（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学1月联考试题（丙卷）文（含解析）.doc

1、-1-（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 1 月联考试题（丙卷）文（含解析）一、选择题（每小题 5 分）.1设复数 z 的共轭复数为，i 为虚数单位，复数 z 在复平面内对应的点为（3，4），则（）A B C D 2已知全集为 R，集合 Ax|2x3，Bx|log2（x+3）2，则 A（RB）（）Ax|1x2 Bx|1x3 Cx|1x2 Dx|1x3 3PM2.5 是评估空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 月均值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3之间空气质量为二级，在 75g/m3以上空气质量为超标某地区 2

2、020 年 1 月至 12 月的 PM2.5月均值（单位：g/m3）的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是（）A该地区一年中空气质量超标的月份只有 1 个月 B该地区一年中 PM2.5 月均值 2 月到 7 月的方差比 8 月到 11 月的方差大 C该地区上半年中 PM2.5 月均值的平均数约为 61.83 D该地区从 2 月份到 7 月份 PM2.5 值持续增加 4已知 tan，则 sin（2）的值为（）A B C27 D 5已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn+12Sn1（nN*），a11，则 S7（）A255 B63 C128 D127 -2-6已知 aln，bloge，clo

3、g，则下列不等关系正确的是 aba+bb+cacb+cbcacbcb+cb+caba+b（）A B C D 7已知双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1（1，0），F2（1，0），过点 F2的直线与 C 交于 A，B 两点，且满足|AF1|AB|，则 C 的离心率为（）A2 B C D2 8已知函数 f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则以下说法错误的是（）A将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数 g（x）的图象关于原点对称 B函数 f（x）在区间0，上为减函数 C由 g（x）cos2x 的图象向右平移个单位长度可以得到 f（x）的图象 D点（，0）是函数 f（x）图象的

4、一个对称中心 9从 4 名男同学和 3 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出 2 名同学中恰好有 1男 1 女同学的概率是（）A B C D 10如图，二面角 l 为 60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2BC，l平面 ABD，则直线 AB 与 所成的角为（）A45 B60 C90 D30 11某几何体的三视图如图所示（网格纸的小正方形的边长是 2），则该多面体的外接球体积为（）-3-A24 B16 C12 D32 12在平面直角坐标系中，有定点 M（1，1），F（1，0），动点 P 满足，记动点 P 的轨迹为 C，过 F（1，0）且斜率为 k 的直线与 C 交

5、于 A，B 两点，若0，则ABM 面积 S 的值为（）A B C D 二、填空题（每小题 5 分）.13已知单位向量，满足|+2|2，则 的值为 14已知 O 是坐标原点，点 P（1，2），若点 Q（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值为 15已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x（，0时，f（x）2x+，设 h（x）sinx，若函数 g（x）f（x）h（x），则 g（x）在区间2020，2019上的零点个数为 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 a2+b2c2+ab若 b4，且ABC为锐角三角形，则ABC 面积的取值范围为 三、解答题：共 70

6、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17设正项数列an的前 n 项和为 Sn（nN*），且满足 an+1 是 4，Sn+4 的等比中项（）求an的通项公式；（）设 bn，求bn的前 n 项和 Tn 18为打造“四态融合、产村一体”望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在 20122018 年中任选 5 年接待游客人数 y（单位：万人）的数据-4-如表：年份 2012 2013 2015 2017 2018 年份代号 x 2 3 5 7

7、8 接待游客人数y 3 3.5 4 6.5 8（）根据数据说明变量 x，y 是正相关还是负相关；（）求相关系数 r 的值，并说明年份与接待游客数相关性的强与弱；（）分析 2012 年至 2018 年该景区农家乐接待游客人数 y 的变化情况，利用最小二乘法求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测该景区农家乐 2020 年接待游客人数约为多少万人（精确到小数点后 2 位数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数 r 的公式分别为，r，一般地，当 r的绝对值大于 0.75 时认为两个变量之间有很强的线性关系 19如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC

8、是边长为 2 的等边三角形，BB14，E 为棱 A1C1的中点，F 为棱 A1B1的中点，BC1B1CO（）证明：A1B平面 EFO；（）求三棱锥 B1A1CC1的体积 20在平面直角坐标系中，已知点 A（2，t），B（2，t+），若点 P 同时满足：PAB 的面积为 S1，以 P 为圆心的圆过点 F（2，0），且圆 P 的面积为 S2，若 S1（）求 P 的轨迹 E 的方程；（）若过 F 的直线 l 与 E 交于 M，N 两点，点 Q（2，0），求证：-5-21已知函数 f（x）xex+a（x2+2x+1），aR（）求 f（x）的单调区间；（）若 a1，存在非零实数 m，n，满足 f（m）f

9、（n）0，证明：|mn|2（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过定点（1，1），倾斜角为以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 22cos4sin+40（）求 l 的参数方程和 C 的直角坐标方程；（）设 l 与 C 的交点为 M，N，求CMN 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）2sinx+|a1|+|a2|（）若 f（）7，求 a 的取值范围

10、；（）若 a0，在（）的条件下，记 a 的最小正整数为 m，且正实数 b，c，d 满足 b+c+dm，证明：-6-参考答案 一、选择题（每小题 5 分）.1设复数 z 的共轭复数为，i 为虚数单位，复数 z 在复平面内对应的点为（3，4），则（）A B C D 解：复数 z 在复平面内对应的点为（3，4），则 z3+4i，34i，则i，故选：B 2已知全集为 R，集合 Ax|2x3，Bx|log2（x+3）2，则 A（RB）（）Ax|1x2 Bx|1x3 Cx|1x2 Dx|1x3 解：由 log2（x+3）2 可得：0 x+34，3x1，集合 Bx|3x1，RBx|x3 或 x1，又集合 A

11、x|2x3，A（RB）x|1x3，故选：D 3PM2.5 是评估空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 月均值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3之间空气质量为二级，在 75g/m3以上空气质量为超标某地区 2020 年 1 月至 12 月的 PM2.5月均值（单位：g/m3）的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是（）-7-A该地区一年中空气质量超标的月份只有 1 个月 B该地区一年中 PM2.5 月均值 2 月到 7 月的方差比 8 月到 11 月的方差大 C该地区上半年中 PM2.5 月均值的平均数约为 61.83 D

12、该地区从 2 月份到 7 月份 PM2.5 值持续增加 解：对于 A，该地区一年中空气质量超标的月份只有 6 月份这 1 个月，选项 A 正确；对于 B，该地区 2 月到 7 月的数据为 55，45，56，65，68，82，53，8 月到 11 月的数据为 46，42，36，2 月到 7 月的数据波动性大些，所以方差大，选项 B 正确；对于 C，计算 16 月份的 PM2.5 月均值为（55+45+56+68+82+53）61.83，选项 C 正确；对于 D，该地区从 2 月份到 6 月份 PM2.5 值持续增加，7 月份减少，所以选项 D 错误 故选：D 4已知 tan，则 sin（2）的值

13、为（）A B C27 D 解：因为 tan，所以 sin（2）cos2 故选：A 5已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn+12Sn1（nN*），a11，则 S7（）-8-A255 B63 C128 D127 解：Sn+12Sn1，当 n2 时，Sn2Sn11，两式相减可得 an+12an，又 a11，a1+a22a11，a22，a22a1，an+12an（nN*），数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，S7271127 故选：D 6已知 aln，bloge，clog，则下列不等关系正确的是 aba+bb+cacb+cbcacbcb+cb+caba+b（）A B C D 解：因为

14、 aln1，bloge，clogloge，所以 ab1，a+b2，b+c0，即 b+caba+b，错误，正确；又 ac1，b+c0，bc，所以 acbcb+c，错误，正确 综上知，正确的序号是 故选：A 7已知双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1（1，0），F2（1，0），过点 F2的直线与 C 交于 A，B 两点，且满足|AF1|AB|，则 C 的离心率为（）A2 B C D2 解：由题意可得 A，B 为双曲线右支上的两点，可设|BF2|t，则|AF2|3t，|AF1|AB|4t，由双曲线的定义可得|AF1|AF2|t2a，则|AF1|8a，|AF2|6a，|BF2|2a，|BF1|4a，在

15、ABF1中，可得 cosF1AB，在AF2F1中，可得 cosF1AF2cosF1AB -9-，解得 a，所以 e2，故选：D 8已知函数 f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则以下说法错误的是（）A将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数 g（x）的图象关于原点对称 B函数 f（x）在区间0，上为减函数 C由 g（x）cos2x 的图象向右平移个单位长度可以得到 f（x）的图象 D点（，0）是函数 f（x）图象的一个对称中心 解：函数 f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，2，函数 f（x）sin（2x+）将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数 g

16、（x）sin（2x+）sin2x 的图象关于原点对称，故 A 正确；当 x0，2x+，故函数 f（x）在区间0，上为减函数，故 B正确；由 g（x）cos2x 的图象向右平移个单位长度可以得到 ycos（2x）的图象，故 C 错误；令 x，求得 f（x）0，可得点（，0）是函数 f（x）图象的一个对称中心，故 D正确，故选：C 9从 4 名男同学和 3 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出 2 名同学中恰好有 1男 1 女同学的概率是（）A B C D -10-解：从 4 名男同学和 3 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，基本事件总数 n21，选出 2 名同学中恰好有 1

17、男 1 女同学包含的基本事件个数 m12，则选出 2 名同学中恰好有 1 男 1 女同学的概率是 P 故选：B 10如图，二面角 l 为 60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2BC，l平面 ABD，则直线 AB 与 所成的角为（）A45 B60 C90 D30 解：l平面 ABD，AD、BD平面 ABD，lAD，lBD，又二面角 l 为 60，ADB60，设 BC，则 AE4，在 RtBCD 中，BCD45，BD1，在 RtADE 中，AED30，AD2，在ABD 中，由余弦定理知，AB2AD2+BD22ADBDcosADB4+12213，AB，AB2+BD2AD2，即 A

18、BBD，l平面 ABD，AB平面 ABD，lAB，又 lBDD，l、BD平面，AB平面，即直线 AB 与 所成的角为 90 故选：C 11某几何体的三视图如图所示（网格纸的小正方形的边长是 2），则该多面体的外接球体积为（）-11-A24 B16 C12 D32 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；如图所示：设外接球的半径为：（2R）242+42+42 解得 R2，所以：故选：D 12在平面直角坐标系中，有定点 M（1，1），F（1，0），动点 P 满足，记动点 P 的轨迹为 C，过 F（1，0）且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若0，则ABM 面积 S 的

19、值为（）A B C D 解：设 P（x，y），因为点 M（1，1），F（1，0），O（0，0），所以（1x，y），（1x，1y），（1，0），又，所以|1x|，所以（1x）2+y2（1+x）2，整理的 y24x，所以动点 P 的轨迹方程为 y24x，轨迹为抛物线，-12-设直线 AB 的方程为 yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得 k2x2（2k2+4）x+k20，则 x1+x22+x1x21 所以 y1+y2k（x1+x2）2k，y1y2k2（x11）（x21）k2x1x2（x1+x2）+14，因为0，所以（x1+1，y11）（x2+1，y21）x1x2+x1

20、+x2+1+y1y2（y1+y2）+11+2+14+10，整理得 k24k+40，解得 k2，所以直线 AB 的方程为 2xy20，点 M 到直线 AB 的距离 d，|AB|5，所以ABM 面积 S|AB|d 故选：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知单位向量，满足|+2|2，则 的值为 解：单位向量，满足|+2|2，可得4，1+4 +44 则 故答案为：14已知 O 是坐标原点，点 P（1，2），若点 Q（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值为 3 解：由约束条件作出可行域如图，-13-联立，解得 A（1，1），P（1，2），Q（x，y），令 zx2

21、y，化为 y，由图可知，当直线 y过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 3 故答案为：3 15已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x（，0时，f（x）2x+，设 h（x）sinx，若函数 g（x）f（x）h（x），则 g（x）在区间2020，2019上的零点个数为 4038 解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x（，0时，f（x）2x+，h（x）sinx，在同一坐标系中分别画出 yf（x）与 yh（x）的图像如图，在（0，2019）上，h（x）sinx 有 1009 个周期，故两个函数有 100922018 个交点，在2020，0）上，h（x）sinx 有 10

22、10 个周期，故两个函数有 101022020 个交点，故共有 2020+20184038 个交点，-14-即函数 g（x）f（x）h（x）在区间2020，2019上的零点个数为 4038，故答案为：4038 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 a2+b2c2+ab若 b4，且ABC为锐角三角形，则ABC 面积的取值范围为（2，8）解：因为 a2+b2c2+ab，可得 a2+b2c2ab，所以由余弦定理知 cosC，因为 C（0，），所以 C，所以 A+B，又ABC 是锐角三角形，所以，解得B，由正弦定理知，可得 c，所以ABC 面积 SbcsinA 4sin（

23、B）4 +2，因为B，所以 tanB，所以 2S8，故ABC 面积的取值范围为（2，8）故答案为：（2，8）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60-15-分。17设正项数列an的前 n 项和为 Sn（nN*），且满足 an+1 是 4，Sn+4 的等比中项（）求an的通项公式；（）设 bn，求bn的前 n 项和 Tn 解：（）由 an+1 是 4，Sn+4 的等比中项，可得（1+an）24（Sn+4），即 4Sn（an+1）216，当 n1 时，4a

24、14S1（a1+1）216，解得 a15（负的舍去）；当 n2 时，4Sn（an+1）216，则 4Sn1（an1+1）216，由可得 4an4Sn4Sn1（an+1）216（an1+1）2+16，化为 2（an+an1）（anan1）（an+an1），由 an0，可得 anan12，所以an是首项为 5，公差为 2 的等差数列，可得 an5+2（n1）2n+3；（）bn，所以 Tn1+1 18为打造“四态融合、产村一体”望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在 20122018 年中任选 5 年接待游客人数 y（单位：万人）的数据如表：年份 2012 2013

25、2015 2017 2018 年份代号 x 2 3 5 7 8 接待游客人数y 3 3.5 4 6.5 8（）根据数据说明变量 x，y 是正相关还是负相关；（）求相关系数 r 的值，并说明年份与接待游客数相关性的强与弱；（）分析 2012 年至 2018 年该景区农家乐接待游客人数 y 的变化情况，利用最小二乘法求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测该景区农家乐 2020 年接待游客人数约为多少万人（精确到小数点后 2 位数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数 r 的公式分别为-16-，r，一般地，当 r的绝对值大于 0.75 时认为两个变量之间有很强

26、的线性关系 解：（）由表中的数据可得，则0，由于变量 y 的值随着 x 的值增加而增加，故 x 与 y 之间时正相关；（）r，故年份与接待游客量相关性很强；（）因为 ，所以景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程为；当 x10 时，所以预测 2020 年该景区农家乐接待游客人数约为 9.04 万人 19如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，BB14，E 为棱 A1C1的中点，F 为棱 A1B1的中点，BC1B1CO（）证明：A1B平面 EFO；（）求三棱锥 B1A1CC1的体积 -17-【解答】（）证明：如图，连接 A1B，点 E 为棱 A1C

27、1的中点，点 F 为棱 A1B1的中点，EF 为A1B1C1的中位线，故 EFB1C1，又 BCB1C1，EFBC，同理 OF 是A1B1C 的中位线，故 OFA1C，又BCA1CC，EFOFF，故平面 A1BC平面 EFO，又 A1B平面 A1BC，A1B平面 EFO；（）解：由等体积法知，20在平面直角坐标系中，已知点 A（2，t），B（2，t+），若点 P 同时满足：PAB 的面积为 S1，以 P 为圆心的圆过点 F（2，0），且圆 P 的面积为 S2，若 S1（）求 P 的轨迹 E 的方程；（）若过 F 的直线 l 与 E 交于 M，N 两点，点 Q（2，0），求证：【解答】（）解：A

28、（2，t），B（2，t+），|AB|2，过点 P 作 PP垂直直线 x2 于点 P，则 S1|AB|PP|PP|，S2|PF|2，S1，|PP|PF|2，即|PP|PF|，-18-点 P 到点 F 的距离等于到直线 x2 的距离，即点 P 的轨迹 E 是以 F 为焦点，直线 x2 为准线的抛物线，故 P 的轨迹 E 的方程为 y28x（）证明：当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性知，SMFQSNFQ，|MQ|NQ|，成立；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk（x2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得 k2x2（4k2+8）x+4k20（k0），x1+x24+，x1x2

29、4，kQM+kQN0，kQMkQN，即MQFNQF，过点 F 作 FCQM 于 C，FDQN 于 D，则|FC|FD|，SMFQ|MQ|FC|，SNFQ|NQ|FD|，21已知函数 f（x）xex+a（x2+2x+1），aR（）求 f（x）的单调区间；（）若 a1，存在非零实数 m，n，满足 f（m）f（n）0，证明：|mn|2 解：（）由题意得 f（x）（x+1）（ex+2a），令 g（x）（x+1）（ex+2a），当 a0 时，g（1）0，-19-即当 x（，1）时，g（x）f（x）0，当 x（1，+）时，g（x）f（x）0，故 f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，当 a时，令 g（

30、x）f（x）0，则 x11，x2ln（2a），x1x2，故 f（x）在（，1）递增，在（1，ln（2a）递减，在（ln（2a），+）递增，当 a时，令 g（x）f（x）0，则 x11，x2ln（2a），x1x2，满足 g（x）f（x）0，故 f（x）在 R 上单调递增，当a0 时，令 g（x）f（x）0，则 x11，x2ln（2a），x1x2，故 f（x）在（，ln（2a）递增，在（ln（2a），1）递减，在（1，+）递增，综上：当 a0 时，f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，当a0 时，f（x）在（，ln（2a）递增，在（ln（2a），1）递减，在（1，+）递增，当 a时，f（x）在

31、 R 上单调递增，当 a时，f（x）在（，1）递增，在（1，ln（2a）递减，在（ln（2a），+）递增；（）证明：a1 时，f（x）xex+（x+1）2，由题意得 m，n 分别是 f（x）的零点，由（）得 f（x）在（1，+）上递增，在（，1）上递减，设 mn，易知 f（0）10，f（1）0，由零点存在性定理得1m0，f（2）10，由零点存在性定理得2n1，则 mn2，同理当 mn 时也成立，-20-综上：|mn|2（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标

32、系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过定点（1，1），倾斜角为以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 22cos4sin+40（）求 l 的参数方程和 C 的直角坐标方程；（）设 l 与 C 的交点为 M，N，求CMN 的面积 解：（）直线 l 经过定点（1，1），倾斜角为，转换为参数方程为（t为参数），圆 C 的极坐标方程为 22cos4sin+40，根据，转化为直角坐标法方程为（x1）2+（y2）21（）将直线的参数方程（t 为参数），代入到（x1）2+（y2）21，得到，所以，t1t24，故|MN|，圆心（1，2）到直线 MN 的距

33、离 d，所以 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）2sinx+|a1|+|a2|（）若 f（）7，求 a 的取值范围；（）若 a0，在（）的条件下，记 a 的最小正整数为 m，且正实数 b，c，d 满足 b+c+d-21-m，证明：解：（）因为 f（）7，所以 3+|a1|+|a2|7，即|a1|+|a2|4，等价为或或，解得 a或 a 或 a，所以 a 的取值范围是（，）（，+）；（）证明：由（）可得 m4，正实数 d，b，c 满足 b+c+d4，所以（d+b）+（d+c）+（b+c）8，（d+b）+（d+c）+（b+c）（+）3+（+）+（+）+（+）3+2+2+29，所以+，当且仅当 bcd时等号成立