（全国卷Ⅰ）2020年高考数学压轴卷 理（含解析）.doc

1、（全国卷）2020 年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合228023Ax xxBxx，则 AB=().A.(2,3)B.2,3)C.4,2 D.(4,3)2.已知(1 i)(2i)z，则2|z （）A.2 i B.3 i C.5 D.10 3.若向量a 13,22，|b|2 3，若a(b a)2，则向量a 与b 的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.2 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.8 B.12 C.16 D.24 5.已知某批零件的长度误差（单位

2、：毫米）服从正态分布20,3N，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量 服从正态分布2,N ，则 68.26%P，2295.44%P）A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%6.我国古代名著庄子 天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则处可分别填入的是()A.17?,+1issiii B.1128?,2issiii C 17?,+12issiii D.1128?,22issii

3、i 7.已知变量 x，y 满足约束条件1031010 xyxyxy ，则2zxy的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 8.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A.二升 B.三升 C.四升 D.五升 9.在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，3,2 3,sinacbA cos6aB，则 b=()A.1 B.2 C.3 D.5 10.若直线220(0,0)axbyab被圆014222yxyx截得弦长为 4，则41ab的最小值是（）A.9 B.4 C.12 D.14 11.已知抛物线2:

4、2(0)C ypx p的焦点为 F，点00,2 22pM xx 是抛物线 C 上一点，以点 M 为圆心的圆与直线2px 交于 E，G 两点，若1sin3MFG，则抛物线 C 的方程是（）A.2yx B.22yx C.24yx D.28yx 12.已知函数1,0(),0 xxmf xex，若方程23()(23)()20mfxmf x有 5 个解，则 m的取值范围是（）A.(1,)B.(0,1)(1,)C.31,2 D.331,22 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知0,，且2sin()410，则 tan2 _ 14.设 m 为正整数，2mxy 展开式的二项式

5、系数的最大值为21ma xy，展开式的二项式系数的最大值为 b，若158ab，则 m=_ 15.已知函数 42423,0,3,0,xxax xf xxxax x 有四个零点，则实数 a 的取值范围是_ 16.如图，已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，2PAAB，给出下列结论：PBAE；直线/BC平面 PAE；平面 PAE 平面 PDE；异面直线 PD 与 BC 所成角为 45；直线 PD 与平面 PAB 所成角的余弦值为 104.其中正确的有_（把所有正确的序号都填上）三解答题（本大题共 6 小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题 12 分

6、）ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知24sin4sinsin222ABAB（1）求角 C 的大小；（2）已知4b，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.18.（本小题 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，122BCCDAB，ABC=BCD=90，E 为 PB 的中点。（1）证明：CE面 PAD （2）若直线 CE 与底面 ABCD 所成的角为 45，求四棱锥 P-ABCD 的体积。19.（本小题 12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工 60 人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时

7、）甲部门 6 7 8 乙部门 5.5 6 6.5 7 7.5 8 丙部门 5 5.5 6 6.5 7 8.5 （1）求该单位乙部门的员工人数？（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为 A，乙部门选出的员工记为 B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求 A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间的概率；（3）若将每天睡眠时间不少于 7 小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取 3人做进一步的身体检查用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望 20.（本小题 12 分）已知椭圆222210yxabab的离心率为22，且22ab

8、.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：0 xym与椭圆交于 A，B 两点，是否存在实数 m，使线段 AB 的中点在圆225xy上，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 21.（本小题 12 分）设函数 22lnf xaxxax aR.（1）求 f x 的单调区间；（2）求使 21ef xe 对1,xe恒成立的 a 的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22.（本小题 10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为21222xtyt (其中 t 为参数）.现以坐标原点为极点，x 轴的非负半

9、轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为6cos.（1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若点 P 坐标为(1,0)，直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点，求 PAPB的值.23.（本小题 10 分）已知函数 22f xxxa xR（1）当0a 时，求不等式 7f x 的解集；（2）若 24f xx对任意10 x ，成立，求实数 a 的取值范围 2020 新课标 1 高考压轴卷数学（理）Word 版含解析 参考答案 1.【答案】B【解析】因228024Ax xxAx xx 或，所以232,3)BxA，故本题选 B.2.【答案】D【解析】因为12zii3i 所以2

10、223(1)10z 故选 D 3.【答案】A【解析】由已知可得：22a ba，得3a b ，设向量 a 与 b 的夹角为 ，则3cos.2a bab 所以向量a 与b 的夹角为 6 故选 A.4.【答案】A【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥 三棱锥体积为：1115 2.4 48332VSh 本题正确选项：A 5.【答案】B【解析】由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2PPP（），（），（）（）故选 B 6.【答案】B【解析】由题意，执行程序框图，可得：第 1 次循环：11,42Si；第 2 次循环：111,824Si；第 3 次循环：1111,16

11、248Si；依次类推，第 7 次循环：11111,256241288Si，此时不满足条件，推出循环，其中判断框应填入的条件为：128?i，执行框应填入：1SSi，应填入：2ii.故选：B.7.【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，2yxz，可知截距越大 z 值越大，根据图象得出最优解为(1,0)，则2zxy的最大值为 2，选 B.8.【答案】B【解析】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为 4232，故选 B 9.【答案】C【解析】因为 sinbA cos6aB，展开得 sinbA 3?1?cossin22aBaB，由正

12、弦定理化简得 sinsinBA 3?1?cossin22sinABsinAB，整理得 3sinB cosB 即33tanB，而三角形中 0B，所以6B 由余弦定理可得2222cosbacacB，代入 22232 32 3 2 3cos 6b 解得3b 所以选 C 10.【答案】A【解析】圆22xy2x4y 10 的标准方程为：（x+1）2+（y2）2=4，它表示以（1，2）为圆心、半径等于 2 的圆；设弦心距为 d，由题意可得 22+d2=4，求得 d=0，可得直线经过圆心，故有2a2b+2=0，即 a+b=1，再由 a0，b0，可得 41ab=（41ab）（a+b）=5+4baab5+249

13、baab 当且仅当 4ba=ab时取等号，41ab的最小值是 9 故选：A 11.【答案】C【解析】作 MDEG，垂足为点 D 由题意得点00,2 22pM xx在抛物线上，则082px得04px 由抛物线的性质，可知，0|2pDMx，因为1sin3MFG，所以011|332pDMMFx 所以001232ppxx，解得：0 xp 由，解得：02xp （舍去）或02xp 故抛物线 C 的方程是24yx 故选 C 12.【答案】D【解析】23()(23)()203()2()10mfxmf xf xmf x，2()3f x，或1()f xm，由题意可知：1(0)fm，由题可知：当0 x 时，2()3

14、f x 有2 个解且1()f xm有 2 个解且 21332mm，当0 x 时，(1()xxf xee，因为11()()xxfxeefx，所以函数()f x 是偶函数，当0 x 时，函数()f x 是减函数，故有0()1f x，函数()f x 是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当0 x 时有，0()1f x，所以0111mm ，综上所述；m 的取值范围是331,22，故本题选 D.13.【答案】247【解析】由2sin()410 得：221sincossincos2105 解方程组：221sincos5sincos1得：4sin53cos5或3sin54cos5 因为0,，所以sin0,所以3

15、sin54cos5 不合题意，舍去 所以4tan3，所以22422tan243tan 21tan7413，答案应填：247.14.【答案】7【解析】2mxy 展开式中二项式系数的最大值为2mmaC，21mxy展开式中二项式系数的最大值为m 12m 1bC，因158ab 所以mm 12m2m 115C8C 即：()!()!()!2m2m1158mmmm1 解得：7m 15.【答案】(2,0)【解析】因为 f x 是偶函数，根据对称性，4230 xxax在0,上有两个不同的实根，即33axx在0,上有两个不同的实根，等价转化为直线 ya与曲线330yxx x有两个交点，而233311yxxx，则当

16、01x 时，0y，当1x 时，0y，所以函数33yxx在0,1 上是减函数，在1,上是增函数，于是min102,0 xxyyy，故2,0.a 故答案为：(2,0)16.【答案】【解析】设正六边形长为 1，则2PA.根据正六边形的几何性质可知 AEAB，由 PA平面 ABC 得 PAAE，所以 AE平面 PAB，所以 AEPB，故正确.由于/BCAD，而 ADAEA，所以直线/BC平面 PAE 不正确，故错误.易证得,DEAE DEPA,所以 DE 平面 PAE，所以平面 PAE 平面 PDE，故正确.由于/BCAD,所以PDA是异面直线 PD与 BC 所成角，在 Rt PAD中，2APAD，故

17、45PDA，也即异面直线 PD与 BC 所成角为45，故正确.连接 BD，则/BDAE，由证明过程可知 AE平面 PAB，所以 BD 平面 PAB，所以DPB是所求线面角，在三角形 PBD 中，5,2 2,3PBPDBD，由余弦定理得58310cos=425 2 2DPB，故正确.综上所述，正确的序号为.17.【答案】（1）4；（2）10.【解析】试题分析：（1）由已知得21 cos()4sinsin22ABAB，化简得 2coscos2sinsin2ABAB，故2cos()2AB，所以34AB，因为 ABC，所以4C=.（2）因为1sin2SabC，由6ABCS，4b，4C=，所以3 2a，

18、由余弦定理得2222coscababC，所以10c 18.【答案】（1）见解析（2）4 2 【解析】解法一:(1)取 PA 中点 Q，连接 QD，QE，则 QEAB，且 QE=12AB QECD，且 QE=CD.即四边形 CDQE 为平行四边形，CEQD.又CE 平面 PAD，QD 平面 PAD，CE平面 PAD.(2)连接 BD，取 BD 中点 O，连接 EO，CO 则 EOPD，且 EO=12PD.PD平面 ABCD，EO平面 ABCD.则 CO 为 CE 在平面 ABCD 上的射影，即ECO 为直线 CE 与底面 ABCD 所成的角，ECO=45 在等腰直角三角形 BCD 中，BC=CD

19、=2，则 BD=2 2，则在 RtECO 中，ECO=45，EO=CO=12BD=2 2PD=2E0=2 2，1(24)262ABCDS底面 11 6 2 24 233P ABCDABCDVS 底面 四棱锥 P-ABCD 的体积为4 2.解法二：(1)取 AB 中点 Q，连接 QC，QE 则 QEPA PA 平面 PAD，QE 平面 PAD QE平面 PAD，又AQ=12AB=CD，AQCD，四边形 AQCD 平行四迹形，则 CQDA DA 平面 PAD，CQ 平面 PAD，CQ平面 PAD，(QE平面 PAD.CQ平面 PAD，证明其中一个即给 2 分)又 QE 平面 CEQ，CQ 平面 C

20、EQ，QECQ=Q，平面 CEQ平面 PAD，又 CE 平面 CQ，CE平面 PAD.(2)同解法一.19.【答案】(1)24 人；(2)23；(3)X 的分布列见解析；数学期望为 1【解析】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+615 名员工，其中该单位乙部门抽取 6 名员工，该单位乙部门的员工人数为：6 6015 24 人（2）由题意甲部门抽取 3 名员工，乙部门抽取 6 名员工，从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，基本事件总数 n1136C C18，A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有 12 个：（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6

21、），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间的概率 p122=183（3）由题意从丙部门抽出的员工有 6 人，其中睡眠充足的员工人数有 2 人，从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人做进一步的身体检查用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，则 X 的可能取值为 0，1，2，P（X0）343615CC，P（X1）21423635C CC，P（X2）12423615C CC，X 的分布列为：X 0 1 2 P 15 35 15 E（X）131012555 1 20.【答案】（1）；（2

22、）实数 m 不存在，理由见解析【解析】（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，即，所以，即又因点在圆上，可得，解得与矛盾 故实数不存在 21.【答案】（1）见解析；（2）e 【解析】（1）因为 22lnf xaxxax，其中0 x，所以 222xaxaafxxaxx.所以，0a 时，所以 f x 的单调递增区间为0,a，单调递减区间为,a ；0a 时，所以 f x 的单调递减区间为0,；0a 时，所以 f x 的单调递增区间为 0,2a，单调递减区间为,2a；（2）由题意得 111fae ，即ae.由（1）知 f x 在1,e 内单调递增，要使 2

23、1ef xe 对1,xe恒成立.只要 222111,faef eaeaee 解得ae.故a 的取值范围是 e.22.【答案】（1）10 xy，2239xy；（2）4 2.【解析】（1）由21222xtyt 消去参数t，得直线l 的普通方程为10 xy 又由6cos得26 cos，由xcosysin得曲线C 的直角坐标方程为2260 xyx，即2239xy；（2）其21222xtyt 代入2260 xyx得 24 270tt，则 121 24 2,70ttt t 所以12124 2PAPBtttt.23.【答案】(1)53 3，(2)21，【解析】（1）当0a 时，不等式 7f x 可化为 227xx 当0 x 时，227xx ，解得53x，故503x；当 10 x 时，227xx ，解得5x，故 10 x ；当1x 时，227xx，解得3x ，故 31x 综上，当0a 时，不等式 7f x 的解集为53 3，（2）24f xx对任意10 x ，成立，2224xxax任意10 x ，成立，2xa对任意10 x ，成立，所以22xax 对任意10 x ，成立 又当10 x ，时，minmax21 2122xx ，故所求实数a 的取值范围是21，