（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（四）理 (2).doc

1、（全国 I 卷）2021 届高三数学第二次模拟考试题（四）理 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数（）A11 i22 B11 i

2、22 C 11 i22 D 11 i22 2集合2,nMx xnN，2,Nx xn nN，则集合 M 与 N 的关系是（）A MN B NM C MN D MN且 NM 3下列关于命题的说法中正确的是（）对于命题:px R，使得210 xx，则:px R，均有210 xx “1x”是“2320 xx”的充分不必要条件 命题“若2320 xx，则1x”的逆否命题是“若1x，则2320 xx”若 pq为假命题，则 p q 均为假命题 A B C D 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）A2048 B1024 C2046 D4094 5函数2()2 3sin cos2sin1f xxxx

3、的图象向右平移 24个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x，下列说法不正确的是（）A()g x 的最小正周期为 B()g x 的图象关于直线524x 对称 C()g x 在区间4,4上单调递增 D()g x 的图象关于点13,024对称 6已知数列 na满足22131nnnaa，21235nnnaanN，则数列 na的前40 项和40S（）A2131972 B2031972 C10998 D20998 7已知,P x y 是不等式组10300 xyxyx 的表示的平面区域内的一点，1,2A，O 为坐标原点，则OA OP的最大值（）A2 B3 C5 D6 8甲乙丙三人手持黑白

4、两色棋子，在 3 行 8 列的网格中，三人同时从左到右，从 1 号位置摆到 8号位置，若甲的 1 号位置与乙的 1 号位置颜色相同，称甲乙对应位置相同，反之称甲乙对应位置不同，则下列情况可能的是（）A甲乙丙相互有 3 个对应位置不同 B甲乙丙互相不可能有 4 个对应位置不同 C甲乙 1 个位置不同，甲丙 3 个位置不同，乙丙 5 个位置不同 D甲乙 3 个位置不同，甲丙 4 个位置不同，乙丙 5 个位置不同 9已知实数 x、y 满足2221xy，223xyxy的取值范围是（）A 3,2 B1,2 C0,2 D3,12 10 已 知 f x是 定 义 在 1,上 的 增 函 数，若 对 于 任

5、意,1,x y，均 有 2x yf xfyf，21f，则不等式 120f xf x的解集为（）A 5,2 B 5,2 C51,2 D52,2 11已知函数 111f xx ，22g xxxa，若方程 f xg x有 4 个不同的实数根1x，2x，3x，4x（1234xxxx），则 143a xxx的取值范围是（）A1,4 B1,C0,4 D0,1 12已知直三棱柱111ABCA BC的侧棱长为2，ABBC，2ABBC过 AB、1BB 的中点E、F 作平面 与平面11AAC C 垂直，则所得截面周长为（）A2 26 B22 6 C3 26 D3 22 6 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每

6、小题 5 分 13若02sinc()osdaxxx，则6axx的展开式中常数项为_ 14小张计划从5个沿海城市和4 个内陆城市中随机选择 2 个去旅游，则他至少选择1个沿海城市的概率是_ 15已知椭圆22122:1(0)xyCabab的右顶点为 P，右焦点 F 与抛物线2C 的焦点重合，2C 的顶点与1C 的中心 O 重合若1C 与2C 相交于点 A，B，且四边形OAPB 为菱形，则1C 的离心率为_ 16在ABC中，记角,A B C 所对的边分别是,a b c，面积为 S，则24Sbac的最大值为_ 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17

7、（12 分）已知等差数列 na满足1235nnaan（1）求数列 na的通项公式；（2）记数列11nna a 的前 n 项和为nS 若*n N，24nS(为偶数)，求 的值 18（12 分）如图，在圆柱1OO 中，四边形 ABCD 是其轴截面，EF 为1O 的直径，且 EFCD，2AB，0BCa a（1）求证：BEBF；（2）若直线 AE 与平面 BEF 所成角的正弦值为63，求二面角 A BEF平面角的余弦值 19（12 分）2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人2019 年 7 月份以来，共完成 1931 个志愿服务项目，8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超

8、过 150 万小时为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了 500 名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图 （1）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 x 和样本方差2s（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 X 服从正态分布2,N ，其中 近似为样本平均数 x，2 近似为样本方差2s 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2,X N ，令XY，则0,1Y N，且 aP XaP Y（）利用直方图得到的正态分布，求 10P X；（）从该地随机抽取 20 名志愿

9、者，记 Z 表示这 20 名志愿者中每月志愿服务时长超过 10 小时的人数，求 1P Z（结果精确到0.001）以及 Z 的数学期望 参考数据：1.641.28，200.77340.0059若0,1Y N，则 0.780.7734P Y 20（12 分）已知椭圆2222:10yxCabab的离心率为32，且过点0,2 （1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形 ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围 21（12 分）设 lnaf xaxx，11lnxg xb exx，其中,a bR，且0a （1）试讨论 f x 的单调性；（2）当1a 时，lnf xxg xx恒成立，求实数b 的取值

10、范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的参数方程为2costanxy（为参数），直线l 过点(1,2)P且倾斜角为 6（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）设l 与C 的两个交点为,A B，求|PAPB 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】（1）已知函数()|1|3|f xxx，求 x 的取值范围，使()f x 为常函数；（2）若,x y zR，2221xyz，求225mxyz的最大值 理 科 数 学 答 案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在

11、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】C【解析】因为 2i1 ，3ii ，4i1，所以234iiii(1 i)11 i1 i1 i22i2，故选C 2【答案】D【解析】因为1 M，1N且0N，0M，所以 MN且 NM，故选 D 3【答案】A【解析】对于命题:px R，使得210 xx，则:px R 均有210 xx，故正确；由“1x”可推得“2320 xx”，反之由“2320 xx”可能推出2x，则“1x”是“2320 xx”的充分不必要条件，故正确；命题“若2320 xx，则1x”的逆否命题是“若1x，则2320 xx”，故正确；若 pq为假命题，则 p，q 至少有一个

12、为假命题，故错误，则正确的命题的有，故选 A 4【答案】C【解析】2n，2S，运行第 1 次，02S，221024n，运行第 2 次，222S，321024n，运行第 9 次，2392222S L，1021024n，运行第 10 次，231022222046S，1121024n，结束循环，故输出的 S 值 2046，故选 C 5【答案】C【解析】因为2()2 3sin cos2sin12sin 26f xxxxx 其图象向右平移24个单位长度后得到函数()2sin2426g xx2sin 212x的图象，所以()g x 的最小正周期为 ，故 A 正确；当524x 时，2122x，所以()g x

13、 的图象关于直线524x 对称，故 B 正确；当,4 4 x 时，5 72,1212 12x，所以()g x 在间4,4上不单调，故 C 错误；当1324x 时，212x ，所以函数()g x 的图象关于点13,024对称，故 D 正确，故选 C 6【答案】A【解 析】由 题 意 可 得2212123135nnnnnnaaaa，两 式 相 减 得21216nnaa，22212123 3135nnnnnnaaaa，两式相加得222434nnnaa，故 40133739243840Saaaaaaaa 102113193 9131976 104 104333100482 ，故选 A 7【答案】D【解

14、析】由题意可知，2OP OAxy，令目标函数2zxy，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数2zxy经过点0,3B时取得最大值，最大值为02 36 ，故选 D 8【答案】D【解析】对 A，若甲乙有 3 个对应位置不同，不妨设前 3 个对应位置不同，则后 5 个对应位置相同，若丙和甲、丙和乙都要有 3 个对应位置不同，则只能在后 5 个对应位置中有 3 个和甲乙不同，若丙和甲在后 5 个对应位置中有 3 个对应位置不同，则必和乙有 6 个位置不同，故 A 错误；对 B，若甲和乙前 4 个对应位置不同，乙和丙后 4 个对应位置不同，则甲和丙后 4 个对应位置也不同，故存在，所以

15、B 错误；对 C，若甲乙第 1 个位置不同，后 7 个位置相同，甲丙在后 7 个位置中有 3 个位置不同，此时乙丙最多有 4 个位置不同，故 C 错误；对 D，若甲乙前 3 个位置不同，甲丙第 3 个到第 6 个位置不同，则成立，故 D 正确，故选 D 9【答案】B【解析】如图所示：设,P x y 为圆2221xy上的任意一点，则点 P 到直线30 xy的距离为32xyPM，点 P 到原点的距离为22POxy，所以22322sinxyPMPOMPOxy，设圆2221xy与直线 ykx相切，则2211k，解得3k ，所以POM的最小值为30，最大值为90，所以 1sin12POM，所以12sin

16、2POM，故选 B 10【答案】A【解析】根据 2x yf xfyf，21f，可得 421 1222fff ，由 2x yf xfyf，120f xf x，可得 2122xf，则 21422xff，又 f x 是定义在1,上的增函数，所以2142211 1xxx ，解得52x，所以不等式 120f xf x的解集为 5,2，故选 A 11【答案】D【解析】作出 f x，g x 的大致图象如图所示，可知 f x，g x 的图象都关于直线1x 对称，可得142xx，312x 由 33f xg x，得2333122xxax，则2333122axxx，所以 3214333332441a xxxaxxx

17、x 设 32441 12h xxxxx，则 23842320h xxxxx ，所以 h x 在1,2 上单调递增，所以 143a xxx的取值范围是0,1，故选 D 12【答案】C【解析】如下图所示，取 AC 的中点 J，连接 BJ，取 AJ 的 D，连接 DE，取11AC 的中点 K，连接 KJ、1B K，ABBC，J 为 AC 的中点，则 BJAC，1AA 平面 ABC，BJ 平面 ABC，1BJAA，1ACAAA，BJ 平面11AAC C，DQ、E 分别为 AJ、AB 的中点，则/DE BJ 且12DEBJ，DE平面11AAC C，DE 平面 DEF，所以，平面 DEF 平面11AAC

18、C，所以，平面 即为平面 DEF，设平面 交11B C 于点 I，在直棱柱111ABCA BC中，11/AA CC 且11AACC，所以，四边形11AAC C 为平行四边形，11/AC AC且11ACAC，J、K 分别为 AC、11AC 的中点，1/AJ A K且1AJA K，所以，四边形1AA KJ 为平行四边形，1/KJ AA且1KJAA，11/BBAA 且11BBAA，1/KJ BB且1KJBB，所以，四边形1BB KJ 为平行四边形，/DE BJ，DE 平面1BB KJ，BJ 平面1BB KJ，/DE平面1BB KJ，设平面平面1BB KJFG，DE 平面，所以，/DE FG，/FG

19、BJ，/BF GJ，所以，四边形 BFGJ 为平行四边形，可得11122GJBFBBKJ，所以，G 为 KJ 的中点，延长 DG 交11AC 于点 H，/DJ KH，所以，DJGHKG，JDGKHG，又JGKG，所以，DJGHKG，11122HKDJAJKC，H为1KC 的中点，因为平面/ABC平面111A B C，平面平面 ABCDE，平面平面111A B CIH，/DE IH，/DE BJ，1/BJ B K，/DE IH，1/IH B K，I 为11B C 的中点，ABBC，2ABBC，则222 2ACABBC，J 为 AC 的中点，122BJAC，则1222DEBJ，同理22IH，因为直

20、棱柱111ABCA BC的棱长为2，F 为1BB 的中点，1112BFBB，由勾股定理可得222EFBFBE，同理可得2IF，1/KJ BB 且12KJBB，1BB 平面 ABC，KJ 平面 ABC，AC 平面 ABC，KJAC，G、D分别为 KJ、AJ 的中点，则112GJKJ，1222DJAJ，由勾股定理可得2262DGDJGJ，同理62GH 因此，截面的周长为222263 262DEIHEFIFDH ，故选 C 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】240【解析】002sincos d(2cossin)|(20)(0)2)(4axxxxx ，64xx展开式的通

21、项公式为6366216614C4CrrrrrrrrTxxx，令 3602r，即4r 64xx的展开式中，常数项是46 44641C=240，故答案为 240 14【答案】56【解析】由题不选沿海城市的方法有24C 种，从 9 个城市任意选 2 个城市有29C 种，所以所求概率2429C6511366CP ，故答案为 56 15【答案】13【解析】设抛物线的方程为22ypx，2pc，2pc，24ycx 由题得(,2)2aAac，代入椭圆的方程得222241aacab，所以222833()acbac，223830caca，所以23830ee，所以(31)(3)0ee，因为01e，所以13e，故答案

22、为 13 16【答案】216【解析】22211sinsinsin2242cos462cos4 3cosacBacBSBbacacacBacacacBB，令sin3 cosByB，则23sincos1sin()yByByB，故231yy，故2244y，又0y，故204y，当且仅当 B 满足 3 22sincos44BB时，等号成立，此时2 2sin3B，1cos3B，故24Sbac的最大值为216，故答案为216 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）1nan；（2）2 【解析】（1）设等差数列 na的公差为 d，因为1235n

23、naan，所以122328211aaaa，即113283511adad，解得12a，1d，所以2(1)1nann 经检验，1nan 符合题设，所以数列 na的通项公式为1nan （2）由（1）得11111(1)(2)12nna annnn，所以1111111123341222nSnnn，n*N，12nS，因为*n N，24nS，所以2142，即27(2)2 因为 为偶数，所以2 18【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）证明：连接1BO，在圆柱中1OO 中，BC平面CEDF，EF 平面CEDF，EFBC，EFCD，BCCDC，EF平面 ABCD，又1BO 平面 ABCD，1EFBO

24、，在BEF中，1O 为 EF 的中点，BEBF（2）连接1OO，则1OO 与该圆柱的底面垂直，以点O 为坐标原点，过点O 作垂直于直线OB 为 x 轴，OB、1OO 所在直线分别为 y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 0,1,0A、0,1,0B、1,0,Ea、1,0,Fa，1,1,AEa，1,1,BEa ，1,1,BFa，设平面 BEF 的法向量分别是1111,x y zn，由1100BEBFnn，得11111100 xyazxyaz，取11z ，得10,1an，设直线 AE 与平面 BEF 所成角为，由122sincos,26321AEaaa n，化简得22210aa，1a

25、 Q，解得2a，10,2,1n，设平面 ABE 的法向量分别是2222,xy zn，0,2,0AB，由2200ABAEnn，得22222020yxyz，取21z，得22,0,1n，2211211cos,3nnnnnn，由图象可知，二面角 A BEF为锐角，因此，二面角 A BEF的余弦值为 13 19【答案】（1）9，1.64；（2）（）0.7734，（）0.994，4.532 【解析】（1）6 0.02 7 0.1 8 0.2 9 0.38 10 0.18 11 0.08 12 0.049x 222222690.02790.18 90.2990.38109s 220.1811 90.0812

26、90.041.64（2）（）由题知9，21.64，所以9,1.64XN，1.641.28 所以 109100.780.77341.28P XP YP Y（）由（）知 101100.2266P XP X，可得20,0.2266ZB，201101 0.77341 0.00590.99410.994P ZP Z ，故 Z 的数学期望 20 0.22664.532E Z 20【答案】（1）2214yx；（2）8,10 【解析】（1）22312cbeaa，224ab，又椭圆C 过点0,2，24a，21b ，椭圆C 的方程2214yx （2）当矩形 ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知4 28S ；

27、当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为(0)ykxm k，则其对边所在的直线方程为 ykxm(0)k，另外两边所在的直线方程分别为1yxnk，1yxnk，联立2244ykxmxy，消去 y 并整理可得222(4)240kxkmxm，由题意可得222244(4)(4)0k mkm，整理可得224km，同理可得2214nk，设两平行直线 ykxm与 ykxm之间的距离为1d，则2212222|()|2|4221111mmmmkdkkkk，设两平行直线1yxnk 与1yxnk 之间的距离为2d，则222222222221(4)|()|2|4122211111

28、11knnnk nkkdkkkkk，依题意可知，12,d d 为矩形的两邻边的长度，所以矩形的面积22421222221 4441744411kkkkSd dkk 22222422224 19994444412112kkkkkkkk，因为20k，所以2212kk，当且仅当21k 时取等号，所以22990,142kk，所以229542,122kk，所以8,10S，综上所述：该矩形面积的取值范围为8,10 21【答案】（1）见解析；（2）,e【解析】（1）221axafxxxx，当0a 时，由0ax，得0 x，即 f x 定义域为,0；当,xa 时，0fx；当,0 xa时，0fx，f x在,a上单

29、调递减，在,0a上单调递增；当0a 时，由0ax，得0 x，即 f x 定义域为0,；当0,xa时，0fx；当,xa 时，0fx，f x在0,a 上单调递减，在,a 上单调递增，综上所述：当0a 时，f x 在,a上单调递减，在,0a上单调递增；当0a 时，f x 在0,a 上单调递减，在,a 上单调递增（2）由 lnf xxg xx，得11lnlnlnxxbxexxx，即11lnxbxexx，设 lnh ttt，则 111th ttt，当0,1t 时，0h t；当1,t 时，0h t，h t在0,1 上单调递增，在1,上单调递减，又1tx在0,上单调递减，11lnyxx在0,1 上单调递减，

30、在1,上单调递增，min11ln1 ln1 1xx，1xbxe在0,上恒成立，xebx；设 xem xx，则 21xexm xx，当0,1x时，0m x；当1,x 时，0m x，m x在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，min1m xme，be，即实数b 的取值范围为,e 22【答案】（1）221:4xCy，312122:xtytl （t 为参数）；（2）324 3【解析】（1）由2cosx，得2cosx，由tany，得sincosy，所以2sincosyyx，代入22sincos1，整理可得2214xy，所以曲线C 的普通方程为2214xy 直线l 的参数方程为312122xtyt （t 为参数）（2）代入，得2324 3760tt，所以216 834 76256330 ，设,A B 对应的参数分别为 12,t t，则121 2324 3760ttt t ，所以1212324 3PAPBtttt 23【答案】（1）3,1x；（2）3【解析】（1）22,3134,3122,1xxf xxxxxx ，则当3,1x 时，f x 为常函数（2）由柯西不等式得 2222222225225xyzxyz，所以 32253xyz，当且仅当222xyz，即23x，23y，53z 时，取最大值，因此m 的最大值为 3