（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学1月联考试题（甲卷）文（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 1 月联考试题（甲卷）文（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A0，a，BxZ|x2x

2、20，若 AB0，1，则BA A.1，1 B.1，2 C.1，1，2 D.1，2 2.已知1 aiai0(i 为虚数单位)，则实数 a 等于 A.1 B.0 C.1 D.1 3.如图是某超市上一周不同品牌矿泉水销售量统计图，农夫山泉、娃哈哈、乐百氏、屈臣氏每箱利润分别为 12 元、8 元、10 元、13 元，则平均每箱矿泉水利润为 A.9 元 B.10 元 C.11 元 D.12 元 4.在 2000 年威尼斯世界建筑设计展览会上，方圆大厦成为亚洲唯一获奖的作品，获得“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着人驻大厦的业主财源广进

3、，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若将“内方”视为空心，其主视图和左视图如图所示，则其表面积为 A.90006600 B.90004800 C.90003000 D.90001800 5.已知不等式 ax3bx2cx20，且a，b，c1，0，2，则不等式为二次不等式的概率为 A.16 B.12 C.13 D.56 6.已知点 P 和ABC 满足AB APAPAC，且AQQP，则BQ A.31ABAC44 B.13ABAC44 C.31ABAC44 D.13ABAC44 7.已知数列an中，a11，nn 1n 1naaaa1(nN*)，若1a10m，则 m A.8 B.9 C

4、.10 D.11 8.执行如图所示的程序框图，则输出的 n A.19 B.21 C.23 D.25 9.已知，(0，)，cos(2)55，tan()7，则 tan A.3 B.139 C.3 D.139 10.已知点 M(3，15)是椭圆22221(0)xyabab上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若MF1F2为等腰三角形，则该椭圆的离心率为 A.23 B.1024 C.12或 23 D.23或 1023 11.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，且 ABAC33BD，E 为 CD 的中点，则下列说法不正确的是 A.BD平面 PAC B.平面

5、 PAB平面 PAE C.若 F 为 PB 的中点，则 CF/平面 PAE D.若 PAAB2，则直线 PB 与平面 PAC 所成角为 3 12.已知奇函数 f(x)的定义域为x|xR 且 x0，且有 f(3x)3f(x)，f(1)1，当 x1x20时，(x1x2)(123312f(x)f(x)xx)0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2沿倾斜角 120出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为 。16.各项均为正数的等比数列an，满足 lga2lga3lga4，且 a2，a31，a4成等差数列，数列bn满足 b11，数列(bn1bn)an的前 n

6、 项和 Snn2，则 bn 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b(cosC33sinC)a。(I)求角 B 的值；(II)若 c 2，c2a2b2 2 ab，求ABC 的面积。18.(12 分)如图，在四棱锥 EABCD 中，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 是边长为 2 的正三角形，且平面 ECD平面 ABCD，M 为 ED 的中点。(I)求证：直

7、线 MN/平面 EAB；(II)求三棱锥 CBDE 的体积。19.(12 分)20152019 年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢。根据中国节能协会发布的2019 节能服务产业发展报告，截至 2019 年底，全国从事节能服务的企业数量统计如表所示：(I)作出散点图，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系；(II)令 xt2017，求 y 关于 x 的回归直线方程；(III)预测 2021 年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？附：回归直线 ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx

8、ynx ybaybxxxxnx。20.(12 分)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知直线 l1：mxy2m0，圆 E：x2y22x4y40。(I)设直线 l1与圆 E 的交点分别为 P，Q，求当|PQ|取得最小值时，直线 l1的方程；(II)若抛物线过圆 E 的圆心，直线 l1，l2过同一定点且与抛物线相交于 A，B 和 C，D 点，l1l2，设 M 是 AB 的中点，N 是 CD 的中点，证明：直线 MN 恒过定点。21.(12 分)已知函数 f(x)lnx 12ax2(al)x。(I)讨论函数 f(x)的极值；(II)若 g(x)(x1)(f(x)12ax2ax)x21，证明：

9、函数 g(x)有且仅有两个零点 x1，x2，且 x1x2l。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为3 13xt1132 13yt13 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 与极轴交于点 N，且动点 M 满足|MN|1。(I)求直线 l 的极坐标方程和点 M 的轨迹的极坐标方程 C；(II)若直线 4(R)分别交直线 l、曲线 C 于点 A，B(非极点)，求11OAOB的值。23.选修 45：不等式选讲(10 分)设函数 f(x)|x1|x1|。(I)求不等式 f(x)3 的解集；(II)若 f(x)xt 对任意 xR 恒成立，求实数 t 的取值范围。