（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十四）直线与圆（文含解析）.doc

1、专题检测（十四）直线与圆 A 组“633”考点落实练一、选择题1.“ab4”是“直线 2xay10 与直线 bx2y20 平行”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选 C 因为两直线平行，所以斜率相等，即2ab2，可得 ab4，又当 a1，b4 时，满足 ab4，但是两直线重合，故选 C.2.圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y24y0 的位置关系是()A.相离B.相交C.外切D.内切解析：选 B 圆 O1：x2y22x0，即(x1)2y21，圆心是 O1(1，0)，半径是 r11，圆 O2：x2y24y0，即 x2(y2)24，圆心是

2、 O2(0，2)，半径是 r22，因为|O1O2|5，故|r1r2|O1O2|r1r2|所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线 l1 过点(2，0)且倾斜角为 30，直线 l2 过点(2，0)且与直线 l1 垂直，则直线l1 与直线 l2 的交点坐标为()A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.1，32解析：选 C 直线 l1 的斜率 k1tan 30 33，因为直线 l2 与直线 l1 垂直，所以直线 l2的斜率 k21k1 3，所以直线 l1 的方程为 y 33(x2)，直线 l2 的方程为 y 3(x2)，联立y 33（x2），y 3（x2），解得x1，y 3，即直线 l1 与直线

3、 l2 的交点坐标为(1，3).4.(2019江苏徐州期末)若圆(x1)2y2m 与圆 x2y24x8y160 内切，则实数 m的值为()A.1 B.11C.121 D.1 或 121解析：选 D 圆(x1)2y2m 的圆心坐标为(1，0)，半径为 m；圆 x2y24x8y160，即(x2)2(y4)236，故圆心坐标为(2，4)，半径为 6.由两圆内切得3242|m6|，解得 m1 或 m121.故选 D.5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 xky10 与圆 C：x2y24 相交于 A，B 两点，OM OAOB，若点 M 在圆 C 上，则实数 k 的值为()A.2 B.1C.0 D

4、.1解析：选 C 法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xky10，x2y24得(k21)y22ky30，则 4k212(k21)0，y1y2 2kk21，x1x2k(y1y2)22k21，因为OM OAOB，故 M2k21，2kk21，又点 M 在圆 C 上，故4（k21）24k2（k21）24，解得 k0.法二：由直线与圆相交于 A，B 两点，OM OAOB，且点 M 在圆 C 上，得圆心 C(0，0)到直线 xky10 的距离为半径的一半，为 1，即 d11k21，解得 k0.6.(2019广东省广州市高三测试)已知圆 C：x2y21，点 A(2，0)及点 B(2，a)，若直线

5、AB 与圆 C 没有公共点，则 a 的取值范围是()A.(，1)(1，)B.(，2)(2，)C.，4 334 33，D.(，4)(4，)解析：选 C 由点 A(2，0)及点 B(2，a)，得 kABa4，所以直线 AB 的方程为 ya4(x2)，即 ax4y2a0.因为直线 AB 与圆 C 没有公共点，所以|2a|a2（4）21，解得 a4 33 或 a4 33，所以 a 的取值范围是，4 334 33，故选 C.二、填空题7.(2019贵阳市第一学期监测)已知直线 l1：y2x，则过圆 x2y22x4y10 的圆心且与直线 l1 垂直的直线 l2 的方程为_.解析：由题意，圆的标准方程为(x

6、1)2(y2)24，所以圆的圆心坐标为(1，2)，所以所求直线的方程为 y212(x1)，即 x2y30.答案：x2y308.已知直线 l 过直线 l1：x2y30 与直线 l2：2x3y80 的交点，且点 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为_.解析：由x2y30，2x3y80 得x1，y2，所以直线 l1 与 l2 的交点为(1，2).显然直线 x1 不满足P(0，4)到直线 l 的距离为 2.设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxy2k0，因为 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，所以|42k|1k22，所以 k0 或 k43.所以直线 l 的方程为 y2

7、 或4x3y20.答案：y2 或 4x3y209.(2019广东六校第一次联考)已知点 P(1，2)及圆(x3)2(y4)24，一光线从点 P 出发，经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于点 T，则|PQ|QT|的值为_.解析：点 P 关于 x 轴的对称点为 P(1，2)，如图，连接 PP，PQ，由对称性可知，PQ 与圆相切于点 T，则|PQ|QT|PT|.圆(x3)2(y4)24 的圆心为 A(3，4)，半径 r2，连接 AP，AT，则|AP|2(13)2(24)252，|AT|r2，所以|PQ|QT|PT|AP|2|AT|24 3.答案：4 3三、解答题10.已知圆(x1)2y225，直线

8、 axy50 与圆相交于不同的两点 A，B.(1)求实数 a 的取值范围；(2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(2，4)，求实数 a 的值.解：(1)把直线 axy50 代入圆的方程，消去 y 整理，得(a21)x22(5a1)x10，由于直线 axy50 交圆于 A，B 两点，故 4(5a1)24(a21)0，即 12a25a0，解得 a 512或 a0，b0)，即 bxayab0，由直线 l 与圆 O 相切，得|ab|b2a2 2，即1a21b212，则|DE|2a2b22(a2b2)1a2 1b242b2a2 2a2b2 8，当且仅当 ab2 时取等号，此时直线 l 的方程为 x

9、y20.12.已知 A(2，0)，直线 4x3y10 被圆 C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为 4 3，且 P 为圆 C 上任意一点.(1)求|PA|的最大值与最小值；(2)圆 C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.解：(1)直线 4x3y10 被圆 C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为 4 3，圆心到直线的距离 d|123m1|5（13）2（2 3）21.m3，m2，|AC|（32）2（20）2 29，|PA|的最大值与最小值分别为 29 13，29 13.(2)由(1)可得圆 C 的方程为(x3)2(y2)213，令 x0，得 y0

10、 或 4；令 y0，得 x0 或6，圆 C 与坐标轴相交于三点 M(0，4)，O(0，0)，N(6，0)，MON 为直角三角形，斜边|MN|2 13，MON 内切圆的半径为462 1325 13.B 组大题专攻强化练1.已知点 M(1，0)，N(1，0)，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的 3倍.(1)求曲线 E 的方程；(2)已知 m0，设直线 l1：xmy10 交曲线 E 于 A，C 两点，直线 l2：mxym0交曲线 E 于 B，D 两点.当 CD 的斜率为1 时，求直线 CD 的方程.解：(1)设曲线 E 上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得（x1）2y2 3

11、（x1）2y2，整理得 x2y24x10，即(x2)2y23 为所求.(2)由题意知 l1l2，且两条直线均恒过点 N(1，0).设曲线 E 的圆心为 E，则 E(2，0)，设线段 CD 的中点为 P，连接 EP，ED，NP，则直线EP：yx2.设直线 CD：yxt，由yx2，yxt 解得点 Pt22，t22，由圆的几何性质，知|NP|12|CD|ED|2|EP|2，而|NP|2t22 12t222，|ED|23，|EP|2|2t|22，所以 t22t2223（t2）22，整理得 t23t0，解得 t0 或 t3，所以直线 CD 的方程为 yx 或 yx3.2.已知点 A(1，a)，圆 x2y

12、24.(1)若过点 A 的圆的切线只有一条，求 a 的值及切线方程；(2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3，求 a 的值.解：(1)由过点 A 的圆的切线只有一条，得点 A 在圆上，故 12a24，解得 a 3.当 a 3时，A(1，3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为 x 3y40；当 a 3时，A(1，3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为 x 3y40.综上所述，当 a 3时，切线方程为 x 3y40；当 a 3时，切线方程为 x 3y40.(2)设直线方程为 xyb，由于直线过点 A，则 1ab，即 ab1，又圆心(0，0)到直线

13、xyb 的距离 d|b|2.所以|b|222 3224，则 b 2，因此 ab11 2.3.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y2x4，设圆 C 的半径为 1，圆心在l 上.(1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使|MA|2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.解：(1)因为圆心在直线 l：y2x4 上，也在直线 yx1 上，所以解方程组y2x4，yx1，得圆心 C(3，2)，又因为圆的半径为 1，所以圆的方程为(x3)2(y2)21，又因为点 A(0，3)，显然过点 A，圆 C 的切线

14、的斜率存在，设所求的切线方程为 ykx3，即 kxy30，所以|3k23|k212 1，解得 k0 或 k34，所以所求切线方程为 y3 或 y34x3，即 y30 或 3x4y120.(2)因为圆 C 的圆心在直线 l：y2x4 上，所以设圆心 C 为(a，2a4)，又因为圆 C 的半径为 1，则圆 C 的方程为(xa)2(y2a4)21.设 M(x，y)，又因为|MA|2|MO|，则有 x2（y3）22 x2y2，整理得 x2(y1)24，其表示圆心为(0，1)，半径为 2 的圆，设为圆 D，所以点 M 既在圆 C 上，又在圆 D 上，即圆 C 与圆 D 有交点，所以 21a2（2a41）

15、221，解得 0a125，所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为0，125.4.在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1)，当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由；(2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.解：(1)不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 满足 x2mx20，所以 x1x22.又 C 的坐标为(0，1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1x1 1x2 12，所以不能出现 ACBC 的情况.(2)证明：由(1)知 BC 的中点坐标为x22，12，可得 BC 的中垂线方程为 y12x2xx22.由(1)可得 x1x2m，所以 AB 的中垂线方程为 xm2.联立xm2，y12x2xx22，x22mx220可得xm2，y12.所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为m2，12，半径 r m292.故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2 m223，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.