（全国卷）2014届高考数学（文）专题阶段评估模拟卷5 WORD版含解析.doc

1、专题阶段评估(五)解析几何【说明】本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入答题格内，第卷可在各题后直接作答，共 150 分，考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为()Axy10Bxy0Cxy10Dxy02已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的离心率为 3，则双曲线的渐近线方程为()Ay 22 xBy 2xCy2xDy12x3(2013陕西卷

2、)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定4已知双曲线x2a2y2b21 和椭圆x2m2y2b21(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m 为边长的三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角或钝角三角形5圆 x2y2ax20 与直线 l 相切于点 A(3,1)，则直线 l 的方程为()A2xy50Bx2y10Cxy20Dxy406已知 kR，则直线 yk(x1)2 被圆 x2y22x2y0 截得的弦长的最小值为()A.2B1C2 2D27(2013广东省惠州市调研)已知双曲线x2a2y2b21(

3、a0，b0)的一个焦点与抛物线 y24 10 x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 103，则该双曲线的方程为()Ax2y291Bx2y215Cx29y21Dx29y2918(2013深圳市调研)已知抛物线 y22px(p0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线交于一点 M(1，m)，点 M 到抛物线焦点的距离为 3，则双曲线的离心率等于()A3B4C13D149(2013山东卷)过点(3,1)作圆(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线AB 的方程为()A2xy30B2xy30C4xy30D4xy3010(2013安徽省“江南十校”联考)已知直线 l 过抛物线

4、 y24x 的焦点 F，交抛物线于A、B 两点，且点 A、B 到 y 轴的距离分别为 m，n，则 mn2 的最小值为()A4 2B6 2C4D611(2013全国卷)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361Bx236y2271Cx227y2181Dx218y29112过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F(c,0)(c0)作圆 x2y2a24 的切线，交双曲线右支于点 P，切点为 E，若OE 12(OF OP)，则双曲线的离心率为()A.

5、10B 105C 102D 2第卷(非选择题 共 90 分)题 号第卷第卷总分二171819202122得 分二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中的横线上)13已知直线 l1：axy2a10 和 l2：2x(a1)y20(aR)，则 l1l2 的充要条件是 a_.14在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为_15(2013广州市调研)圆 x2y22x4y150 上到直线 x2y0 的距离为 5的点的个数

6、是_16已知双曲线x2y231的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1 PF2的最小值为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知圆 C 经过点 A(2,0)，B(0,2)，且圆心 C 在直线 yx 上，又直线 l：ykx1 与圆 C 相交于 P、Q 两点(1)求圆 C 的方程；(2)若OP OQ 2，求实数 k 的值18.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：yx 的一个交点的横坐标为 8.(1)求抛物线 C 的方程；(2)不过原点

7、的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A、B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|PB|，求FAB 的面积19(本小题满分 12 分)(2013北京东城期末)已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F(0，2)，且长轴长与短轴长的比是 21.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若椭圆 C 上在第一象限的一点 P 的横坐标为 1，过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA，PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A，B，求证：直线 AB 的斜率为定值20(本小题满分 12 分)(2013广东湛江二模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F(c,0)(1)若双曲线的一

8、条渐近线方程为 yx 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 3，求双曲线的离心率21(本小题满分 13 分)(2013皖南八校三模)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，点F2(c,0)到直线 l：xa2c 的距离为 3.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且OA OB，求出该圆的方程22(本小题满分

9、13 分)(2013开封第一次模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，其左、右焦点分别是 F1、F2，过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 E、G 两点，且EGF2的周长为 4 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B，设 P 为椭圆上一点，且满足OA OBtOP(O 为坐标原点)，当|PAPB|2 53 时，求实数 t 的取值范围详解答案一、选择题1A 由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl 1kPQ 142131，又因为直线 l 经过 PQ 的中点(2,3)，所以直线 l 的方程为 y3x2，即 xy

10、10.2A 由题意得，双曲线的离心率 eca 3，故ab 22，故双曲线的渐近线方程为 y 22 x，选 A.3B 由题意知点在圆外，则 a2b21，圆心到直线的距离 d1a2b21，故直线与圆相交4B 双曲线x2a2y2b21 的离心率 e11b2a2，椭圆 x2m2y2b21 的离心率 e21b2m2，则1b2a21b2m21，即 m2a2b2.5D 由已知条件可得 32123a20，解得 a4，此时圆 x2y24x20 的圆心为 C(2,0)，半径为 2，则直线 l 的方程为 y1 1kAC(x3)x3，即 xy40，故应选 D.6D 因为直线 yk(x1)2 过定点 A(1,2)，而该

11、点与圆心(1,1)的距离为 1，已知当定点 A(1,2)为弦的中点时，其弦长最短，其值为 2 r2d22 212.7C 由已知可得抛物线 y24 10 x 的焦点坐标为(10，0)，a2b210.又双曲线的离心率 e 10a 103，a3，b1，双曲线的方程为x29y21.故选 C.8A 点 M 到抛物线焦点的距离为p213，p4，抛物线方程为 y28x，m28.双曲线的渐近线方程 ybax，两边平方得 y2b2a2x2，把(1，m)代入上式得 8b2a2，即 b28a2.双曲线的离心率 eca a2b2aa28a2a23.9A 设 P(3,1)，圆心 C(1,0)，切点为 A、B，则 P、A

12、、C、B 四点共圆，且 PC 为圆的直径，四边形 PACB 的外接圆方程为(x2)2y12254，圆 C：(x1)2y21，得 2xy30，此即为直线 AB 的方程10C 因为 mn2(m1)(n1)表示点 A、B 到准线的距离之和，所以 mn2表示焦点弦 AB 的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的长度，所以 mn2 的最小值为 4.11D 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.得x1x2x1x2a2y1y2y1y2b2，y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2.x1x22，y1y22，kABb2a2.而 kAB013112，b2a21

13、2，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3 2，E 的方程为x218y291.12C 如图所示，设 F为双曲线的右焦点，连接 PF，由题意，知 OEPF，|OE|a2，又因为OE 12(OF OP)，所以 E 为 PF 中点，所以|OP|OF|c，|EF|c2a24.所以|PF|2c2a24.又因为|OF|OF|，|EF|PE|，所以 PFOE，|PF|2|OE|a.因为|PF|PF|2a，所以 2c2a24 a2a，即 c 102 a，故 eca 102.二、填空题13解析：l1l2 的充要条件是 2a(a1)0，解得 a13.答案：1314解析：设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0

14、)，因为 AB 过 F1 且 A，B 在椭圆上，如图，则ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，解得 a4.又离心率 eca 22，故 c2 2.所以 b2a2c28，所以椭圆 C 的方程为x216y281.答案：x216y28115.解析：圆的方程 x2y22x4y150 化为标准式为(x1)2(y2)220，其圆心坐标为(1，2)，半径 r2 5，由点到直线的距离公式得圆心到直线 x2y0 的距离 d|122|1222 3 55，如图所示，圆到直线 x2y0 的距离为 5的点有 4 个答案：416解析：由题可知 A1(1,0)，F2(2,0)，设

15、 P(x，y)(x1)，则PA1(1x，y)，PF2(2x，y)，PA1 PF2(1x)(2x)y2x2x2y2x2x23(x21)4x2x5，x1，函数 f(x)4x2x5 的图象的对称轴为 x18，当 x1 时，PA1 PF2 取最小值2.答案：2三、解答题17解析：(1)设圆心 C(a，a)，半径为 r.因为圆 C 经过点 A(2,0)，B(0,2)，所以|AC|BC|r，易得 a0，r2，所以圆 C 的方程是 x2y24.(2)因为OP OQ 22cosOP，OQ 2，且OP 与OQ 的夹角为POQ，所以 cosPOQ12，POQ120，所以圆心 C 到直线 l：kxy10 的距离 d

16、1，又 d1k21，所以 k0.18解析：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，822p8，2p8，抛物线方程为 y28x.(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设 l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点为 M.由y28xxym 得 y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2y1y2264 m2.由题意可知 OAOB，即 x1x2y1y2m28m0，m8 或 m0(舍)，l2：xy8，M(8,0)，故 SFABSFMBSFMA12|FM|y1y2|3y1y224y1y224 5.19.解析：(1)设椭圆 C 的方程为

17、y2a2x2b21(ab0)由题意得a2b2c2，ab 21，c 2，解得 a24，b22.所以椭圆 C 的方程为y24x221.(2)证明：由题意知，两直线 PA，PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 k.又由(1)知，P(1，2)，则直线 PB 的方程为 y 2k(x1)由y 2kx1，y24x221，得(2k2)x22k(2k)x(2k)240.设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xB1xBk22 2k22k2，同理可得 xAk22 2k22k2，则 xAxB4 2k2k2，yAyBk(xA1)k(xB1)8k2k2.所以 kAByAyBxAxB 2为定值20解析：(1)双曲线

18、的渐近线为 ybax，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为x22y221.(2)设点 A 的坐标为(x0，y0)，直线 AO 的斜率满足y0 x0(3)1，x0 3y0.依题意，圆的方程为 x2y2c2，将代入圆的方程得 3y20y20c2，即 y012c，x0 32 c，点 A 的坐标为32 c，c2，代入双曲线方程得34c2a2 14c2b2 1，即34b2c214a2c2a2b2，又a2b2c2，将 b2c2a2 代入式，整理得34c42a2c2a40，3 ca48 ca240，(3e22)(e22)0，e1，e 2，双曲线的离心率为 2.21解析：(1)由题知 2|F1

19、F2|MF1|MF2|，即 22c2a，得 a2c.又由a2c c3，解得 c1，a2，b 3.椭圆 E 的方程为x24y231.(2)假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件()若圆的切线的斜率存在，并设其方程为 ykxm，则 r|m|k21，r2 m2k21，由x24y231，ykxm消去 y，整理得(34k2)x28kmx4(m23)0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，有x1x2 8km34k2，x1x24m2334k2.又OA OB，x1x2y1y20，即 4(1k2)(m23)8k2m23m24k2m20，化简得 m2127(k21)，由求得 r2127.所求圆的方程为 x2

20、y2127.()若 AB 的斜率不存在，设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)，OA OB，OA OB 0，有x21y210，x21y21，代入x214y2131，得 x21127.此时仍有 r2|x21|127.综上，总存在以原点为圆心的圆 x2y2127 满足题设条件22解析：(1)由题意知椭圆的离心率 eca 22，e2c2a2a2b2a212，即 a22b2.又EGF2 的周长为 4 2，即 4a4 2，a22，b21.椭圆 C 的方程为x22y21.(2)由题意知直线 AB 的斜率存在，即 t0.设直线 AB 的方程为 yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y

21、)，由ykx2x22y21，得(12k2)x28k2x8k220.由 64k44(2k21)(8k22)0，得 k212.x1x2 8k212k2，x1x28k2212k2，OA OB tOP，(x1x2，y1y2)t(x，y)，xx1x2t8k2t12k2，yy1y2t1tk(x1x2)4k4kt12k2.点 P 在椭圆 C 上，8k22t12k2224k2t12k222，16k2t2(12k2)|PAPB|2 53，1k2|x1x2|2 53，(1k2)(x1x2)24x1x2209，(1k2)64k412k2248k2212k2 209，(4k21)(14k213)0，k214.14k212.16k2t2(12k2)，t2 16k212k28812k2，又3212k22，83t28812k24，2t2 63 或2 63 t2，实数 t 的取值范围为2，2 632 63，2.