（全国版）2022高考数学一轮复习 第10章 圆锥曲线与方程 第1讲 椭圆试题2（理含解析）.docx

1、第十章 圆锥曲线与方程 第一讲 椭 圆 1.2021 八省市新高考适应性考试椭圆 +=1(m0)的焦点为 F1,F2,上顶点为 A,若F1AF2=,则 m=()A.1 B.C.D.2 2.2021 广东深圳模拟已知动点 M 在以 F1,F2为焦点的椭圆 x2+=1 上,动点 N 在以 M 为圆心,|MF1|为半径的圆上,则|NF2|的最大值为()A.2 B.4 C.8 D.16 3.2020 安徽省示范高中名校联考已知椭圆 C:+=1(ab0),F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=2,B 为短轴的一个端点,BF1O(O 为坐标原点)的面积为,则椭圆的长轴长为()A.4 B.8 C.D.

2、1+4.2020 陕西省部分学校摸底检测已知 F1,F2分别为椭圆 +=1(ab0)的左、右焦点,点 P 是椭圆上位于第一象限的点,延长 PF2交椭圆于点 Q,若 PF1PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为()A.2-B.C.-1 D.5.2020 福建省三明市模拟已知 P 是椭圆 +=1 上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且F1PF2=60,则F1PF2面积为()A.3 B.2 C.D.6.2019 全国卷,15,5 分设 F1,F2为椭圆 C:+=1 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则 M 的坐标为 .7.2020 洛阳市第一次联考已

3、知椭圆 C1:+=1(a1b10)与双曲线 C2:=1(a20,b20)有相同的焦点 F1,F2,点 P是曲线 C1与 C2的一个公共点,e1,e2分别是 C1和 C2的离心率,若 PF1PF2,则 4 +的最小值为 .8.2020 惠州市二调已知椭圆 +=1(ab0)的短轴长为 2,上顶点为 A,左顶点为 B,左、右焦点分别是 F1,F2,且F1AB 的面积为-,点 P 为椭圆上的任意一点,则 +的取值范围是 .9.2021 贵阳市四校第二次联考在平面直角坐标系中,椭圆 C:+=1(ab0)的焦距为 2,且过点(1,).(1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆 C 左焦点 F1的直线 l(不与

4、坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 A,B 两点,若点 H(-,0)满足|HA|=|HB|,求|AB|.10.2020 陕西省百校第一次联考已知椭圆 +=1(ab0)的左焦点为 F,椭圆上一动点 M 到点 F 的最远距离和最近距离分别为+1 和-1.(1)求椭圆的方程;(2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点,若 +=10,求 k的值.11.2021 黑龙江大庆调研已知椭圆 C:+=1(ab0),过原点的直线交椭圆于 A,B 两点,以 AB 为直径的圆过右焦点F,若FAB=,则此椭圆离心率的取值范围是()A.,-1 B.,C.(0,D.,1)1

5、2.2021 四川遂宁模拟已知椭圆 T:+=1(ab0)的长半轴长为 2,且过点 M(0,1).若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1,l2,P 为椭圆上任意一点,记点 P 到 l1,l2的距离分别为 d1,d2,则 的最大值为()A.2 B.C.5 D.13.2020 四川五校联考设椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,以 F1F2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点为 P,则直线 PF1的斜率为()A.B.C.D.14.2020 江西南昌模拟已知 F1,F2为椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点,过原点 O 且倾斜角为 30的直线 l 与椭圆 C 的一个交

6、点为 A,若 AF1AF2,=2,则椭圆 C 的方程为()A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 15.2020 广东七校联考已知椭圆 C 的方程为 +=1(ab0),焦距为 2c,直线 l:y=x 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若|AB|=2c,则椭圆 C 的离心率为 .16.2020 四省八校联考设点 P 是椭圆 C:+=1 上的动点,F 为椭圆 C 的右焦点,定点 A(2,1),则|PA|+|PF|的取值范围是 .17.2020 山东枣庄模拟递进型已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 x-y+4=0 过点 F1且与 C 在第二象限的交点为 P,若

7、POF1=60(O 为坐标原点),则 F2的坐标为 ,C 的离心率为 .18.2021 河北六校第一次联考已知 P(,)是椭圆 C:+=1(ab0)上一点,以点 P 及椭圆的左、右焦点 F1,F2为顶点的三角形的面积为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过 F2作斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,M 是 l1与 C 两交点的中点,N 是 l2与 C 两交点的中点,求MNF2面积的最大值.19.2021 广西北海市高三一模数学与物理综合2020 年 3 月 9 日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭,成功发射北斗系统第 54 颗导航卫星,第 54 颗导航卫星的运行轨道是以地心为一

8、个焦点的椭圆.设地球半径为 R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是 R,R,则第 54 颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是()A.B.C.D.20.新角度题历史上,许多人研究过圆锥的截口曲线.如图 10-1-1,在此圆锥中,圆锥的母线与轴的夹角为 30,现有一截面与圆锥的一条母线垂直,与轴的交点 O 到圆锥顶点 M 的距离为 1,对于所得截口曲线给出如下命题:该曲线为椭圆;点 O 为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点;该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为 ;该曲线上任意两点间的距离中最短的距离为 .其中正确命题的序号为()图 10-1-1 A.B.C.D.答 案 第一讲

9、 椭 圆 1.C 如 图 D 10-1-3 所 示,由 题 意 可 得 AF1F2 为 等 边 三 角 形,所 以 AF2O=,|AF1|=|AF2|=,所 以sinAF2O=sin ,解得 m=,故选 C.2.B 由椭圆的方程可得焦点在 y 轴上,长半轴长 a=2.由题意可得|NF2 F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|,当 N,M,F2三点共线且 M 在线段 NF2上时,|NF2|取得最大值,而此时|NF2|=|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|=2a=4,所以|NF2|的最大值为 4,故选B.3.B 由题意可知 c=,bc=b=,解得 b=,所以 a=4,所以椭圆的长轴长为

10、 2a=8,故选 B.4.D 设|PF1|=|PQ|=m(m0),则|PF2|=2a-m,|QF2|=2m-2a,|QF1|=4a-2m.由题意知PQF1 为等腰直角三角形,所以|QF1|=|PF1|,故 m=4a-2 a.因 为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所 以(4a-2 a)2+2a-(4a-2 a)2=4c2,整 理得4()2=36-24,即 -,故选 D.5.A 解法一 由椭圆标准方程,得a=5,b=3,所以c=-=4.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得t1+t2=10.在F1PF2 中,F1PF2=60,根据余弦定理可得|PF1|2+|PF

11、2|2-2|PF1 PF2 cos 60=F1F2|2=(2c)2=64,整理可得 -t1t2=64 .把 两 边 平 方 得 +2t1t2=100 .由-可 得t1t2=12,所 以 t1t2sinF1PF2=3.故选 A.解法二 由椭圆焦点三角形的面积公式,得 =b2tan =9tan =3.故选 A.6.(3,)不妨令 F1,F2分别为椭圆 C 的左、右焦点,根据题意可知 a=6,c=-=4.因为MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设 M(x,y),则 ,(,得 ,所以 M 的坐标为(3,).7.设点 P 在双曲线的右支上,F2 为两曲线的

12、右焦点,由椭圆及双曲线的定义可得 ,-,解得 ,-.设|F1F2|=2c,因为 PF1PF2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,整理得 =2c2,两边同时除以 c2,得 =2.所以 4 (4 )()=(5+(5+22=,当且仅当 ,且 =2 时取“=”,即当 e1=,e2=时取“=”,故 4 的最小值为 .8.1,4 由已知得 2b=2,故 b=1,a2-c2=b2=1.F1AB 的面积为-,(a-c)b=-,a-c=2-.由 联 立 解 得,a=2,c=.由 椭 圆 的 定 义 知|PF1|+|PF2|=2a=4,(-,又 2-PF1 2+,1-|PF1|2+4|PF1 4,1

13、 4,即 的取值范围是1,4.9.(1)由题意得 2c=2,即 c=1,所以 a2=b2+c2=b2+1,将(1,)代入 =1,可得 =1,即 2b2+b2+1=2b2(b2+1),整理得(2b2+1)(b2-1)=0,解得 b2=-(舍去)或 b2=1,则 a2=2,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)由题意得 F1(-1,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+1)(k0,A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆 C 与直线 l 的方程,可得 x2+2k2(x+1)2=2,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+

14、1)0,且 x1+x2=-,x1x2=-.设 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0=-,y0=k(x0+1)=.因为点 H(-,0)满足|HA|=|HB|,所以 kMH=-,即 -=-,解得 k=1,则 x1+x2=-=-,x1x2=-=0,所以|AB|=(-.10.(1)由题意知,a+c=+1,a-c=-1.又 a2=b2+c2,所以可得 b=,c=1,a=,所以椭圆的方程为 =1.(2)由(1)可知 F(-1,0),则直线 CD 的方程为 y=k(x+1),由 (,消去 y 得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.=36k4-4(2+3k2)(3k2-6)=48k2+480.

15、设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=-.又 A(-,0),B(,0),所以 =(x1+,y1(-x2,-y2)+(x2+,y2(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+=10,解得 k=.11.B 设椭圆的另一个焦点为 F,连接 AF,BF,BF,如图 D 10-1-4 所示,图 D 10-1-4 则 四 边 形AFBF 是 矩 形,所 以|AB|=|FF|=2c,|FA|=2ccos,|FB|=2csin,由 椭 圆 的 定 义 可知,|FA|

16、+|AF|=|FA|+|FB|=2a,即 2ccos+2csin=2a.所 以 离 心 率 e=(.因 为 ,所以 +,sin(+,所以 e ,.故选 B.12.B 由题意可得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为 +y2=1.设 P(x,y),若直线 l1,l2 中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为 0,不妨设直线 l1 的方程为 x=0,则 l2 的方程为y=1.则 =x2+(1-y)2,因为 P 在椭圆上,所以 x2=4-4y2,所以 =5-3y2-2y=5-3(y+)2+,y-1,1,所以当 y=-时,有最大值 ,所以 的最大值为 .当直线 l1,l2的斜率都存在,且不为 0 时

17、,设直线l1的方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0,则 l2的方程为 y=-x+1,即 x+ky-k=0.则 d1=-,d2=-,所以 (-(-=x2+y2-2y+1=4-4y2+y2-2y+1=5-3y2-2y,由可得 的最大值为 .故选 B.13.B 解法一 由题意可知,|F1F2|=2c,又由 e=得 c=a,所以|F1F2|=a.因为点 P 是以 F1F2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点,故 PF1PF2且|PF1|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1 PF2|=a2,所以|PF1|=a,|PF2|=a,所以直

18、线 PF1的斜率 =tanPF1F2=.故选 B.解法二 因为 e=,故可设 a=3,c=,则 b=2,=b2tan =b2tan 45=|PF1 PF2|=4.因为点 P 在第一象限,所以|PF1|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|PF2|=2,所以直线 PF1 的斜率 =tanPF1F2=.故选B.14.A 因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把该等式两边同时平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1|AF2|=4a2.又AF1AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1|AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1|AF

19、2|=2b2,所以|AF1|AF2|=b2=2.因为AF1F2是直角三角形,F1AF2=90,且 O 为 F1F2 的中点,所以|OA|=|F1F2|=c.不妨设点 A 在第一象限,则AOF2=30,所以A(c,c),所以|F1F2 c=c2=2,即 c2=4,故 a2=b2+c2=6,所以椭圆 C 的方程为 =1,故选 A.15.设直线 l 与椭圆 C 在第一象限内的交点为 A(x1,y1),则 y1=x1,由|AB|=2c,可知|OA|=c(O 为坐标原点),即 (=c,解得 x1=c,所以 A 的坐标为(c,c),把点 A 的坐标代入椭圆方程得(=1,又a2=b2+c2,e=,整理得 8

20、e4-18e2+9=0,即(4e2-3)(2e2-3)=0,又 0e0,=t,则 t2,令 f(t)=2t+,则 f(t)=-,因为 t2,所以 f(t)0,所以 f(t)在2,+上单调递增,所以当 t=2 时,MNF2的面积取得最大值,且()max=.19.D 以运行轨道的中心为坐标原点,长轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,令地心 F2为椭圆的右焦点,则轨道方程是焦点在 x 轴上的椭圆,设标准方程为 =1(ab0),则地心 F2 的坐标为(c,0),其中 a2=b2+c2,由题意,得a-c=R+R,a+c=R+R,解得 2a=R,2c=R,所以 e=,故选 D.20.C 由题意易知该曲线为椭圆,故正确.画出轴截面的示意图如图 D 10-1-6 所示,A,B 为截面与圆锥的两条母线的交点.图 D 10-1-6 因为AMO=BMO=30,MAAB,MO=1,所以 AO=MO=,OMB=OBM=30,所以 BO=MO=1,所以 .因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为 AB,所以点 O 为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点,所以正确.因为|AB|=|AO|+|OB|=+1=.所以该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为 ,故正确.因为曲线是一个封闭的曲线,所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离,故错误.故选 C.