（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学1月联考试题（丙卷）理（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 1 月联考试题（丙卷）理（含解析）一、选择题（每小题 5 分）.1设复数 z 的共轭复数为，i 为虚数单位，复数 z 在复平面内对应的点为（3，4），则下列等式错误的是（）Azi4+3i B（+1）i3+4i C|z|5 D 2已知全集为 R，集合 Ax|2x3，Bx|log2（x+3）2，则 A（RB）（）Ax|1x2 Bx|1x3 Cx|1x2 Dx|1x3 3记（x+y）6a0 x6+a1x5y+a2x4y2+a3x3y3+a4x2y4+a5xy5+a6y6，则 a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最大的数为（）A15 B20 C25

2、D30 4已知锐角，满足 sin（），则 sin（+）（）A B C D 5已知 2a3b6，clogab，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Bbac Ccba Dcab 6已知正项等差数列an和正项等比数列bn，a1b11，b3是 a2，a6的等差中项，a8是 b3，b5的等比中项，则下列关系成立的是（）Aa100b100 Ba1024b11 Ca10b5 Da99b9 7如图，二面角 l 为 60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2BC，l平面 ABD，则直线 AB 与 所成的角为（）A45 B60 C90 D30 8已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子

3、里，数了一下共有 7 个头，20 只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有 2 只兔子相邻走出房子的概率为（）A B C D 9执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）A2048 B1024 C2046 D4094 10已知三棱锥 PABC 中，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，AB，PA2，PABPAC，三棱锥 PABC 的体积为+1，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为（）A36 B32 C24 D16 11已知椭圆 E：的左、右焦点分别为 F1，F2（如图），过 F2的直线交E 于 P，Q 两点，且 PF1x 轴，|PF2|13|F2Q|，则 E 的离心率为（）A B C

4、 D 12已知函数 f（x），若x20，x10，使 f（x1）+f（x2）0 成立，则 a 的取值范围为（）A（，B，+）C（，D（，二、填空题（每小题 5 分）.13已知单位向量，满足|+2|2，则 与 2 夹角的余弦值为 14已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，且 3Sn+an+1+20，设 bn（1）nan，数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn 15已知双曲线 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 yx+m 与 C 交于 P，Q 两点，当|PQ|最小时，四边形 F1PF2Q 的面积为 16九章算术第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除给出了各种几何体体积公式外，还

5、有工程分配方法，其中题【十八】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？其中“刍甍”（ch mng）是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍 ABCDEF 如图所示，四边形 CDEF 为矩形，CD4，DE2，ABCD，ABCD，若该刍甍高（AB 到底面 CDEF 的距离）为 1，体积为，则 AB 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17已知ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 sin（AB）sinAsinC（

6、）求 B；（）若点 D 为 BC 上一点，DC2，C，DE 平分ADC 交 AC 于点 E，SADE，求 BD 18某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为 X（单位：元），XN（600，16），如图所示，经计算得 P（600X720）0.3（）求 P（X480）；（）根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出“消费金额每满 300 元减 30 元”和“消费金额每满 800 元减 90 元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，计划把去

7、年的用户按消费金额分成四组（0，480），480，600），600，720），720，+），用分层抽样抽取 10 位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查（）计算各组应抽的老用户数；（）为了了解用户对今年的两种优惠券的意见，确定两种优惠券的投放比例，从480，600），600，720）两组的幸运用户中随机抽取 3 人进行面对面访谈，记从480，600）一组中抽取的人数为，求 的分布列和数学期望 19已知三棱锥 PABC 中，PAPBPC1，三棱锥 QABC 中QAB，QBC，QCA 为全等的等边三角形，QA（）证明：PQ平面 ABC；（）求直线 QB 与平面 APQ 所成角的正弦值

8、20在平面直角坐标系中，已知点 A（2，t），B（2，t+），若点 P 同时满足：PAB 的面积为 S1，以 P 为圆心的圆过点 F（2，0），且圆 P 的面积为 S2，若 S1（）求 P 的轨迹 E 的方程；（）若过 F 的直线 l 与 E 交于 M，N 两点，点 Q（2，0），求证：21已知函数 f（x）lnx+mx2+（2m+1）x，其中 m0（）若 f（x）在区间（2，+）上单调递减，求 m 的取值范围；（）若不等式 f（x）n 对 x0 恒成立，证明：n3m0（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔

9、在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过定点（1，1），倾斜角为以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 22cos4sin+40（）求 l 的参数方程和 C 的直角坐标方程；（）设 l 与 C 的交点为 M，N，求CMN 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）2sinx+|a1|+|a2|（）若 f（）7，求 a 的取值范围；（）若 a0，在（）的条件下，记 a 的最小正整数为 m，且正实数 b，c，d 满足 b+c+dm，证明：参考答案 一、选择题（每小题 5 分）.1设

10、复数 z 的共轭复数为，i 为虚数单位，复数 z 在复平面内对应的点为（3，4），则下列等式错误的是（）Azi4+3i B（+1）i3+4i C|z|5 D 解：由已知可得 z3+4i，则 34i，所以 zi（3+4i）i4+3i，故 A 正确，（+1）i（34i+1）i（44i）i4+4i，故 B 错误，|z|，故 C 正确，故 D 正确，故选：B 2已知全集为 R，集合 Ax|2x3，Bx|log2（x+3）2，则 A（RB）（）Ax|1x2 Bx|1x3 Cx|1x2 Dx|1x3 解：由 log2（x+3）2 可得：0 x+34，3x1，集合 Bx|3x1，RBx|x3 或 x1，又集

11、合 Ax|2x3，A（RB）x|1x3，故选：D 3记（x+y）6a0 x6+a1x5y+a2x4y2+a3x3y3+a4x2y4+a5xy5+a6y6，则 a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最大的数为（）A15 B20 C25 D30 解：由题设可知：ai（i0，1，2，6），由二项式系数的性质可知：（ai）maxa320，故选：B 4已知锐角，满足 sin（），则 sin（+）（）A B C D 解：锐角，满足 sin（），cos（），sin（+），sin（+）sin（）+（+）sin（）cos（+）+cos（）sin（+）+故选：B 5已知 2a3b6，clogab，则 a，b，

12、c 的大小关系为（）Aabc Bbac Ccba Dcab 解：，0log62log631，即 ab1，clogablogaa1，cba 故选：C 6已知正项等差数列an和正项等比数列bn，a1b11，b3是 a2，a6的等差中项，a8是 b3，b5的等比中项，则下列关系成立的是（）Aa100b100 Ba1024b11 Ca10b5 Da99b9 解：设正项等差数列an的公差为 d，d0，正项等比数列bn的公比为 q，q0，由 a1b11，b3是 a2，a6的等差中项，即为 2b3a2+a6，a8是 b3，b5的等比中项，即 a82b3b5，由，解得，则 ann，bn2n1，由 a100b1

13、001002990，即 a100b100，故 A 错误；由 a10241024，b112101024，可得 a1024b11，故 B 正确；由 a1010，b52416，a10b5，故 C 错误；由 a9999，b928256，a99b9，故 D 错误 故选：B 7如图，二面角 l 为 60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2BC，l平面 ABD，则直线 AB 与 所成的角为（）A45 B60 C90 D30 解：l平面 ABD，AD、BD平面 ABD，lAD，lBD，又二面角 l 为 60，ADB60，设 BC，则 AE4，在 RtBCD 中，BCD45，BD1，在 RtA

14、DE 中，AED30，AD2，在ABD 中，由余弦定理知，AB2AD2+BD22ADBDcosADB4+12213，AB，AB2+BD2AD2，即 ABBD，l平面 ABD，AB平面 ABD，lAB，又 lBDD，l、BD平面，AB平面，即直线 AB 与 所成的角为 90 故选：C 8已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有 7 个头，20 只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有 2 只兔子相邻走出房子的概率为（）A B C D 解：设有鸡 x 只，兔子 y 只，则有：，解得 x4，y3，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，基本事件总数 n5040，恰有 2

15、 只兔子相邻走出房子包含的基本事件个数 m2880，则恰有 2 只兔子相邻走出房子的概率 P 故选：D 9执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）A2048 B1024 C2046 D4094 解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024 的值，故 S2+4+8+16+32+64+128+256+512+10242046，即输出的 S 的值为 2046 故选：C 10已知三棱锥 PABC 中，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，AB，PA2，PABPAC，三棱锥 PABC 的体积为+1，则三棱锥 PABC

16、 外接球的表面积为（）A36 B32 C24 D16 解：设 P 在底面上的投影为 Q，过 A 作 ADBC，垂足为 D，因为ABC 是等腰直角三角形，ABAC，AB，所以 SABC3，因为三棱锥 PABC 的体积 V+1，所以 PQ1+，因为PABPAC，所以 Q 在 AD 上，且 AD，因为 AQ，DQADAQ1，过 D 作 DG平面 ABC，过 P 作 PGDG，垂足为 G，则球心 O 在 DG 上，设 ODx，则 GGx，所以 R2OB2OD2+BD2OG2+GP2OP2，所以，解得 x1，R2，则三棱锥 PABC 外接球的表面积 S4R216 故选：D 11已知椭圆 E：的左、右焦点

17、分别为 F1，F2（如图），过 F2的直线交E 于 P，Q 两点，且 PF1x 轴，|PF2|13|F2Q|，则 E 的离心率为（）A B C D 解：过 Q 作 QH 垂直 x 轴，交 x 轴于 H，由题意可得，P（c，），PF1F2QHF2，|QH|，|HF2|，所以点 Q（），又点 Q 在椭圆上，即 225c2+b2169a2，又 b2a2c2，224c2168a2，故选：D 12已知函数 f（x），若x20，x10，使 f（x1）+f（x2）0 成立，则 a 的取值范围为（）A（，B，+）C（，D（，解：x20，x10，使得 f（x1）+f（x2）0 成立，函数 yf（x2）的值域是函

18、数 yf（x1）的值域的子集，当 x0 时，f（x）x2+x+1，f（x）1，f（x）1，yf（x）的值域为（，1，当 x0 时，2lnxax1 成立，即 a，设 g（x），则 g（x），当 x（0，）时，g（x）单调递增，当 x（，+）时，g（x）单调递减，g（x）maxg（），a，即 a（，故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知单位向量，满足|+2|2，则 与 2 夹角的余弦值为 解：，解得，与夹角的余弦值为：故答案为：14已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，且 3Sn+an+1+20，设 bn（1）nan，数列bn的前 n 项和为 Tn，则

19、 Tn 2n+12 解：依题意，由 3Sn+an+1+20，可得 3Sn1+an+20，两式相减，可得 3an+an+1an0，化简整理，得 an+12an，a12，数列an是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故 an2（2）n1（2）n，则 bn（1）nan（1）n（2）n2n22n1，数列bn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，Tn2n+12 故答案为：2n+12 15已知双曲线 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 yx+m 与 C 交于 P，Q 两点，当|PQ|最小时，四边形 F1PF2Q 的面积为 12 解：由，可得 x28mx（4m2+20）0，则64m2+4（4m2

20、+20）80（m2+1）0，设 P，Q 的横坐标分别为 x1，x2，可得 x1+x28m，x1x2（4m2+20），则|PQ|4，当且仅当 m0 时，|PQ|取得最小值 4，当|PQ|最小时，四边形 F1PF2Q 为平行四边形，由 F2（3，0）到直线 yx 的距离为 d，所以四边形 F1PF2Q 的面积为 d|PQ|412 故答案为：12 16九章算术第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除给出了各种几何体体积公式外，还有工程分配方法，其中题【十八】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？其中“刍甍”（ch mng）是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍 ABCDEF 如

21、图所示，四边形 CDEF 为矩形，CD4，DE2，ABCD，ABCD，若该刍甍高（AB 到底面 CDEF 的距离）为 1，体积为，则 AB 2 解：如图，平面 AGH 和平面 BJI 平行，都垂直于平面 ABCD，且 GHCD，设 ABx，CHm，IDn，x+m+n4，则几何体被分成两个四棱锥与一个三棱柱，三棱柱的体积为，两个四棱锥的体积和为，解得 x2 故答案为：2 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17已知ABC 中角 A，B，C 所对的

22、边分别为 a，b，c，满足 sin（AB）sinAsinC（）求 B；（）若点 D 为 BC 上一点，DC2，C，DE 平分ADC 交 AC 于点 E，SADE，求 BD 解：（I）因为 sin（AB）sinAsinC，所以 sinAcosBsinBcosAsinAsinAcosBsinBcosA，所以 2sinAcosBsinA，因为 sinA0，所以 cosB，因为 B 为三角形的内角，所以 B；（II）SADE，SCDE，CD2，所以 AD2，ACD 中，设 ACx，由余弦定理得 x2+44x28，即，解得 x4（舍），ABC 中，sinBACsin（），由正弦定理得 BCAC6+2，所

23、以 BD4+2 18某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为 X（单位：元），XN（600，16），如图所示，经计算得 P（600X720）0.3（）求 P（X480）；（）根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出“消费金额每满 300 元减 30 元”和“消费金额每满 800 元减 90 元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，计划把去年的用户按消费金额分成四组（0，480），480，600），600，720），720，+），用分

24、层抽样抽取 10 位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查（）计算各组应抽的老用户数；（）为了了解用户对今年的两种优惠券的意见，确定两种优惠券的投放比例，从480，600），600，720）两组的幸运用户中随机抽取 3 人进行面对面访谈，记从480，600）一组中抽取的人数为，求 的分布列和数学期望 解：（）根据正态分布的对称性可得，P（X480）0.2；（）（）根据正态分布的对称性可得，P（480X600）0.3，P（X720）0.2，所以从（0，480）一组中抽 100.22 人，从480，600）一组中抽 100.33 人，从600，720）一组中抽 100.33 人，从720

25、，+）一组中抽 100.22 人；（）由（i）可知，两组各有幸运用户 3 人，的所有可能取值为 0，1，2，3，所以 P（0），P（1），P（2），P（3），所以 的分布列为：0 1 2 3 P 所以 的数学期望为 E（）19已知三棱锥 PABC 中，PAPBPC1，三棱锥 QABC 中QAB，QBC，QCA 为全等的等边三角形，QA（）证明：PQ平面 ABC；（）求直线 QB 与平面 APQ 所成角的正弦值 解：（）证明：取 AB 的中点 D，连接 CD，在 CD 上取一点 M，使得 CM2MD，连接 PM，QM，PAPBPC1，ABBCCA，PAB，PBC，PCA 是全等的等腰直角三角形，

26、PCPA，PCPB，PAPBP，PA、PB平面 PAB，PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，PCAB，ABC 为等边三角形，CDAB，PCCDC，PC、CD平面 PCD，AB平面 PCD，PM平面 PCD，ABPM，同理可得，BCPM，ABBCB，AB、BC平面 ABC，PM平面 ABC，QDAB，CDAB，QDCDD，QD、CD平面 QCD，AB平面 QCD，QM平面 QCD，ABQM，同理可得，BCQM，ABBCB，AB、BC平面 ABC，QM平面 ABC，P，Q，M 三点共线，PQ平面 ABC （）由（）知，PC平面 PAB，PAPB，以 P 为原点，PA，PB，PC 所在直线分别为

27、 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，0），由（）知，AB平面 QCD，ABCQ，ABPD，且 P，C，D，Q 四点共面，CQPD，又 PC1，CQQA，Q（1，1，1），（1，0，1），（1，0，0），（1，1，1），设平面 APQ 的法向量为（x，y，z），则，即，令 z1，则 x0，y1，（0，1，1），设直线 QB 与平面 APQ 所成角为，则 sin|cos，|，故直线 QB 与平面 APQ 所成角的正弦值为 20在平面直角坐标系中，已知点 A（2，t），B（2，t+），若点 P 同时满足：PAB 的面积为 S1，以 P

28、为圆心的圆过点 F（2，0），且圆 P 的面积为 S2，若 S1（）求 P 的轨迹 E 的方程；（）若过 F 的直线 l 与 E 交于 M，N 两点，点 Q（2，0），求证：【解答】（）解：A（2，t），B（2，t+），|AB|2，过点 P 作 PP垂直直线 x2 于点 P，则 S1|AB|PP|PP|，S2|PF|2，S1，|PP|PF|2，即|PP|PF|，点 P 到点 F 的距离等于到直线 x2 的距离，即点 P 的轨迹 E 是以 F 为焦点，直线 x2 为准线的抛物线，故 P 的轨迹 E 的方程为 y28x（）证明：当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性知，SMFQSNFQ，|M

29、Q|NQ|，成立；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk（x2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得 k2x2（4k2+8）x+4k20（k0），x1+x24+，x1x24，kQM+kQN0，kQMkQN，即MQFNQF，过点 F 作 FCQM 于 C，FDQN 于 D，则|FC|FD|，SMFQ|MQ|FC|，SNFQ|NQ|FD|，21已知函数 f（x）lnx+mx2+（2m+1）x，其中 m0（）若 f（x）在区间（2，+）上单调递减，求 m 的取值范围；（）若不等式 f（x）n 对 x0 恒成立，证明：n3m0【解答】（）解：函数 f（x）lnx+mx2+（2m+1）x，

30、其中 m0，x0，f（x）+2mx+2m+1，令 f（x）0，得 x，因为 f（x）在区间（2，+）上单调递减，所以2，解得 m，即 m 的取值范围是（，（）证明：f（x）+2mx+2m+1，令 f（x）0，得 x，当 0 x时，f（x）0，f（x）是增函数；当 x时，f（x）0，f（x）是减函数，所以当 x时，f（x）取得极大值也是最大值，f（）ln（）+ln（）1 因为不等式 f（x）n 对 x0 恒成立，所以 f（）n，所以ln（）+（）2+成立，令 t0，g（t）tlnt+t2t，g（t）lnt+t，当 t0 时，g（t）是增函数，g（）1+0，g（1）10，所以存在 t0（0，1），

31、使 g（t0）lnt0+t00，当 0tt0时，g（x）0，g（t）是减函数；当 tt0时，g（x）0，g（t）是增函数；所以当 tt0时，g（t）取得极小值也是最小值，g（t0）t0lnt0+t02t0，又 lnt0t0，所以 g（t0）t02t0，则g（t0）成立，当 0t01 时，g（t0）是减函数，所以 g（t0）g（1），则，所以 n3m0（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过定点（1，1

32、），倾斜角为以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 22cos4sin+40（）求 l 的参数方程和 C 的直角坐标方程；（）设 l 与 C 的交点为 M，N，求CMN 的面积 解：（）直线 l 经过定点（1，1），倾斜角为，转换为参数方程为（t为参数），圆 C 的极坐标方程为 22cos4sin+40，根据，转化为直角坐标法方程为（x1）2+（y2）21（）将直线的参数方程（t 为参数），代入到（x1）2+（y2）21，得到，所以，t1t24，故|MN|，圆心（1，2）到直线 MN 的距离 d，所以 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）2sinx+|a1|+|a2|（）若 f（）7，求 a 的取值范围；（）若 a0，在（）的条件下，记 a 的最小正整数为 m，且正实数 b，c，d 满足 b+c+dm，证明：解：（）因为 f（）7，所以 3+|a1|+|a2|7，即|a1|+|a2|4，等价为或或，解得 a或 a 或 a，所以 a 的取值范围是（，）（，+）；（）证明：由（）可得 m4，正实数 d，b，c 满足 b+c+d4，所以（d+b）+（d+c）+（b+c）8，（d+b）+（d+c）+（b+c）（+）3+（+）+（+）+（+）3+2+2+29，所以+，当且仅当 bcd时等号成立