（全国卷Ⅱ）2020年高考数学压轴卷 文（含解析）.doc

1、（全国卷）2020 年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题.每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 AxN0 x3，BxR2x2则 AB()A.0,1 B.1 C.0,1 D.0,2)2.已知复数 z 的共轭复数11 2izi，则复数 z 的虚部是（）A.35 B.35 i C.35-D.35i 3.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”B.“1x ”是“2560 xx”必要不充分条件 C.命题“xR，使210 xx”的否定是：“xR 均有210 xx”D.命题“若

2、 xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题 4.角 的终边在直线2yx上，则sincossincos（）A.13 B.1 C.3 D.1 5.已知向量1,1a ，1,bm，若向量 a 与ba的夹角为 4，则实数 m=（）A.3 B.1 C.1 D.3 6.设变量想 x、y 满足约束条件为2600 xyxy 则目标函数3zxy的最大值为()A.0 B.-3 C.18 D.21 7.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A.1 B.3 C.6 D.2 8.执行如下的程序框图，则输出的 S 是（）A.36 B.45 C.36 D.45 9.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”

3、章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（）A.第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 10.已知函数 21cos4f xxx，fx是函数 f x 的导函数，则 fx的图象大致是（）A.B.C.D.11.双曲线 C：22219xyb的左、右焦点分别为 F1、F2，P 在双曲线 C 上，且12PF F是等腰三角形，其周长为 22，则双曲线 C 的离心率为（）A.89 B.149 C.83 D.143 12.若定义在 R 上的函数 f x 满足 2f

4、xf x且1,1x 时，f xx，则方程 3logf xx的根的个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题（本大题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分）13.已知0,，且2sin()410，则 tan2 _ 14.现有 7 名志愿者，其中只会俄语的有 3 人，既会俄语又会英语的有 4 人.从中选出 4 人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2 人担任英语翻译，2 人担任俄语翻译，共有_种不同的选法。15.已知直线 l：330mxym与圆2212xy交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l的垂线与 y 轴交于 C、D 两点，若|2 3AB，则|CD _ 16.已知三棱锥 PABC

5、，PA平面 ABC，ACBC，PA2，ACBC1，则三棱锥 PABC 外接球的体积为_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题 12 分）已知数列an满足12a ，124nnaa （1）证明：4na 是等比数列；（2）求数列an的前 n 项和 Sn 18.（本小题 12 分）如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱1AA 底面 ABC，ABBC，D 为 AC 的中点，12,3AAABBC.（1）求证：1AB/平面1BC D；（2）求 AB1与 BD 所成角的余弦值 19.（本小题 12 分）某科研课题组通过一款手机 APP

6、 软件，调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表 周跑量（km/周）10 15，15 20，20 25，25 30，30 35，35 40，40 45，45 50，50 55，人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 （1）在答题卡上补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为 28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步

7、爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量 小于20公里 20 公里到 40 公里 不小于 40 公里 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单位：元）2500 4000 4500 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?20.（本小题 12 分）已知点 0,2A，椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为2,2F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2，O 为坐标原点（1）求 E 的方程；（2）设过点 03P，且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两 M、N，且8 2|7MN，求 k 的值.21.（本小题

8、12 分）已知函数 1xf xxae （1）讨论 f(x)的单调性；（2）设12,x x 是 f(x)的两个零点，证明：124xx 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22.（本小题 10 分）已知曲线 C：222812(1)1kxkkyk（k 为参数）和直线 l：2cos1sinxtyt（t 为参数）（1）将曲线 C 的方程化为普通方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P（2，1）为弦 AB 的中点，求弦 AB 所在的直线方程 23.（本小题 10 分）设函数()1f xxx 的最大值为

9、 m.（1）求 m 的值；（2）若正实数 a，b 满足abm，求2211abba的最小值.2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析 参考答案 1.【答案】A【解析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【详解】A0，1，2，3，BxR|2x2；AB0，1 故选：A 2.【答案】A【解析】11 211 3131 21 21 2555iiiiziiii ，则1355zi，则复数 z 的虚部是 35.故选：A.3.【答案】D【解析】A命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”，则 A 错误 B 由2560 xx，解得6x 或1x ，则“1x ”是“2560 xx”的

10、充分不必要条件，故 B 错误 C 命题“xR 使得210 xx”的否定是：“xR 均有21 0 xx ”，故C 错误 D命题“若 xy，则sinsinxy”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题，故 D正确 故选：D 4.【答案】C【解析】角 的终边在直线2yx上，tan2，则sincossinsincossincoscsosincostan13sincostan1，故选：C。5.【答案】B 【解析】由题意得：1,1a，2,1bam 2a，241bam 2212cos 42241abamabam，解得：1m 本题正确选项：B 6.【答案】C【解

11、析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数3zxy在点 6,0A处取得最大值，且最大值为3 6018z .故选 C.7.【答案】D【解析】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是 1，下底是 2，垂直于底边的腰是 2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是 2.四棱锥的体积是1 2212232.故选：D.8.【答案】A【解析】18i 满足，执行第一次循环，120111S ，1 12i ；28i 成立，执行第二次循环，221123S ，2 13i ；38i 成立，执行第三次循环，323136S ，3 14i ；48i 成立，执行第四次循环，4261410S ，4

12、 15i ；58i 成立，执行第五次循环，52101515S ，5 16i ；68i 成立，执行第六次循环，62151621S ，6 17i ；78i 成立，执行第七次循环，72211728S ，7 18i ；88i 成立，执行第八次循环，82281836S ，8 19i ；98i 不成立，跳出循环体，输出 S 的值为36，故选：A.9.【答案】B 第一天：大老鼠 1+小老鼠 1=2；第二天：大老鼠 2+小老鼠 1.5=3.5 第三天：大老鼠 4+小老鼠 1.75=5.75 相遇 10.【答案】A【解析】由题意得：1sin2fxxx 1sin2fxxxfx f x为奇函数，图象关于原点对称 可

13、排除,B D 又当2x时，1024f，可排除C 本题正确选项：A 11.【答案】B【解析】双曲线22219xyCb：，可得 a3，因为12PF F是等腰三角形，当211=PF F F 时，由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|，在F1PF2中，2c+2c+|PF2|22，即 6c2a22，即 c143，解得 C 的离心率 e149，当221=PFF F 时，由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|=2a+2c，在F1PF2中，2a+2c+2c+2c22，即 6c222a=16，即 c83，解得 C 的离心率 e891（舍），故选：B 12.【答案】A【解析】因为函数 f x 满足 2f xf

14、 x，所以函数 f x 是周期为2 的周期函数.又 1,1x 时，|f xx，所以函数 f x 的图象如图所示.再作出3logyx的图象，易得两图象有4 个交点，所以方程3()log|f xx有 4 个零点故应选 A 13.【答案】247【解析】由2sin()410 得：221sincossincos2105 解方程组：221sincos5sincos1得：4sin53cos5或3sin54cos5 因为0,，所以sin0,所以3sin54cos5 不合题意，舍去 所以4tan3，所以22422tan243tan 21tan7413，答案应填：247.14.【答案】60 【解析】因为英语翻译只

15、能从多面手中选，所以有（1）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有224318C C 种选法；（2）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，1 人从事俄语翻译，所以有12134236C C C 种选法；（3）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，2 人从事俄语翻译，所以有246C 种选法；共有 18+36+6=60 种选法。15.【答案】4【解析】因为2 3AB，且圆的半径为2 3r，所以圆心0,0 到直线330mxym的距离为2232ABr，则由23331mm，解得33m ，代入直线l 的方程，得32 33yx，所以直线l 的倾斜角为 30，由平面几何知识知在梯形 ABDC

16、中，4cos30ABCD 故答案为 4 16.【答案】6 【解析】如图所示,取 PB 的中点 O，PA平面 ABC，PAAB，PABC，又 BCAC，PAACA，BC平面 PAC，BCPC.OA12 PB，OC12 PB，OAOBOCOP，故 O 为外接球的球心又 PA2，ACBC1，AB 2，PB 6，外接球的半径R62.V 球 43R3 43(62)36,故填6.三、解答题（本大题共 6 道题，其中 17 题 10 分，其余每题 12 分，共计 70 分，请将准确的答案写在答题卡相应的区域内.）17.【答案】（1）见解析；（2）1242nnSn 【解析】（1）由题意，数列 na满足12a

17、，所以142a 又因为124nnaa，所以142824nnnaaa，即1424nnaa，所以4na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得42nna，即24nna，所以 22122424242224nnnnSaaan 12 1 242241 2nnnn，即1242nnSn 18.【答案】（1）证明见解析；（2）2613.【解析】(1)证明：如图，连接1BC，设1BC 与1BC 相交于点 O，连接 OD.四边形11BCC B 是平行四边形 点 O 为1BC 的中点 D 为 AC 的中点，OD 为1ABC的中位线，1/ODAB OD 平面1BC D，1A

18、B 平面1BC D，1/AB平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB为1AB 与 BD所成的角或其补角 在 Rt ABC中，D 为 AC 的中点，则1322ACBD 同理可得，132OB 在 OBD中，22226cos213ODBDOBODBOD BD 1AB与 BD 所成角的余弦值为2613.19.【答案】(1)见解析；(2)中位数为 29.2，分布特点见解析；(3)3720 元【解析】（1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）中位数的估计值：由5 0.025 0.0245 0.0260.350.5 ，0.35 5 0.0360.530.5 所以中位数位于

19、区间25 30，中，设中位数为 x，则0.35250.0360.5x，解得29.2x，因为28.529.2，所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数（3）依题意可知，休闲跑者共有5 0.025 0.0241000220 人，核心跑者5 0.0265 0.0365 0.0445 0.0301000680 人，精英跑者1000220680100人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要220 2500680 4000 100 450037201000元 20.【答案】（1）2212xy；（2）3k 或3.【解析】解：（1）由离心率 e22ca，则 a2c，直线 AF 的斜率 k020

20、c 2，则 c1，a2，b2a2c21，椭圆 E 的方程为2212xy；（2）设直线 l：ykx 3，设 M（x1，y1），N（x2，y2），则22312ykxxy，整理得：（1+2k2）x24 3 kx+40，（4 3 k）244（1+2k2）0，即 k21，x1+x224 31 2kk，x1x2241 2k，2222212121224118 2114127kkMNkxxkxxx xk，即421732570kk,解得：23k 或 1917（舍去）k 3，21.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）1xfxae，当0a 时，0fx，则 f x 在 R 上单调递增 当0a 时，令 0fx

21、，得1lnxa，则 f x 的单调递增区间为1,lna，令 0fx，得1lnxa，则 f x 的单调递减区间为1ln,a（2）证明：由 0f x 得1xxae，设 1xxg xe，则 2xxgxe 由 0gx，得2x；由 0gx，得2x 故 2min120g xge 的最小值 当1x 时，0g x，当1x 时，0g x，不妨设12xx，则121,2,2,xx，124xx等价于214xx，142x且 g x2,上单调递增，要证：124xx，只需证 214g xgx，12g xg xa，只需证 114g xgx，即1111413xxxxee，即证12411310 xexx；设 2431,1,2xh

22、 xexxx，则 24 251xh xex，令 m xh x，则 2442xm xex，1,2,0 xm x，m x在1,2 上单调递减，即 h x在1,2 上单调递减，20h xh，h x在1,2 上单调递增，1241120,310 xh xhexx，从而124xx得证 22.【答案】（1），（2）x+2y40【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为 C 的普通方程（2）将代入，整理得（4sin2+cos2）t2+（4cos+8sin）t80 由 P 为 AB 的中点，则 cos+2sin0，即，故，即，所以所求的直线方程为 x+2y40 23.【答案】(1)m1(2)13【解析】（1）f(x)|x1|x|由 f(x)的单调性可知，当 x1 时，f(x)有最大值 1 所以 m1（2）由（1）可知，ab1，()(b1)(a1)a2b2 (a2b22)(ab)2 当且仅当 ab时取等号 即的最小值为