyt，代入22280 xy 中，整理得2412201000tt，22204 41 1000 ，此方程有不等实数根 直线l 经过定点(2,2)P 设有向线段 PM，PN 与实数 1t，2t 对应，则 1t，2t 就是上述方程的两个实根，1222041tt 已知Q 是线段 MN 的中点，PQ 对应于参数取值1202ttt，所以12110241ttPQ 23【答案】（1）2(,0,)3 ；（2）证明见解析【解析】（1）()3f x，即为2213xx，等价为22213xxx 或1222213xxx 或122213xxx，解得2x 或02x或23x ，综上可得，原不等式的解集为2(,0,)3 （2）证明：由柯西不等式可得2222222(1)(1)2(1)12(1)1abcabc，当112abc 时，上式取得等号 又222(1)(1)6abc，则2(22)36abc ，即 6226abc ，即 824abc 即得证