（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学1月联考试题（甲卷）理（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 1 月联考试题（甲卷）理（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡。上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 AxR|2x10，则 A

2、B A.(1，2)B.(1，2)C.(2，)D.1，2 2.已知1 aiai0(i 为虚数单位)，则实数 a 等于 A.1 B.0 C.1 D.1 3.若2tan71 tan48 ，(2，)，则 sin(4)A.35 B.35 C.45 D.45 4.如图，大正方形 ABCD 边长为 8，其内有一心形曲线，由两个半圆和关于对称轴 EF 对称的两段半个周期上的余弦曲线围成，且余弦曲线两端点恰为曲线的最高点和最低点，则在大正方形 ABCD 内任取一点，该点取自心形曲线内部的概率为 A.38 B.58 C.616 D.1632 5.若定义在 R 上的函数 f(x)在(，1上单调递减。若 f(x)f(

3、2x)，且 f(4)0，则不等式 f x3x0 的解集为 A.4，13，)B.4，1(0，1 C.4，02，)D.1，0)5，)6.已知非零向量 a，b 满足|a|b|ab|1，c2ab，则 cos A.0 B.12 C.32 D.13 7.如图，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体侧面，从 A 到 B 的最短路径长为 A.2 2 B.3 C.4 D.8.为了落实“精准扶贫”工作，某市抽调 4 名工作人员，去 A，B，C 三个贫困村开展驻点帮扶。若每个村至少去 1 人，则不同的分配方法种数为 A.24 B.36 C.42 D.48 9.已知数列an中，a11，nn 1n 1naaaa1(

4、nN*)，若1a10m，则 m A.8 B.9 C.10 D.11 10.在由三棱柱截得的几何体 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，AB 上 AC，AA12，BB1CC11，AC2，点 D，E，F 分别是棱 B1C1，A1C1，BB1的中点。若直线 A1D 与 EF 所成角的余弦值为39，则 AB A.1 B.2 C.2 D.4 11.已知抛物线 y28x 的焦点为 F，过点 F 斜率为 3 的直线 l 交该抛物线于 A，B(A 在第一象限)，直线 l 与圆 x2y24x30 交于点 C，D(C 在第一象限)，O 为坐标原点，则OAC 与OBD 的面积之比为 A.8：3 B.5：3 C

5、.21：5 D.7：1 12.已知函数 f(x)是定义域为(，0)(0，)的偶函数。当 x0 时，函数 f(x)1 x1x1 0 x2x22x2，若关于 x 的方程 f2(x)af(x)b0(a，bR)有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 A.(，52)B.(，2)C.(x，32)D.(2，52)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.在声学中，用声压水平(单位：分贝)来度量声音的强弱，定义为 Lp20lg0pp。其中，p0是听觉下限阈值 20 Pa，p 是实际声压。假设第一次测得声音的强度是 10 分贝，第二次测得声音的强度是 100 分贝，则第二次

6、与第一次的声压比值约为 。(104.531623，3 102.1544，2 1.414，5 2.2361)14.设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a6a2a5，S37，设1niiaa1a2an，则1021logiia的值为 。15.如图所示，直角三角形的三边勾股弦的长分别为 a，b，c，以边长为 a，b，c 的三边分别向外作相似的图形，其面积分别为 S2，S3，S1。试猜想这些图形的面积 S1，S2，S3满足的关系式为 。16.双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。已知双曲线 E：22221xyab(a0，b

7、0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2沿倾斜角 120出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)20152019 年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢。根据中国节能协会发布的2019 节能服务产业发展报告，截至 2019 年底，全国从事节能服务的企业数量统计如表所示：(I)作出散点图，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与

8、时间的相关关系；(II)令 xt2017，求 y 关于 x 的回归直线方程；(III)预测 2021 年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？附：回归直线 ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式为 1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybaybxxxxnx。18.(12 分)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 4ccos22B b2(abcosAacosB)。(I)求 C；(II)若 c4，求ABC 的面积的最大值。19.(12 分)已知五边形 PABCD 是平面图形(如图 1)，四边形 ABCD 是矩形，PAPD，PAPD

9、。现在沿 AD 折叠PAD，使得PAB90，得到四棱锥 PABCD(如图 2)。(I)求证：PD平面 PAB；(II)若二面角 APBC 的余弦值为23，求 ABBC的值。20.(12 分)已知椭圆 E：22221(0)xyabab与圆 x2y22 相切于长轴的端点，且离心率为22。(I)求椭圆 E 的方程；(II)已知 F 是椭圆 E 的右焦点，设ABC 的顶点 A，B 在椭圆上，角 C 的平分线与 x 轴重合，若ABAF，且 AB 与 x 轴不垂直，求点 C 的坐标。21.(12 分)已知函数 f(x)ex2x。(I)当 xcosx；(II)若函数 g(x)f(x)cosxln(x1)，试

10、问：函数 g(x)是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为3 13xt1132 13yt13 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 与极轴交于点 N，且动点 M 满足|MN|1。(I)求直线 l 的极坐标方程和点 M 的轨迹的极坐标方程 C；(II)若直线 4(R)分别交直线 l、曲线 C 于点 A，B(非极点)，求11OAOB的值。23.选修 45：不等式选讲(10 分)设函数 f(x)|x1|x1|。(I)求不等式 f(x)3 的解集；(II)若 f(x)xt 对任意 xR 恒成立，求实数 t 的取值范围。