（全国版）2022高考数学一轮复习 第10章 圆锥曲线与方程 第4讲 圆锥曲线的综合问题试题2（理含解析）.docx

1、第十章 圆锥曲线与方程 第四讲 圆锥曲线的综合问题 1.2021 洛阳市统考已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为 ,其左、右焦点分别是 F1,F2,如图 10-4-1,过 F1的直线AB 与椭圆相交于 A,B 两点,且ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l:y=x+t 与椭圆相交于 M,N 两点,当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时,求 t 的取值范围.图 10-4-1 2.2021 四省八校联考已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,直线 l 与 C 交于 A,B 两点,与 C 的准线交于点 M.(1)若直线 l 经过点 F,且|AB|=4,求直线 l

2、 的方程.(2)设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=-2.证明:直线 l 经过定点,并求出定点的坐标.求 的最小值.3.2020 全国卷,19,12 分理已知椭圆 C1:+=1(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合,C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A,B 两点,交 C2于 C,D 两点,且|CD|=|AB|.(1)求 C1的离心率;(2)设 M 是 C1与 C2的公共点.若|MF|=5,求 C1与 C2的标准方程.4.2020 贵阳市高三摸底测试已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F1(-,0),且椭圆 C 经过点

3、P(,).(1)求椭圆 C 的方程;(2)设椭圆 C 与 y 轴的正半轴交于点 D,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点(l 不经过点 D),且 ADBD,证明:直线 l经过定点,并求出该定点的坐标.5.2021 安徽省四校联考已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为 ,上顶点为 M,右焦点为 F,坐标原点 O 到直线 MF 的距离为 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)直线 l 为抛物线 y2=-36x 的准线,A,B 分别为椭圆的左、右顶点,P 为直线 l 上的任意一点(P 不在 x 轴上),PA 交椭圆 C 于另一点 S,PB 交椭圆 C 于另一点 T,求证:S,F,T

4、三点共线.6.2021 八省市新高考适应性考试双曲线 C:=1(a0,b0)的左顶点为 A,右焦点为 F,动点 B 在 C 上.当 BFAF时,|AF|=|BF|.(1)求 C 的离心率;(2)若 B 在第一象限,证明:BFA=2BAF.7.2020 大同市高三调研已知半圆 x2+y2=4(y0),动圆与此半圆相切(内切或外切,如图 10-4-2),且与 x 轴相切.(1)求动圆圆心的轨迹方程,并画出其轨迹.(2)是否存在斜率为 的直线 l,它与(1)中所得的轨迹由左至右顺次交于 A,B,C,D 四点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.图 10-4

5、-2 8.2020 湖北部分重点中学高三测试已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,M 是椭圆上任意一点,且MF1F2的周长为 4+2,以坐标原点 O 为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设直线 l 是圆 O:x2+y2=在动点 P(x0,y0)(x0y00)处的切线,l 与椭圆 C 交于不同的两点 Q,R,证明:QOR 的大小为定值.9.2020 湖南长郡中学第三次适应性考试新角度题已知抛物线 G:y2=2px(p0),其焦点为 F,过点 F 的直线 l 交抛物线 G 于 A,B 两点,交抛物线 G 的准线于点 C.当

6、点 F 恰好是线段 AC 的中点时,|BC|=.(1)求抛物线 G 的方程;(2)点 O 是 坐 标 原 点,设 直 线 OA,OB 的 斜 率 分 别 为 k1,k2,直 线 l 的 纵 截 距 为 1,此 时 数 列 an 满 足a1=1,k1+k2=-16an+1+).设数列 的前 n 项和为 Sn,已知存在正整数 m,使得 mS2 020b0)的“蒙日圆”方程为 x2+y2=a2+b2.已知抛物线x2=4y 的焦点与椭圆 C 的一个短轴端点重合,且椭圆 C 的离心率为 .(1)求椭圆 C 的方程和“蒙日圆”E 的方程.(2)过“蒙日圆”E 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PA,

7、PB,A,B 为切点,延长 PA 与“蒙日圆”E 交于点 Q,O 为坐标原点.证明:PAPB;若直线 OP,OQ 的斜率 kOP,kOQ存在,试判断 kOPkOQ是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由.答 案 第四讲 圆锥曲线的综合问题 1.(1)由椭圆的定义知 4a=8,a=2.椭圆的离心率 e=,c=1,从而 b2=a2-c2=3,椭圆 C 的方程为 =1.(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).由 ,-,得 7x2+8tx+4t2-12=0,则=64t2-28(4t2-12)0,解得 t20,即 x1x2+y1y20,x1x2+y1y2=x1x2+(x1+t)(x2+t)=

8、2x1x2+t(x1+x2)+t2=-0,解得 t2 ,由可知 t27,解得-t-或 tb0),焦距为 2c,另一个焦点为 F2,则 c=,F2(,0).在 RtPF2F1中,|PF1|=.由椭圆的定义得 2a=|PF1|+|PF2|=4,则 a=2,b=-=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)由(1)得 D(0,1),设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 ,消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,易知 0,则 x1+x2=-,x1x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=-.由 ADBD 得 =x1x2+(y1-

9、1)(y2-1)=0,即 -=0,所以 5m2-2m-3=0,解得 m=1 或 m=-.当 m=1 时,直线 l 经过点 D,舍去.当 m=-时,直线 l 的方程为 y=kx-,所以直线 l 经过定点,且该定点的坐标为(0,-).5.(1)设 F(c,0),根据离心率的定义和面积相等可得 ,解得 a=3,b=2,因此所求的椭圆 C 的方程为 =1.(2)显然 A(-3,0),B(3,0),直线 l 的方程为 x=9.设 P 的坐标为(9,m)(m0),则直线 PA 的方程为 y=(x+3),把它代入椭圆 C 的方程中,消去 y 得(128+m2)x2+6m2x+9m2-9128=0.根据一元二

10、次方程根与系数的关系知-3xS=-,因此 S(-,).同理,得 T(-,-).由于 F(1,0),所以当 m8 时,kSF=-,kFT=-,因此 kSF=kFT.当 m=8 时,易知 S,F,T 三点共线.所以 S,F,T 三点共线.6.由题意知,点 B(c,a+c)在双曲线 C 上,则 )=1,-=1,e2-=1,(e+1)(e-1-)=0,e=2.(2)由(1)知 =2,c=2a,则 b2=c2-a2=3a2,双曲线 C 的方程为 =1,A(-a,0),F(2a,0).当 BFAF 时,|AF|=|BF|,则BAF=,BFA=,显然BFA=2BAF.当 BF 与 AF 不垂直时,设 B(x

11、0,y0),x0a,y00,则 3 =3a2,tanBAF=kAB=,tanBFA=-kBF=-.tan 2BAF=-)-)-)=-=tanBFA.因为双曲线 C 的渐近线为 y=x,所以 0BAF ,0BFA0).若动圆与半圆内切,则|MO|=2-|MN|,=2-y,两边平方得 x2+y2=4-4y+y2,化简得 y=-x2+1(y0).综上,当动圆与半圆外切时,动圆圆心的轨迹方程为 y=x2-1(y0);当动圆与半圆内切时,动圆圆心的轨迹方程为y=-x2+1(y0).动圆圆心的轨迹如图 D 10-4-1 所示.图 D 10-4-1(2)假设满足题意的直线 l 存在,可设 l 的方程为 y=

12、x+b.依题意,可得直线 l 与曲线 y=x2-1(y0)交于 A,D 两点,与曲线 y=-x2+1(y0)交于 B,C 两点.由 ,-与 ,-,消去 y 整理可得 3x2-4x-12b-12=0 与 3x2+4x+12b-12=0.设 A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则 xA+xD=,xAxD=-,xB+xC=-,xBxC=-.又|AD|=)|xA-xD|,|BC|=)|xB-xC|,且|AD|=2|BC|,|xA-xD|=2|xB-xC|,即(xA+xD)2-4xAxD=4(xB+xC)2-4xBxC,整理得()2+)=4(-)2-),解得 b=.将

13、 b=代入方程,得 xA=-2,xD=.函数 y=x2-1(y0)的定义域为(-,-2)2,+),假设不成立,即不存在满足题意的直线 l.8.(1)因为以坐标原点 O 为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,所以 b=c,可得 a=c.因为MF1F2的周长为 4+2,所以 a+c=2+,所以 c=,a=2,b=,所以椭圆 C 的方程为 =1.(2)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0,设 Q(x1,y1),R(x2,y2),直线 l 的方程为 y=kx+m.因为 l 为圆 O 的切线,所以 ,即 3m2=4+4k2.将 y=kx+m 与椭圆方程联立,消去 y 得(2k2+1

14、)x2+4kmx+2m2-4=0,易知 0,所以 x1+x2=-,x1x2=-,x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-.由得 x1x2+y1y2=0,所以 OQOR,QOR=,即QOR 的大小为定值.9.(1)抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F(,0),准线方程为 x=-.依题意知过 F 的直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设其方程为 x=ty+(t0),由 ,消去 x 并整理,得 y2-2pty-p2=0,易知 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),可得 y1y2=-p2.由点 F 是线段 AC 的中点,且

15、 C(-,-),得-,-,解得 ,即 A(,).由 y1y2=-p2,可得 y2=-=-pt,则 x2=t(-pt)+=-pt2+,即 B(-pt2+,-pt).把点 B 的坐标代入抛物线方程,可得(-pt)2=2p(-pt2+),可得 t=.不妨令 t=-,则 B(,p),C(-,p).由|BC|=)-)p=,可得 p=2,所以抛物线 G 的方程为 y2=4x.(2)依题意可知直线 l 过点 F(1,0)和(0,1),可得直线 l 的方程为 y=-x+1,由 -,消去 x 并整理,得 y2+4y-4=0,则 y1+y2=-4,y1y2=-4.所以 k1+k2=4 =4,则-16an+1+)=

16、4,即 an+1=+an=an(an+1),由此可得 ),所以 =1-=1-().则 S2 020=2 020-()+()+)=2 020-()=2 020-1+=2 019+.由 mS2 020m+1,得 m2 019+1,可得 m=2 019,所以正整数 m 的值为 2 019.10.(1)抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1),由其与椭圆 C 的一个短轴端点重合,可得 b=1.由椭圆 C 的离心率 e=-,得 a2=3.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1,“蒙日圆”E 的方程为 x2+y2=4.2)当 PA 和 PB 中有一条与 x 轴平行时,易知另一条与 x 轴垂直,显然 PAPB.当

17、PA和PB均不与x轴平行且不与x轴垂直时,设过点P的椭圆C的斜率存在且不为零的切线的方程为y=kx+m(k0),设 P(x0,y0),x0,由直线 y=kx+m(k0)过点 P,得 m=y0-kx0,且 =4.由 ,消去 y 并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,则=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0,即 m2=3k2+1.将 m=y0-kx0代入上式得关于 k 的方程(-3)k2-2x0y0k+-1=0.则 kPAkPB=-,又 =4,所以 kPAkPB=-1,即 PAPB.综上,PAPB.当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 y=k1x+m1,由 ,消去 y 并整理得(+1)x2+2k1m1x+-4=0,则=)-4(+1)(-4),由得 =3 +1,代入上式整理得=4 +120.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=-,所以 kOPkOQ=)-)-,将 =3 +1 代入上式,得 kOPkOQ=-=-.当直线PQ的斜率不存在时,不妨设点P在第一象限,则P(,1),所以kOP=,易知Q(,-1),kOQ=-,所以kOPkOQ=-.综上可知,kOPkOQ=-.