（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十二）立体几何中的向量方法（理含解析）.doc

1、专题检测（十二）立体几何中的向量方法 大题专攻强化练1(2019全国卷)如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，求二面角 BECC1 的正弦值解：(1)证明：由已知得，B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1，B1C1EC1C1，所以 BE平面 EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEB45，故 AEAB，AA12AB.以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴正方向，|DA|为单位长度

2、，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，则 C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，CB(1，0，0)，CE(1，1，1)，CC1(0，0，2)设平面 EBC 的法向量为 n(x1，y1，z1)，则CBn0，CEn0，即x10，x1y1z10，所以可取 n(0，1，1)设平面 ECC1 的法向量为 m(x2，y2，z2)，则 CC1 m0，CEm0，即2z20，x2y2z20，所以可取 m(1，1，0)于是 cosn，mnm|n|m|12.所以，二面角 B-EC-C1 的正弦值为 32.2.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，ABDC，AA11

3、，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)，侧棱 AA1底面 ABCD.(1)证明：CD平面 ADD1A1；(2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成的角的正弦值为67，求 k 的值解：(1)证明：如图，过点 B 作 BEAD，交 DC 于点 E，则四边形 ABED 是平行四边形，BEAD4k，DEAB3k.在BEC 中，因为 BC225k29k216k2EC2BE2，所以BEDC，ADDC.又侧棱 AA1底面 ABCD，所以 AA1DC.而 AA1ADA，所以 CD平面 ADD1A1.(2)如图，以点 D 为原点，以 DA，DC，DD1 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空

4、间直角坐标系 D-xyz.则 B1(4k，3k，1)，C(0，6k，0)，A(4k，0，0)，A1(4k，0，1)，所以AC(4k，6k，0)，AB1(0，3k，1)，AA1(0，0，1)设平面 AB1C 的法向量为 m(x，y，z)，则ACm0，ABm0，即4kx6ky0，3kyz0，令 y2，解得 x3，z6k，所以 m(3，2，6k)为平面 AB1C 的一个法向量 设平面 AB1C 与直线 AA1 所成的角为，则 sin|cosAA1，m|6k1336k2 67，解得 k1.3.已知四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是梯形，BCAD，ABAD，且 ABBC1，AD2，顶点 P 在

5、平面 ABCD 内的射影 H 在 AD 上，PAPD.(1)求证：平面 PAB平面 PAD；(2)若直线 AC 与 PD 所成角为 60，求二面角 A-PC-D 的余弦值解：(1)证明：PH平面 ABCD，AB平面 ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD平面 PAD，PH平面 PAD，AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.(2)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，PH平面 ABCD，z 轴PH.则 A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，设 AHa，PHh(0a2，h0)则 P(0，a，h)AP(0，a，h)，DP(0

6、，a2，h)，AC(1，1，0)PAPD，APDPa(a2)h20.AC 与 PD 所成角为 60，|cosAC，DP|a2|2（a2）2h212，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0a2，a1.h0，h1，P(0，1，1)AP(0，1，1)，AC(1，1，0)，PC(1，0，1)，DC(1，1，0)，设平面 APC 的法向量为 n(x1，y1，z1)，则nAP0，nAC0，即y1z10，x1y10，令 x11，得 y11，z11，平面 APC 的一个法向量为 n(1，1，1)，设平面 DPC 的法向量为 m(x2，y2，z2)则mPC0，mDC0，即x2z20，x2y20，令 x21，得

7、y21，z21，平面 DPC 的一个法向量为 m(1，1，1)cosm，nmn|m|n|13.二面角 A-PC-D 的平面角为钝角，二面角 A-PC-D 的余弦值为13.4.(2019安徽五校联盟第二次质检)如图，在五面体 ABCDFE 中，底面 ABCD 为矩形，EFAB，BCFD，过 BC 的平面交棱 FD 于 P，交棱 FA 于 Q.(1)证明：PQ平面 ABCD；(2)若 CDBE，EFEC，CD2EF，BCtEF，求平面 ADF与平面 BCE 所成锐二面角的大小解：(1)证明：因为底面 ABCD 为矩形，所以 ADBC，ADBCAD平面ADFBC平面ADFBC平面 ADF，BC平面A

8、DFBC平面BCPQ平面BCPQ平面ADFPQBCPQ，PQBCPQ平面ABCDBC平面ABCDPQ平面 ABCD.(2)由 CDBE，CDCB，BECBB，得 CD平面 BCE，所以 CDCE.由 BCCD，BCFD，CDFDD，得 BC平面 CDFE，所以CBCE.以 C 为坐标原点，CD的方向为 x 轴的正方向，CB的方向为 y 轴的正方向，CE的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，设 EFEC1，则 A(2，t，0)，D(2，0，0)，F(1，0，1)，所以AD(0，t，0)，AF(1，t，1)设平面 ADF 的法向量为 n(x，y，z)，则nAD0，nAF0

9、，即ty0，xtyz0，令 x1，得 n(1，0，1)为平面 ADF 的一个法向量 易知平面 BCE 的一个法向量为 m(1，0，0)，设平面 ADF 与平面 BCE 所成的锐二面角为，则 cos|nm|n|m|12 22，所以 4，即平面 ADF 与平面 BCE 所成的锐二面角为4.5(2019东北四市联合体模拟(一)如图，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ADABBC1，CD2，E 为 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折到APE 的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥 P-ABCE 的体积最大时，求二面角 APEC 的余弦值解：(1)证明：在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD，交 A

10、E 于点 O，ABCE，ABCE，四边形 ABCE 为平行四边形，AEBCADDE，ADE 为等边三角形，在等腰梯形 ABCD 中，CADE3，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得 OPAE，OBAE，又 OP平面 POB，OB平面 POB，OPOBO，AE平面 POB，PB平面 POB，AEPB.(2)当四棱锥 P-ABCE 的体积最大时，平面 PAE平面 ABCE.又平面 PAE平面 ABCEAE，PO平面 PAE，POAE，OP平面 ABCE.以 O 为坐标原点，OE 所在的直线为 x 轴，OB 所在的直线为 y 轴，OP 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，P0，0，3

11、2，E12，0，0，C1，32，0，PE12，0，32，EC12，32，0，设平面 PCE 的法向量为 n1(x，y，z)，则PEn10，ECn10，即12x 32 z0，12x 32 y0，设 x 3，则 y1，z1，n1(3，1，1)为平面 PCE 的一个法向量，易知平面 PAE 的一个法向量为 n2(0，1，0)，cos n1，n2n1n2|n1|n2|11 5 55.由图知所求二面角 A-PE-C 为钝角，二面角 A-PE-C 的余弦值为 55.6.(2019广州市综合检测(一)如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABC 是等边三角形，BADBCD90，点 P 是 AC 的中点，连接 BP

12、，DP.(1)证明：平面 ACD平面 BDP；(2)若 BD 6，且二面角 A-BD-C 为 120，求直线 AD 与平面BCD 所成角的正弦值解：(1)证明：因为ABC 是等边三角形，BADBCD90，所以 RtABDRtCBD，可得 ADCD.因为点 P 是 AC 的中点，则 PDAC，PBAC，因为 PDPBP，PD平面 PBD，PB平面 PBD，所以 AC平面 PBD.因为 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDP.(2)法一：如图，作 CEBD，垂足为 E，连接 AE.因为 RtABDRtCBD，所以 AEBD，AECE，AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角 由已知二面角

13、A-BD-C 为 120，知AEC120.在等腰三角形 AEC 中，由余弦定理可得 AC 3AE，因为ABC 是等边三角形，则 ACAB，所以 AB 3AE.在 RtABD 中，有12AEBD12ABAD，得 BD 3AD，因为 BD 6，所以 AD 2.又 BD2AB2AD2，所以 AB2.则 AE2 33，ED 63.由 CEBD，AEBD 可知 BD平面 AEC，则平面 AEC平面 BCD.过点 A 作 AOCE，交 CE 的延长线于 O，则 AO平面 BCD.连接 OD，则ADO 为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 在 RtAEO 中，AEO60，所以 AO 32 AE1，sinA

14、DOAOAD 22.所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 22.法二：如图，作 CEBD，垂足为 E，连接 AE.因为 RtABDRtCBD，所以 AEBD，AECE，AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角 由已知二面角 A-BD-C 为 120，知AEC120 在等腰三角形 AEC 中，由余弦定理可得 AC 3AE，因为ABC 是等边三角形，则 ACAB，所以 AB 3AE.在 RtABD 中，有12AEBD12ABAD，得 BD 3AD，因为 BD 6，所以 AD 2.又 BD2AB2AD2，所以 AB2.则 AE2 33，ED 63.以 E 为坐标原点，以向量EC，ED的方

15、向分别为 x 轴，y 轴的正方向，以过点 E 垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 E-xyz，则 D0，63，0，A 33，0，1，向量AD33，63，1，平面 BCD 的一个法向量为 m(0，0，1)，设直线 AD 与平面 BCD 所成的角为，则 cosm，AD mAD|m|AD|121 22，sin|cosm，AD|22.所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 22.7.(2019长沙市统一模拟考试)如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BECF，BCF90，AD 3，BE3，CF4，EF2.(1)求证：AE平面 DCF；(2)当 AB

16、的长为何值时，二面角 AEFC 的大小为 60？解：因为平面 ABCD平面 BEFC，平面 ABCD平面 BEFCBC，DC平面 ABCD，且 DCBC，所以 DC平面 BEFC.以点 C 为坐标原点，分别以 CB，CF，CD 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.设 ABa，则 C(0，0，0)，A(3，0，a)，B(3，0，0)，E(3，3，0)，F(0，4，0)，D(0，0，a)(1)证明：因为AE(0，3，a)，CB(3，0，0)，CF(0，4，0)，CD(0，0，a)，所以CBCD0，CBCF0，又 CDCFC，所以 CB平面 CDF，即CB为

17、平面 CDF 的法向量 又CBAE0，所以 CBAE.又因 AE平面 CDF，所以 AE平面 DCF.(2)设 n(x，y，z)与平面 AEF 垂直，因为AE(0，3，a)，EF(3，1，0)，由nEF0，nAE0得 3xy0，3yaz0，即得 n1，3，3 3a.又因为 BA平面 BEFC，BA(0，0，a)，所以|cosBAn|BAn|BA|n|3 3a427a2 12，解得 a92.所以当 AB92时，二面角 A-EF-C 的大小为 60.8在平行四边形 PABC 中，PA4，PC2 2，P45，D 是 PA 的中点(如图 1)将PCD沿 CD 折起到图 2 中P1CD 的位置，得到四棱

18、锥 P1ABCD.(1)将PCD 沿 CD 折起的过程中，CD平面 P1DA 是否成立？请证明你的结论(2)若 P1D 与平面 ABCD 所成的角为 60，且P1DA 为锐角三角形，求平面 P1AD 和平面P1BC 所成角的余弦值解：(1)将PCD 沿 CD 折起过程中，CD平面 P1DA 成立证明如下：D 是 PA 的中点，PA4，DPDA2，在PDC 中，由余弦定理得，CD2PC2PD22PCPDcos 458422 22 22 4，CD2PD，CD2DP28PC2，PDC 为等腰直角三角形且 CDPA，CDDA，CDP1D，P1DADD，CD平面 P1DA.(2)由(1)知 CD平面 P

19、1DA，CD平面 ABCD，平面 P1DA平面 ABCD，P1DA 为锐角三角形，P1 在平面 ABCD 内的射影必在棱 AD 上，记为 O，连接 P1O，P1O平面 ABCD，则P1DA 是 P1D 与平面 ABCD 所成的角，P1DA60，DP1DA2，P1DA 为等边三角形，O 为 AD 的中点，故以 O 为坐标原点，过点 O 且与 CD 平行的直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴，OP1 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 x 轴与 BC 交于点 M，DAP1A2，OP1 3，易知 ODOACM1，BM3，则 P1(0，0，3)，D(0，1，0)，C(2，1，0)，B(2，3，0)，DC(2，0，0)，BC(0，4，0)，P1C(2，1，3)，CD平面 P1DA，可取平面 P1DA 的一个法向量 n1(1，0，0)，设平面 P1BC 的法向量 n2(x2，y2，z2)，则n2BC0，n2P1C 0，即4y20，2x2y2 3z20，令 z21，则 n232，0，1 为平面 P1BC 的一个法向量，设平面 P1AD 和平面 P1BC 所成的角为，由图易知 为锐角，cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|321 72 217.平面 P1AD 和平面 P1BC 所成角的余弦值为 217.