（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（二）理.doc

1、（全国 I 卷）2021 届高三数学第二次模拟考试题（二）理 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集，集合11AxxN，1,2

2、B ，则U AB（）A2 B 1 C1,3 D1,2,3 2已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且13ii42z，则2z （）A2 i B2 i C 2 i D 2 i 3执行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为13，则判断框内可以填（）A1?S B2.5?S C3?S D4?S 4已知函数 11f xxa x，则“1a ”是“f x 为奇函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知函数 sin0,0,f xAxb A的部分图象如图所示给出下列结论：2A，1，1b ；2A，1b ；点 2,13为 f x 图象的一个对称中

3、心；f x 在2317,1212上单调递减 其中所有正确结论的序号是（）A B C D 6在ABC中，1AB ，2AC，2BDDC，3AD AC，则cosBAC（）A 12 B 14 C32 D 56 7已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）A32 B 8 23 C 8 33 D8 8已知数列 na的前n 项和为nS，2nnSn a，11a，则nS （）A 21nn B2221nn C221nn D221nn 9如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间小球每次下落，

4、将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是（）A 116 B 14 C 38 D 18 10已知函数 yf x满足111f xf x和2(1)fxf x，且当1 3,2 2x时，22f xx，则2018f（）A0 B2 C4 D5 11已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的焦点在1F，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为 MN 两点(点1F 位于点 M 与点 N 之间)，且13MNF N，又过点1F 作1F POM于 P(点 O 为坐标原点)，且|ONOP，则双曲线 E 的离心率e（）A 5 B

5、 3 C 2 33 D62 12已知函数 xf xx e，若 21g xfxaf x 恰有四个不同的零点，则 a 取值范围为（）A2,B1,ee C12,ee D 1,e 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1371xx的展开式中1x 的系数是_（用数字作答）14已知函数()xf xe，过点(1,0)作曲线()yf x的切线 l，则直线 l 与曲线()yf x及 y 轴围成的图形的面积为_ 15若实数 x，y 满足不等式组20202xyxyx ，则42xyz 的最大值为_ 16已知圆22:4O xy，A，B 是圆上两点，点 1,2P且 PAPB，则 AB 最大值是_ 三、解答

6、题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）数列的 na前n 项和为nS，点*,nn SnN在函数21122yxx的图象上（1）求数列 na的通项公式；（2）令11nnnbaa，求数列 nb的前n 项和nT 18（12 分）甲、乙两组各有3位病人，且6位病人症状相同，为检验 A、B 两种药物的药效，甲组服用 A种药物，乙组服用 B 种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为0.8，乙组三人康复的概率分别为0.9、0.75、0.75（1）设甲组中康复人数为 X，求 X 的分布列和数学期望；（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多2 人的概率 19

7、（12 分）在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，C，D是 AB 的两个三等分点，EA，FC，GB 都是圆柱12O O 的母线（1）求证：1FO平面 ADE；（2）若2BCFC，求二面角 BAFC的余弦值 20（12 分）已知动圆 P 与 x 轴相切且与圆2224xy相外切，圆心 P 在 x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C （1）求C 的方程；（2）已知()4,2E，过点(0,4)作直线交曲线C 于,A B 两点，分别以,A B 为切点作曲线C 的切线相交于 D，当ABE的面积1S 与ABD的面积2S 之比12SS 取最大值时，求直线 AB 的方程 21（12 分）已知函数

8、2 63lnf xaxa xx（1）当0a 时，讨论函数 f x 的单调性；（2）当92a 时，关于 x 的不等式 0f xaxb有解，求b 的最大值 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】已知某曲线C 的参数方程为2cossinxy（为参数）（1）若,P x y 是曲线C 上的任意一点，求2xy的最大值；（2）已知过C 的右焦点 F，且倾斜角为02的直线l 与C 交于,D E 两点，设线段 DE 的中点为M，当31116FMFEFD时，求直线l 的普通方程 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函

9、数()|2|()f xxkxkR，()|2|()g xxmmZ （1）若关于 x 的不等式()1g x 的整数解有且仅有一个值 4，当1k 时，求不等式()f xm的解集；（2）已知2()23h xxx，若1x R，2(0,)x，使得12()()f xh x成立，求实数k 的取值范围 理 科 数 学 答 案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】B【解析】由题可得0,1,2A，则1,3U A ，因此 1U AB ，故选 B 2【答案】C【解析】143i5 2i2i2i2i2iz，又复数1z 与2z 在复平面内对应的

10、点关于虚轴对称，所以22iz ，故选 C 3【答案】A【解析】执行给定的程序框图，可得：第 1 次循环：2018,3Si；第 2 次循环：2018,53Si；第 3 次循环：2018,715Si；第 4 次循环：2018,9105Si；第 5 次循环：2018,11935Si；第 6 次循环：20181,1310285Si，要使得输出的结果为13，结合选项，判断框内可以填1?S，故选 A 4【答案】C【解析】若函数 f x 为奇函数，且函数 f x 的定义域为R，11111111f xfxxa xxaxxa xxa x 1110axx，10a ，解得1a ，所以，“1a ”是“f x 为奇函数

11、”的充分必要条件，故选 C 5【答案】D【解析】由图象可知，1322A，1312b ，再由 123124，得2，故不正确，正确；由于 ,13为 f x 图象的一个对称中心，又 f x 的最小正周期为 ，故其全部的对称中心为,132kkZ，当1k 时，对称中心为 5,16，故错误；由于 7,12 12为 f x 的单调递减区间，f x 的最小正周期为，故 f x 的单调递减区间为7,1212kkkZ，当2k 时，即为2317,1212，故正确，故选 D 6【答案】A【解析】因为2212()3333ADABBDABBCABACABABAC，所以12121812cos3333333ADACABACA

12、CABACACBAC ，解得1cos2BAC，故选 A 7【答案】B【解析】如图，三视图的直观图为三棱锥为 ABCD，且2DB，1CD ，按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且3AE，因为长方体的对角线长为2224 1 32 2ADDBCDAE，则外接球半径为 2，且体积为348 2233，故选 B 8【答案】A【解析】当2n 时，2,nnSn a，则211(1)nnSna，且2222Sa，即2214aa，所以213a 两式作差得2211(1)nnnnSSnan a，即2211(1)nnnanan a，即12nnnana，所以12nnanan，即1121nnannan

13、 则12322123212322112()11411nnnnnnnaaaannnaaaaaaannnn nnn，所以1111112)2(1)112(12312nnSnnnn，故选 A 9【答案】C【解析】当小球经过第2 层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为 12，所以，221122PP 当小球经过第4 层时，共碰到3次钉子，要使得小球经过第2 号通道，必须满足1次向右、2次向左滚下，所以，3143132C28P，同理可得 4338P 要使得小球经过3号位置（即第5层3号通道），可由第4 层2 号通道向右滚下、也可以由第4 层3号通道向左滚下，因此，544113323228PPP，故选

14、 C 10【答案】C【解析】函数()yf x()yf x满足1(1)(1)f xf x和(2)(1)fxf x，可函数是以4 为周期的周期函数，且关于32x 对称，又由当1 1,2 3x时，()22f xx，所以(2018)(504 42)(2)(1)2 1 24ffff ，故选 C 11【答案】C【解析】由题意，可得如下示意图：其中，|ONOP，知11OPFONF，又1F POM，13MNF N，即1F NON且11132FMMNF NF P，1MPFRt中，有1111sin2F PPMFF M，得16PMF，在MNORt中，3MON，若byxa与 x 轴夹角为，即23，3tan3ba，由2

15、22abc，即可得2 33cea，故选 C 12【答案】B【解析】函数,0,0 xxxxexf xx exex，0 x，xf xxe，10 xfxxe，因此0 x 时，函数 f x 单调递增；0 x，xf xxe，1xfxxe，可得函数 f x 在,1 单调递增；在1,0单调递减，可得：f x 在1x 时，函数 f x 取得极大值，11fe 画出图象：可知：0f x 令 210fxaf x，240a时，函数 g x 无零点；0 时，解得2a 或 2，2a 时，解得 1f x，此时函数 g x 只有一个零点，舍去，2a ，由 0f x，可知：此时函数 g x 无零点，舍去；240a，解得2a 或

16、2a ，解得 242aaf x，242aaf x 2a 时，2402aa，2402aa此时函数 g x 无零点，舍去；因此2a，可得22440122aaaa 由 21g xfxaf x恰有四个不同的零点，2a，24102aae，2412aa，解得1aee，则 a 取值范围为1,ee，故选 B 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】35【解析】由题设二项式知：7 3721771C()(1)CrrrrrrrTxxx ，1x 项3r，即331147(1)C35Txx ，系数为 35，故答案为 35 14【答案】21e 【解析】由()xfxe，过点(1,0)作曲线()yf

17、x的切线 l，设切点为00,xx e，则0 xke，所以切线l 的方程为000 xxyeexx，由切线过点(1,0)，则0001xxeex，解得02x，所以切线l 的方程为22ye xe，直线l与曲线()yf x及y轴围成的图形的面积为2222222021d102xxee xexee xe xe，故答案为21e 15【答案】256【解析】作出可行域，如图ABC内部（含边界），2422xyx yz，令2txy，作直线:20lxy，在直线2txy 中t 为直线的纵截距，直线向上平移时t 增大，所以平行直线l，当直线l 过点(2,4)时，max2 248t ，所以8max2256z，故答案为 256

18、 16【答案】53【解析】如图所示，设,R x y 是线段 AB 的中点，则ORAB，因为 PAPB，于是1|=|=|2PRABRB，在ORBRt中，2OB，22ORxy，2212RBRPxy，由勾股定理得22222212xyxy，整理得2213124xy，故,R x y 的轨迹是以1,12C为圆心，半径为32r 的圆，故min135314222OROCr ，又由圆的弦长公式可得22maxmaxmin53222 422ABBROBOR 82 1553，故答案为 53 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）nan；（2）11nT

19、n 【解析】（1）由题意知：点,nn S(*nN)均在二次函数21122yxx的图象上，故21122nSnn，21111(2221)nSnnn，当2n 时，2211111122221nnnaSSnnnnn，当1n 时，11a，也适合上式 所以nan（2）11111nnnbnnaann，122132431nnTbbbnn 1 1n 18【答案】（1）分布列见解析，期望为2.4E X；（2）631250【解析】（1）由题意可知，3,0.8XB，所以，300.20.008P X，1231C0.8 0.20.096P X，2232C0.80.20.384P X，330.80.512P X，所以，随机变

20、量 X 的分布列如下表所示：X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 因此，3 0.82.4E X （2）设乙组中康复人数为Y，记事件:A 甲组中康复人数比乙组中康复人数多2 人，21110104160P Y，212911 3 11511044 4 10160P YC，则 4816415632031125 160125 1601250P AP XP YP XP Y 19【答案】（1）证明见解析；（2）217【解析】（1）连接1OC，1O D，因为C，D是半圆 AB 的两个三等分点，所以11160AO DDO CCO B ，又1111O AO BOCO D，所以1A

21、O D，1CO D，1BO C均为等边三角形，所以11O AADDCOC，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1COAD，又因为11O AADDCOC，1CO 平面 ADE，AD 平面 ADE，所以1CO平面 ADE 因为 EA，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以 EAFC，又因为FC平面 ADE，EA 平面 ADE，所以 FC平面 ADE 又1,CO FC 平面1FCO，1COFCC，所以平面1FCO平面 ADE，又1FO 平面1FCO，所以1FO平面 ADE （2）连接 AC，因为 FC 是圆柱12O O 的母线，所以 FC 圆柱12O O 的底面，因为 AB 为圆1O 的直径，所

22、以90ACB，所以直线CA，CB，CF 两两垂直，以C 为原点建立空间直角坐标系如图：因为2BCFC，所以0,0,0C，2 3,0,0A，0,2,0B，0,0,2F，2 3,2,0AB ，2 3,0,2AF ，由题知平面 ACF 的一个法向量为0,2,0CB uur，设平面 ABF 的一个法向量为,x y zn，则2 3202 320ABxyAFxz nn，令1x，3y，3z，1,3,3n 所以2 321cos,72 7CBCBCBnnn 由图可知，二面角 BAFC的平面角为锐角，所以二面角 BAFC的余弦值为217 20【答案】（1）280 xy x；（2）40 xy【解析】（1）由题意知，

23、P 到点(0,2)的距离等于它到直线2y 的距离，由抛物线的定义知，圆心 P 的轨迹是以(0,2)为焦点，2y 为准线的抛物线(除去坐标原点)，则C 的方程为280 xy x（2）由题意知，4,2E在曲线C 上，直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为4ykx，因为直线 AB 不经过 E 点，所以12k 由248ykxxy，可得28320 xkx，设 11,A x y，22,B xy，则128xxk，1232x x，以 A为切点的切线方程为1114xyyxx，即21148xxyx，同理以 B 为切点的切线为22248xxyx，由2112224848xxyxxxyx，故两式做差整理得221212

24、4488xxxxx，所以1242xxxk，两式求和整理得22212121121222284848xxxx xxxxxxxxy，故4y，所以交点4,4Dk，设 E 到 AB 的距离为1d，D到 AB 的距离为2d，则21122222424211444241kkSdkSdkkk，设210kt t，则12292SStt，当3t，即1k 时，12SS取最大值，直线 AB 的方程为40 xy 21【答案】（1）在10,2上单调递增，在 1,2上单调递减；（2）53ln32【解析】（1）函数 f x 的定义域为0,，232(6)3(21)(3)()2(6)axa xxaxfxaxaxxx 0a，30ax

25、当10,2x时，()0fx；当1,2x时，()0fx，函数 f x 在10,2上单调递增，在 1,2上单调递减（2）设2()()63lng xf xaxbaxxxb，则23263()26axxg xaxxx 当0a 时，22630axx有两个根12,x x，不妨令12xx，又1 2302x xa，10 x，20 x，由题意舍去1x 当20,xx时，()0g x；当2,xx 时，()0g x，g x在20,x上单调递增，在2,x 上单调递减，存在0 x 使()0f xaxb成立，2max2222()63ln0g xg xaxxxb，即222263lnaxxxb 又2222630axx，22263

26、2xax，92a ，22263922xx，2103x，222222222222263363ln63ln33ln22xbaxxxxxxxxx 令31()33ln023h xxxx，则3 3()0 xh xx 函数 h x 在10,3上单调递增，max15()3ln332h xh，即b 得最大值为53ln32 22【答案】（1）2 2；（2）52150 xy【解析】（1）依题意得2cosx，siny，22cos2sin2 24sinxy，当2 ,42kk Z，即42 k 时，k Z，sin14，2xy的最大值为2 2 （2）2cosx，siny，由于22cossin1，整理得2214xy 由直线l

27、 的倾斜角为02，依题意易知：3,0F，可设直线l 的参数方程为3cossinxtyt（t 为参数），代2214xy，得到221 3sin2 3 cos10tt，易知2212cos4 1 3sin160，设点 D和点 E 对应的参数为 1t 和 2t，所以 1222 3 cos1 3sintt，1 22101 3sint t，则212121 22441 3sinttttt t，由参数的几何意义：12121 2|11114|ttEFFDttt t，311316|4EFFD，02，12223cos3cos321 3sin1 3sin4ttFM，所以2cos3，所以直线l 的斜率为52，直线l 的普

28、通方程为 52150 xy 23【答案】（1）9 7,2 2；（2）(,40,)【解析】（1）不等式()1g x ，即|2|1xm，所以1122mmx，由1154322mm ，解得79m 因为mZ，所以8m，当1k 时，()|1|2|21,23,2121,1xxxxfxxxx，不等式()8f x 等价于2218xx 或2138x 或1218xx，即922x 或 21x 或712x，故9722x，故不等式()8f x 的解集为9 7,2 2（2）因为()|2|()(2)|2|f xxkxxkxk，由22()23(1)2,(0,)h xxxxx，可得min()(1)2h xh，又由1x R，2(0,)x，使得12()()f xh x成立，则|2|2k，解得4k 或0k 故实数k 的取值范围为(,40,)