（全国I）2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学（二） WORD版含答案.doc

1、2021 届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合，2,By yxyxZZ，则 AB （

2、）A2,1,1,2B2,1,0,1,2C1,1D2,22已知1 i2z，其中i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知直线1:21230lxaya，22:340laxya，则“12/ll”是“32a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如果执行下面的程序框图，输入6n，3m，那么输出的 p 等于（）A360B240C120D605高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 x R，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数，也称取整函

3、数，例如：3.74 ，2.32已知 1112xxef xe，则函数 yf x 的值域为（）A 0B1,0C2,1,0D1,0,16若实数,x y 满足约束条件21010 xyxy ，则2269zxyx的最小值是（）A 2B2C4D 127若两个非零向量a、b 满足2ababa，则向量ab 与ab 的夹角是（）A 2B 56C 3D 238已知等差数列 na满足11a，1010a，则数列18nnnaaa的最大项为（）A 118B 115C 344D 1149下列式子结果为 3 的是（）tan 25tan353 tan 25 tan35；2 sin35 cos25cos35 cos65；1 tan

4、151 tan15；1 tan151 tan15此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号AB CD10在区间0,1 上任取两个数，则这两个数之和小于 65的概率是（）A 1225B 1625C1725D 242511设函数32()sinln13f xaxbxcxx的最大值为 5，则()f x 的最小值为（）A 5B1C2D312已知O 为坐标原点，A，B 分别是双曲线22:1169xyC 的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于 A，B 的动点，直线 AM，BM 分别与 y 轴交于点 P，Q，则|OPOQ（）A16B9C4D3第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若一组数据

5、123,nx x xx 的平均数是 30，另一组数据112233,nnxy xy xyxy的平均数是70，则第三组数据12341,41,41,41nyyyy 的平均数是_14海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径 A、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C、D，测得45 mCD，135ADB，15BDCDCA ，120ACB，则 A、B 两点的距离为_m15在正三棱锥 SABC中，6ABBCCA，点 D是SA的中点，若 SBCD，则该三棱锥外接球的表面积为_16已知函数2,1()43,13xex

6、f xxxx，若关于 x 的方程()20f xk x有三个不同实数根，则实数k 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）设数列 na满足*122222nnaaan nN（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列 21nna的前n 项和nT 18（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是菱形，60BAD，ACPB，22PBABPD（1）证明：PD 平面 ABCD（2）若四棱锥 PABCD的体积为 12，求点 D到平面 PBC 的距离19（12 分）2020 年 11 月 24 日我国使用长征五号运载火箭

7、成功发射嫦娥五号月球探测器，12 月 17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7 组：30,40，40,50，90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这100名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于80 分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70 人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关；男生女生优秀不优秀附：20(

8、)P Kk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.82822n adbcKabcdacbd（3）对于样本中分数在80,90，90,100 的人数，学校准备按比例从这 2 组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人分数不低于90 分的学生数为 X，求 X 的分布列20（12 分）已知函数 2f xax，lng xx（1）当1a 时，求 f xg x的最小值；（2）若曲线 yf x与()yg x=有两条公切线，求a 的取值范围21（12 分）已知椭圆2C 与221:143xyC 的离心率相同，过2C 的右焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆2C 截得

9、的线段长为3 2（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若直线:3l yxm与椭圆1C、2C 的交点从上到下依次为C、A、B、D，且45AC，求m 的值请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为3 131132 1313xtyt（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 与极轴交于点 N，且动点M 满足1MN（1）求直线l 的极坐标方程和点M 的轨迹的极坐标方程C；（2）若直线4R 分别交直线l、曲线C 于点 A，B（非极点），求11OAOB

10、的值23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()|2|f xxa，()|g xxb（1）若1a，3b，解不等式()()4f xg x；（2）当0a，0b 时，()2()f xg x的最大值是3，证明：22942ab 文 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】B【解析】因为 230,33,1,0,1Ax xxxxx ZZ，2,2,1,1,2By yxyx ZZ，所以2,1,0,1,2AB U，故选 B2【答案】D【解析】由题意22(1 i)2(1 i)1 i1 i(1 i)(1 i)2z，

11、对应点为(1,1)，在第四象限，故选 D3【答案】C【解析】若 12/ll，则 213aa，解得32a 或1a ，当1a 时，1:350lxy，2:350lxy，直线 1l，2l 重合，32a，充分性成立；当32a 时，1:20lxy，225:206lxy，显然 12/ll，必要性成立，故“12/ll”是“32a”的充要条件，故选 C4【答案】C【解析】程序在执行过程中，,p k 的值依次为1,1pk；4,2pk；20,3pk；120p，此时km不成立，结束循环，输出120p，故选 C5【答案】C【解析】111 2121121212xxxxxeef xeee ，当0 x 时，1xe，则2101

12、xe ，故 211 1,122 2xf xe ，故 1,0f x；但0 x 时，01xe，则2211xe ，故 2131,1222xf xe ，2,1f x，综上所述，函数 yf x 的值域为2,1,0，故选 C6【答案】B【解析】画出约束条件210110 xyxxy 或210110 xyxxy 所表示的平面区域，如图所示：则2222693zxyxxy表示可行域内的点到定点3,0 距离的最小值，过3,0 作10 xy 的垂线，距离为223 1211d，则 z 的最小值为22d，故选 B7【答案】D【解析】在等式abab 两边同时平方可得222222 aa bbaa bb，0 a b，在等式2a

13、ba 两边同时平方可得22224 aa bba，3ba，222222 abababaa，所以，221cos,222 aababab abab abaa，0,ab ab，所以，2,3ab ab，故选 D8【答案】C【解析】因为数列 na是等差数列，11a，1010a，所以1019aad，解得1d，nan，则2181818989nnnannaannnnnn，因为8892+994 2nnnn，当且仅当2 2n 时等号成立，所以当2n 时，231011815292aa a；当3n 时，341113844393aa a，故数列18nnnaaa的最大项为 344，故选 C9【答案】C【解析】对于，由于ta

14、ntantan1 tantan，所以 tan 25tan353 tan 25 tan35tan 25351 tan25 tan353tan25 tan35tan 25353 ；对于，由于cos65sin25，所以 2 sin35 cos25cos35 cos652 sin35 cos25cos35 sin 25 2sin603；对于，因为 tan451 ，1 tan15tan45tan15tan6031 tan151 tan45 tan15；对于，因为 tan451 ，1tan15tan 45tan153tan301tan151tan 45 tan153，故选 C10【答案】C【解析】设所取的

15、两个数分别为 x、y，则事件构成的全部区域为,01,01x yxy，区域是边长为1的正方形区域，事件“这两个数之和小于 65”构成的区域为6,01,01,5Ax yxyxy，如下图所示：直线65xy交直线1y 于点 1,15，区域 A表示的是图中阴影部分区域则三角形区域是直角边长为 45的等腰直角三角形，区域 A的面积为22141712525AS，因此，事件“这两个数之和小于 65”的概率为2171725125ASPS故选 C11【答案】B【解析】由题可知，32()sinln13f xaxbxcxx，设32()sinln1g xaxbxcxx，其定义域为R，又32()()sinln()1)gx

16、axbxcxx，即 32sinln(1)gxaxbxcxx ，由于 22ln1ln1gcxxcxg xxx 222211ln1ln10ln xxxxcxxcc ，即 0gxg x，所以()g x 是奇函数，而 3f xg x，由题可知，函数()f x 的最大值为 5，则函数()g x 的最大值为5 32，由于()g x 是奇函数，得()g x 的最小值为 2，所以()f x 的最小值为 231 ，故选 B12【答案】B【解析】设动点00(),M xy，由双曲线方程可得(4,0)A，(4,0)B，则004AMykx，004BMykx，所以直线 AM 的方程为00(4)4yyxx，直线 BM 的方

17、程为00(4)4yyxx，由此可得004(0,)4yPx，004(0,)4yQx，所以200020004416()4416yyyOP OQxxx因为动点M 在双曲线22:1169xyC 上，所以22001169xy，所以2200169(16)yx，则22002200169(16)91616yxOP OQxx，故选 B第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】161【解析】数据112233,nnxy xy xyxy共有n 个，其平均数为111111()3070nnniiiiiiixyxyynnn，因此40y，故数据12341,41,41,41nyyyy 的平均数是4 40

18、1 161，故答案为 16114【答案】45 5【解析】在ACD中，150ADCADBBDC ，15DCA，15DAC，45 mADCD，在BCD中，15BDC，135BCDACBACD ，30CBD，由正弦定理可得 sinsinCDBDCBDBCD，245245 2 m12BD，在ABD中，45 mAD，45 2 mBD，135ADB，由余弦定理可得22222cos455ABADBDAD BDADB，因此，45 5 mAB，故答案为45 5 15【答案】54【解析】设ABC的中心为G，连接 SG，BG，SG 平面 ABC，AC 面 ABC，SGAC，又 ACBG，BGSGG，AC 平面 SB

19、G，SB 平面 SBG，ACSB，又 SBCD，ACCDC，SB 平面 ACS,SA SC 平面 ACS，SBSA，SBSC，SABC为正三棱锥，SA，SB，SC 两两垂直，3 2SASBSC，故外接球直径为 2223 23 23 23 6，故三棱锥 SABC外接球的表面积为23 64542，故答案为54 16【答案】151(0,),153ee【解析】当13x时，243f xxx，令243yxx，则2221xy，13x，故此时 f x 的图象为圆的一部分，在坐标平面中画出 f x 的图象如下：因为关于 x 的方程()20f xk x有三个不同的实数根，所以 yf x的图象与2yk x的图象有

20、3 个不同的交点当0k 时，yf x的图象与2yk x的图象无交点，舍去；当0k 时，2yk x的图象的左边的射线与 yf x的图象有一个交点，当射线22yk xx 与xye相切时，设切点为,a b，则2aaek aek，故1a ，1ke当射线22yk xx 过1,e 时，3ek；当22yk xx 与圆2221xy 相切时，有2411kk，故1515k 因为 151153ee，故当 yf x的图象与2yk x的图象有 3 个不同的交点时，有15015k或 13eke 故答案为151(0,),153ee三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【

21、答案】（1）2nna；（2）2332nnnT【解析】（1）数列 na满足122222nnaaan，当2n 时，112211222nnaaan，两式作差有12nna，所以2nna，当1n 时，12a，上式也成立，所以2nna（2）22211nnnna，则211113(21)222nnTn ，231111113(21)2222nnTn ，2311111111221222222nnnTn 111111113142221231222212nnnnn，所以2332nnnT 18【答案】（1）证明见解析；（2）6 77【解析】（1）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD因为 ACPB，且 BDP

22、BB，所以 AC 平面 PBD 因为 PD 平面 PBD，所以 ACPD因为 ABAD，且60BAD，所以 BDAB，因为22PBABPD，所以222PDBDPB，则 PDBD因为 AC 与 BD相交，所以 PD 平面 ABCD（2）解：由（1）可知 PD 平面 ABCD，BDCD，则2PBPCPD设 ABm，则四棱锥 PABCD的体积为3131232 m，解得2 3m 在PBC中，2 3BC，2 6PBPC，则PBC的面积为 12 32433 72 设点 D到平面 PBC 的距离为h 因为三棱锥 PBCD的体积为 1 1262，所以三棱锥 DPBC的体积为 1 3 763h，解得6 77h，

23、即点 D到平面 PBC 的距离为 6 7719【答案】（1）82.5；（2）列联表见解析，没有95%的把握认为测试优秀与性别有关；（3）分布列见解析【解析】（1）设这100名学生测试分数的中位数为a，由前 5 组频率之和为0.4，前 6 组频率之和为0.8，可得8090a，所以0.4800.040.5a，82.5a（2）列联表如下：男生女生优秀4515不优秀251522100 45 1525 151.7863.84170 30 60 40K，所以没有95%的把握认为测试优秀与性别有关（3）由题意可知，12人中分数在80,90 内的共有8 人，分数不低于90 分的学生有4 人，X 的取值依次为0

24、,1,2,338312C140C55P X，2184312C C281C55P X，1284312C C122C55P X，34312C13C55P X，所以 X 的分布列为：X0123P14552855125515520【答案】（1）11 ln222；（2）12ae【解析】（1）当1a 时，令 2 lnF xf xg xxx，212120 xFxxxxx，令 0Fx且0 x，可得22x，2()02F xx；2()002F xx，即函数 F x 在20,2上单调递减，在2,2上单调递增，min211ln 2ln 22221122FF（2）由函数 f x 和 g x 的图象可知，当 f xg x

25、时，曲线 yf x与()yg x=有两条公切线，即2lnaxx在()0,+?上恒成立，即2ln xax在()0,+?上恒成立，设 2ln xh xx，31 2ln xh xx，令 31 2ln0,xh xxex 00 xh xe；0h xxe，即函数 h x 在0,e 上单调递增，在,e 上单调递减，即max12hhee，因此，12ae21【答案】（1）22186xy=；（2）3m 【解析】（1）设椭圆2C 的方程为222210 xyabab，焦距为2c，将 xc代入2C 的方程可得22221cyab，解得2bya 由题意得22221223 2cabacab，解得2 26ab，因此2C 的方程

26、为22186xy=（2）设 11,A x y、22,B xy、33,C x y、44,D xy，由22433xyyxm，得22158 34120 xmxm（1 或 2），l 与1C、2C 相交，只需当1 时，222164 360 41248 150mmm，解得1515m当2 时，222264 360 42448 300mmm，由韦达定理可得12348 315mxxxx，所以，AB 与CD 的中点相同，所以，2CDABAC，即22341248 3048 151221515mmACxxxx 224 330154155mm，整理可得23m，解得3m ，满足条件22【答案】（1）:2 cos3 sin

27、20l；2:cosC；（2）3 24【解析】（1）由3 131132 1313xtyt（t 为参数）得2320 xy，直线l 的极坐标方程为2 cos3 sin20令0，得1，点1,0N，由1MN 得点M 的轨迹为以点1,0N为圆心，1为半径的圆，点M 的轨迹方程为2211xy，2cos（2）联立2 cos3 sin204，得2 2 ，点2 2,4A，2 2OA；联立2cos4，得2，点2,4B，2OB，11113 242 22OAOB23【答案】（1）2,0,)3；（2）证明见解析【解析】（1）当1a，3b 时，123,21()()|21|3|4,3232,3xxf xg xxxxxxx ，当12x 时，由234x，解得23x ；当132x时，44x，解得03x；当3x 时，由324x，解得3x，所以不等式()()4f xg x的解集为2,0,)3（2）当0a，0b 时，由三角不等式得()2()|2|2|2|22|222|2f xg xxaxbxaxbxaxbab，所以23ab因为222422abab，即223422ab，所以22942ab 当且仅当2ab，即32a，34b 时取得等号