（全国卷Ⅱ）2020年高考数学压轴卷 理（含解析）.doc

1、（全国卷）2020 年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题.每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 AxN0 x3，BxR2x2则 AB()A.0,1 B.1 C.0,1 D.0,2)2.已知复数 z 的共轭复数11 2izi，则复数 z 的虚部是（）A.35 B.35 i C.35-D.35i 3.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”B.“1x ”是“2560 xx”必要不充分条件 C.命题“xR，使210 xx”的否定是：“xR 均有210 xx”D.命题“若

2、 xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题 4.角 的终边在直线2yx上，则sincossincos（）A.13 B.1 C.3 D.1 5.已知向量1,1a ，1,bm，若向量 a 与ba的夹角为 4，则实数 m=（）A.3 B.1 C.1 D.3 6.设变量想 x、y 满足约束条件为2600 xyxy 则目标函数3zxy的最大值为()A.0 B.-3 C.18 D.21 7.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A.1 B.3 C.6 D.2 8.执行如下的程序框图，则输出的 S 是（）A.36 B.45 C.36 D.45 9.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”

3、章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（）A.第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 10.62112xxxx展开式中2x 项的系数为（）A 52 B154 C 54 D 254 11.双曲线 C：22219xyb 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 在双曲线 C 上，且12PF F是等腰三角形，其周长为 22，则双曲线 C 的离心率为（）A.89 B.149 C.83 D.143 12.若定义在 R 上的函数 f x 满足 2f xf x且1,

4、1x 时，f xx，则方程 3logf xx的根的个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题（本大题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分）13.已知0,，且2sin()410，则 tan2 _ 14.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”

5、两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_种.15.已知直线 l：330mxym与圆2212xy交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l的垂线与 y 轴交于 C、D 两点，若|2 3AB，则|CD _ 16.已知三棱锥 PABC，PA平面 ABC，ACBC，PA2，ACBC1，则三棱锥 PABC 外接球的体积为_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题 12 分）已知数列an满足12a ，124nnaa （1）证明：4na 是等比数列；（2）求数列an的前 n 项和 Sn 18.（本小题 12 分）如图所示，在三棱柱 A

6、BC-A1B1C1中，侧棱1AA 底面 ABC，ABBC，D 为 AC 的中点，12,3AAABBC.（1）求证：1AB/平面1BC D；（2）求 AB1与 BD 所成角的余弦值 19.（本小题 12 分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次

7、数总共为1k 次某定点医院现取得 4 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为2 23P （）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由 20.（本小题 12 分）已知点 0,2A，椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为2,2F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2，O 为坐标原点（1）求 E 的方程；（2）设过点 03P，且斜率

8、为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两 M、N，且8 2|7MN，求 k 的值.21.（本小题 12 分）已知函数 1xf xxae （1）讨论 f(x)的单调性；（2）设12,x x 是 f(x)的两个零点，证明：124xx 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22.（本小题 10 分）已知曲线 C：222812(1)1kxkkyk（k 为参数）和直线 l：2cos1sinxtyt（t 为参数）（1）将曲线 C 的方程化为普通方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P（2，1）为弦

9、AB 的中点，求弦 AB 所在的直线方程 23.（本小题 10 分）设函数()1f xxx 的最大值为 m.（1）求 m 的值；（2）若正实数 a，b 满足abm，求2211abba的最小值.2020 新课标 2 高考压轴卷数学（理）Word 版含解析 参考答案 1.【答案】A【解析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【详解】A0，1，2，3，BxR|2x2；AB0，1 故选：A 2.【答案】A【解析】11 211 3131 21 21 2555iiiiziiii ，则1355zi，则复数 z 的虚部是 35.故选：A.3.【答案】D【解析】A命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x

10、，则1x”，则 A 错误 B 由2560 xx，解得6x 或1x ，则“1x ”是“2560 xx”的充分不必要条件，故 B 错误 C 命题“xR 使得210 xx”的否定是：“xR 均有21 0 xx ”，故C 错误 D命题“若 xy，则sinsinxy”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题，故 D正确 故选：D 4.【答案】C【解析】角 的终边在直线2yx上，tan2，则sincossinsincossincoscsosincostan13sincostan1，故选：C。5.【答案】B 【解析】由题意得：1,1a，2,1bam 2a，24

11、1bam 2212cos 42241abamabam，解得：1m 本题正确选项：B 6.【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数3zxy在点 6,0A处取得最大值，且最大值为3 6018z .故选 C.7.【答案】D【解析】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是 1，下底是 2，垂直于底边的腰是 2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是 2.四棱锥的体积是1 2212232.故选：D.8.【答案】A【解析】18i 满足，执行第一次循环，120111S ，1 12i ；28i 成立，执行第二次循环，221123S ，2 13i ；38i 成立

12、，执行第三次循环，323136S ，3 14i ；48i 成立，执行第四次循环，4261410S ，4 15i ；58i 成立，执行第五次循环，52101515S ，5 16i ；68i 成立，执行第六次循环，62151621S ，6 17i ；78i 成立，执行第七次循环，72211728S ，7 18i ；88i 成立，执行第八次循环，82281836S ，8 19i ；98i 不成立，跳出循环体，输出 S 的值为36，故选：A.9.【答案】B 第一天：大老鼠 1+小老鼠 1=2；第二天：大老鼠 2+小老鼠 1.5=3.5 第三天：大老鼠 4+小老鼠 1.75=5.75 相遇 10.【答案

13、】C【解析】612xx的通项公式为66 2166122rrrrrrrTC xC xx，故612xx的二项展开式中的常数项为361205882C，一次项系数为0，二次项的系数为2611544C，62112xxxx展开式中2x 的系数为1555424，故选 C.11.【答案】B【解析】双曲线22219xyCb：，可得 a3，因为12PF F是等腰三角形，当211=PF F F 时，由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|，在F1PF2中，2c+2c+|PF2|22，即 6c2a22，即 c143，解得 C 的离心率 e149，当221=PFF F 时，由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|=2a

14、+2c，在F1PF2中，2a+2c+2c+2c22，即 6c222a=16，即 c83，解得 C 的离心率 e891（舍），故选：B 12.【答案】A【解析】因为函数 f x 满足 2f xf x，所以函数 f x 是周期为2 的周期函数.又 1,1x 时，|f xx，所以函数 f x 的图象如图所示.再作出3logyx的图象，易得两图象有4 个交点，所以方程3()log|f xx有 4 个零点故应选 A 13.【答案】247【解析】由2sin()410 得：221sincossincos2105 解方程组：221sincos5sincos1得：4sin53cos5或3sin54cos5 因为

15、0,，所以sin0,所以3sin54cos5 不合题意，舍去 所以4tan3，所以22422tan243tan 21tan7413，答案应填：247.14.【答案】432【解析】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有552240A 种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有14442192C A 种;因此共有240 192432种.故答案为：432 15.【答案】4【解析】因为2 3AB，且圆的半径为2 3r，所以圆心0,0 到直线330mxym的距离为2232ABr，则由23331mm，解得33m ，代入直线l 的方程，得32 33yx，

16、所以直线l 的倾斜角为 30，由平面几何知识知在梯形 ABDC 中，4cos30ABCD 故答案为 4 16.【答案】6 【解析】如图所示,取 PB 的中点 O，PA平面 ABC，PAAB，PABC，又 BCAC，PAACA，BC平面 PAC，BCPC.OA12 PB，OC12 PB，OAOBOCOP，故 O 为外接球的球心又 PA2，ACBC1，AB 2，PB 6，外接球的半径R62.V 球 43R3 43(62)36,故填6.三、解答题（本大题共 6 道题，其中 17 题 10 分，其余每题 12 分，共计 70 分，请将准确的答案写在答题卡相应的区域内.）17.【答案】（1）见解析；（2

17、）1242nnSn 【解析】（1）由题意，数列 na满足12a ，所以142a 又因为124nnaa，所以142824nnnaaa，即1424nnaa，所以4na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得42nna，即24nna，所以 22122424242224nnnnSaaan 12 1 242241 2nnnn，即1242nnSn 18.【答案】（1）证明见解析；（2）2613.【解析】(1)证明：如图，连接1BC，设1BC 与1BC 相交于点 O，连接 OD.四边形11BCC B 是平行四边形 点 O 为1BC 的中点 D 为 AC 的中点，O

18、D 为1ABC的中位线，1/ODAB OD 平面1BC D，1AB 平面1BC D，1/AB平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB为1AB 与 BD所成的角或其补角 在 Rt ABC中，D 为 AC 的中点，则1322ACBD 同理可得，132OB 在 OBD中，22226cos213ODBDOBODBOD BD 1AB与 BD 所成角的余弦值为2613.19.【答案】（）19；（）选择方案三最“优”，理由见解析【解析】（）该混合样本阴性的概率为：22 2839，根据对立事件原理，阳性的概率为：811 99（）方案一：逐个检验，检验次数为4 方案二：由（）知，每组2 个样本检验时，若阴性

19、则检验次数为1，概率为 89；若阳性则检验次数为3，概率为 19，设方案二的检验次数记为，则 的可能取值为2,4,6，28642981P；12181649981PC；11169981P ，则 的分布列如下：2 4 6 P 6481 1681 181 可求得方案二的期望为 6416119822246818181819E 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为1，5，42 2641381P，6417518181P ，则 的分布列如下：1 5 P 6481 1781 可求得方案三的期望为 641714915818181E 比较可得 4EE，故选择方案三最“优”20.【答案】（1）

20、2212xy；（2）3k 或3.【解析】解：（1）由离心率 e22ca，则 a2c，直线 AF 的斜率 k020c 2，则 c1，a2，b2a2c21，椭圆 E 的方程为2212xy；（2）设直线 l：ykx 3，设 M（x1，y1），N（x2，y2），则22312ykxxy，整理得：（1+2k2）x24 3 kx+40，（4 3 k）244（1+2k2）0，即 k21，x1+x224 31 2kk，x1x2241 2k，2222212121224118 2114127kkMNkxxkxxx xk，即421732570kk,解得：23k 或 1917（舍去）k 3，21.【答案】（1）见解析（

21、2）见解析【解析】（1）1xfxae，当0a 时，0fx，则 f x 在 R 上单调递增 当0a 时，令 0fx，得1lnxa，则 f x 的单调递增区间为1,lna，令 0fx，得1lnxa，则 f x 的单调递减区间为1ln,a（2）证明：由 0f x 得1xxae，设 1xxg xe，则 2xxgxe 由 0gx，得2x；由 0gx，得2x 故 2min120g xge 的最小值 当1x 时，0g x，当1x 时，0g x，不妨设12xx，则121,2,2,xx，124xx等价于214xx，142x且 g x2,上单调递增，要证：124xx，只需证 214g xgx，12g xg xa，

22、只需证 114g xgx，即1111413xxxxee，即证12411310 xexx；设 2431,1,2xh xexxx，则 24 251xh xex，令 m xh x，则 2442xm xex，1,2,0 xm x，m x在1,2 上单调递减，即 h x在1,2 上单调递减，20h xh，h x在1,2 上单调递增，1241120,310 xh xhexx，从而124xx得证 22.【答案】（1），（2）x+2y40【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为 C 的普通方程（2）将代入，整理得（4sin2+cos2）t2+（4cos+8sin）t80 由 P 为 AB 的中点，则 cos+2sin0，即，故，即，所以所求的直线方程为 x+2y40 23.【答案】(1)m1(2)13【解析】（1）f(x)|x1|x|由 f(x)的单调性可知，当 x1 时，f(x)有最大值 1 所以 m1（2）由（1）可知，ab1，()(b1)(a1)a2b2 (a2b22)(ab)2 当且仅当 ab时取等号 即的最小值为