（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十）空间几何体、三视图、表面积与体积（文含解析）.doc

1、专题检测（十）空间几何体、三视图、表面积与体积 A 组“124”满分练一、选择题1.(2019福州市第一学期抽测)如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是()解析：选 B 由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选 B.2.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为 BD1 的中点，则PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是()A.B.C.D.解析：选 B 连接 A1C1，则点 P 在上、下底面的正投影落在 A1C1 或 AC 上，所以PAC在上底面或下底面的正投影为，在前面、后面、左面、右面的正投影为.故选 B.3.(2019武汉

2、市调研测试)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 为 CD 的中点，则三棱锥 ABC1M 的体积 VABC1M()A.12B.14C.16D.112解析：选 C VABC1MVC1ABM13SABMC1C1312ABADC1C16.故选 C.4.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为 4，球心到切面圆心的距离为 3，则该西瓜的体积为()A.100 B.2563 C.4003 D.5003 解析：选 D 因为切面圆的半径 r4，球心到切面的距离 d3，所以球的半径 R r2d2 42325，故球的体积 V43R343535003，即该西瓜的体积为5003.故选 D

3、.5.(2019 届高三开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.4B.2C.43D.解析：选 B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为，由 tan 31 3，得3，故底面面积为123 2223，则该几何体的体积为23 32.故选 B.6.某圆锥的侧面展开图是面积为 3且圆心角为23 的扇形，此圆锥的体积为()A.B.2 23C.2D.2 2解析：选 B 设圆锥的母线为 R，底面圆的半径为 r，扇形的圆心角为，则 S12R21223 R23，解得 R3，底面圆的半径 r 满足rR232，解得 r1，所以这个

4、圆锥的高 h 32122 2，故圆锥的体积 V13r2h2 23.故选 B.7.已知矩形 ABCD，AB2BC，把这个矩形分别以 AB，BC 所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为 S1，S2，则 S1 与 S2 的比值等于()A.12B.1C.2 D.4解析：选 B 设 BCa，AB2a，所以 S12a2a4a2，S222aa4a2，S1S21.故选 B.8.(2019广东省七校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是()A.246 2和 40 B.246 2和 72C.646 2和 40 D.646 2和 72解析：选 C 把三视图还原成几何体，如图所示.由

5、题意知 S 四边形 ABCD12，S四边形BCC1B18，S四边形ABB1A16，S四边形ADSA1(26)41216，S四边形DCC1S(26)31212.易得 B1A1SA1，B1C1SC1，且SA14 2，SC15，所以 SSA1B134 2126 2，SSB1C1451210，所以该几何体的表面积为 128616126 210646 2.在棱 SD 上取一点D1，使得 DD12，连接 A1D1，C1D1，则该几何体的体积 VVS-A1B1C1D1VABCD-A1B1C1D11312412240.故选 C.9.(2019蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，其

6、俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形(如图 2 所示)，则此几何体的体积为()A.1 B.2C.2 D.2 2解析：选 B 根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是 2 和 2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为 3，所以体积 V13122 2 3 2.故选 B.10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形 ABCD 为矩形，棱 EFAB.若此几何体中，AB4，EF2，ADE 和BCF 都是边长为 2 的等边三角形，则该几何体的表面积为()A.8

7、 3B.88 3C.6 22 3D.86 22 3解析：选 B 如图所示，取 BC 的中点 P，连接 PF，则 PFBC，过F 作 FQAB，垂足为 Q.因为ADE 和BCF 都是边长为 2 的等边三角形，且 EF AB，所以四边形 ABFE 为等腰梯形，FP 3，则 BQ12(ABEF)1，FQBF2BQ2 3，所以 S 梯形 EFBAS 梯形 EFCD12(24)33 3，又 SADESBCF122 3 3，S 矩形 ABCD428，所以该几何体的表面积 S3 32 32888 3.故选 B.11.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头

8、制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A.63B.72C.79D.99解析：选 A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为32512433363.故选 A.12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA平面 ABC，ABBC，且 PA8.若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，则球 O 的表面积为()A.10B.25C.50D.100解析：选 D 设球 O 的半径为 R，由平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，得ABC的外接圆的半径为 3.

9、设该外接圆的圆心为 D，因为 ABBC，所以点 D 为 AC 的中点，所以DC3.因为 PA平面 ABC，易证 PBBC，所以 PC 为球 O 的直径.又 PA8，所以 OD12PA4，所以 ROC42325，所以球 O 的表面积为 S4R2100.故选 D.二、填空题13.(2019长春市质量监测一)已知一所有棱长都是 2的三棱锥，则该三棱锥的体积为_.解析：记所有棱长都是 2的三棱锥为 P-ABC，如图所示，取 BC 的中点 D，连接 AD，PD，作 POAD 于点 O，则 PO平面 ABC，且 OP 63 22 33，故三棱锥 P-ABC 的体积 V13SABCOP13 34(2)22

10、3313.答案：1314.如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点.若 AA14，AB2，则四棱锥 B-ACC1D 的体积为_.解析：取 AC 的中点 O，连接 BO(图略)，则 BOAC，所以 BO平面 ACC1D.因为 AB2，所以 BO 3.因为 D 为棱 AA1 的中点，AA14，所以 AD2，所以 S 梯形 ACC1D12(24)26，所以四棱锥 B-ACC1D 的体积为136 32 3.答案：2 315.如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是_.解析：设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为，则 r4cos，圆柱的高为

11、 8sin.所以圆柱的侧面积为 32sin 2.当且仅当 4 时，sin 21，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为 32.答案：3216.(2019江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为 2，下底为 4 的直角梯形，俯视图是一个边长为 4 的等边三角形，则该几何体的体积为_.解析：把三视图还原成几何体 ABC-DEF，如图所示，在 AD 上取点G，使得 AG2，连接 GE，GF，则把几何体 ABC-DEF 分割成三棱柱ABC-GEF 和三棱锥 D-GEF，所以 VABC-DEFVABC-GEFVD-GEF4 32134 3232 33.答案：32 33B

12、组“53”提速练1.(2019福州市质量检测)棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 木块的直观图如图所示，平面 过点 D 且平行于平面 ACD1，则该木块在平面 内的正投影面积是()A.3 B.32 3C.2D.1解析：选 A 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 木块在平面 内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为 2的等边三角形，所以木块在平面 内的正投影面积是 212 2 2 32 3.故选 A.2.在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 在线段 BD1 上，且 BPPD112，M 为线段 B1C1上的动点，则三棱锥 M-PB

13、C 的体积为()A.1 B.32C.92D.与 M 点的位置有关解析：选 B BPPD112，点 P 到平面 BCC1B1 的距离是 D1 到平面 BCC1B1 距离的13，即为D1C13 1.M 为线段 B1C1 上的点，SMBC123392，VMPBCVPMBC1392132.故选 B.3.(2019重庆市学业质量调研)三棱锥 S-ABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，已知 SAa，SBb，SC2，且 2ab52，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为()A.214B.174C.4D.6解析：选 A 由题意，设三棱锥的外接球的半径为 R，因为 SA，SB，SC 两两垂直，所以以 SA，SB

14、，SC 为棱构造长方体，其体对角线即三棱锥的外接球的直径，因为 SAa，SBb，SC2，所以 4R2a2b24a2522a245(a1)2214，所以 a1 时，(4R2)min214，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为214.故选 A.4.(2019洛阳尖子生第二次联考)已知正三角形 ABC 的三个项点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面圆面积的最小值是()A.74B.2C.94D.3解析：选 C 设正三角形 ABC 的中心为 O1，连接 OO1，OA，O1A，由题意得 O1O平面 ABC，O1O

15、1，OA2，在 RtO1OA 中，O1A 3，AB3.E 为 AB 的中点，AE32.连接 OE，则 OEAB.过点 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径 r32，可得截面圆面积的最小值为r294.故选 C.5.(2019全国卷)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为()A.8 6B.4 6C.2 6D.6解析：选 D 设 PAPBPC2a，则 EFa，FC 3，EC23a2.在PEC 中，cosPECa23a2（2a）22

16、a 3a2.在AEC 中，cosAECa23a242a 3a2.PEC 与AEC 互补，34a21，a 22，故 PAPBPC 2.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直径 2R（2）2（2）2（2）2 6，R 62，V43R343623 6.故选 D.6.(2019全国卷)已知ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC2，点 P 到ACB 两边AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为_.解析：如图，过点 P 作 PO平面 ABC 于 O，则 PO 为 P 到平面 ABC的距离.再过 O 作 OEAC 于 E，OFBC 于 F，连接 PC，PE，PF，则 PEAC，

17、PFBC.又 PEPF 3，所以 OEOF，所以 CO 为ACB 的平分线，即ACO45.在 RtPEC 中，PC2，PE 3，所以 CE1，所以 OE1，所以 PO PE2OE2（3）212 2.答案：27.(2019河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为 1 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 2 的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为 V 的球，则 V 的最大值为_.解析：该三棱锥侧面的斜高为13 32122 33，则 S 侧31222 33 2 3，S底12 32 3，所以三棱锥的表面积 S 表2 3 33 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积

18、最大.设三棱锥的内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 V 锥13S 表r13S底1，所以 3 3r 3，所以 r13，所以三棱锥的内切球的体积最大为 Vmax43r3481.答案：3 3 4818.已知在正四棱锥 S-ABCD 中，SA6 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_.解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h，因为在正四棱锥 S-ABCD 中，SA6 3，所以a22 h2108，即 a22162h2，所以正四棱锥的体积 VS-ABCD13a2h72h23h3，令y72h23h3，则 y722h2，令 y0，得 0h6，令 y6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为 6.答案：6