（全国版）2022高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第1讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积试题1（理含解析）.docx

1、第八章 立体几何 第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积 练好题考点自测 1.下列命题正确的是()A.底面是矩形的平行六面体是长方体 B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C.棱台的相对侧棱延长后必交于一点 D.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 2.2020 天津,5,5 分若棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12 B.24 C.36 D.144 3.2018 全国卷,7,5 分理某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图 8-1-1 所示.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N

2、 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为()图 8-1-1 A.2 B.2 C.3 D.2 4.2018 全国卷,10,5 分在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面 BB1C1C 所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8 B.6 C.8 D.8 5.2020 浙江,14,4 分已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为 2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 .6.2020 山东,16,5 分已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的棱长均为 2,BAD=60.以 D1为球心,为半径的球面与

3、侧面 BCC1B1的交线长为 .7.2019 天津,11,5 分理已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 .8.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图 8-1-2 所示).ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为 .图 8-1-2 拓展变式 1.(1)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,有以下结论:lr=43;圆锥的侧面积与底面面积之比为 43;圆锥的轴截面是锐角三角形.其中所有正确结论的序号是

4、()A.B.C.D.(2)如图 8-1-5,已知正三棱柱的底面边长为 2,高为 5,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为 .2.(1)2020 全国卷,10,5 分理已知 A,B,C 为球 O 的球面上的三个点,O1为ABC 的外接圆.若O1的面积为 4,AB=BC=AC=OO1,则球 O 的表面积为()A.64 B.48 C.36 D.32(2)数学探索如图 8-1-9 所示,有两个相同的直三棱柱,高为 ,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是 .

5、图 8-1-9 3.(1)如图 8-1-12 所示,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 1 的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为()A.B.C.D.图 8-1-12(2)2018 全国卷,10,5 分理设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为 9,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为()A.12 B.18 C.24 D.54 4.(1)2019 全 国 卷,12,5 分 理 已 知 三 棱 锥 P-ABC 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面上,PA=PB=PC,ABC 是边长为

6、 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为()A.8 B.4 C.2 D.(2)2020 全国卷,15,5 分理已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .5.2020 江苏,9,5 分如图 8-1-19,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm,高为 2 cm,内孔半径为 0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.图 8-1-19 6.2020 全国卷,3,5 分理埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于

7、该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.-B.-C.D.7.2021 山东部分重点中学综合测试已知球 O 是正三棱锥 P-ABC 的外接球,AB=3,PA=2,E 是AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面圆面积的最小值是 .答 案 第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积 1.C 根据空间几何体的结构特征可知 C 正确.2.C 设外接球的半径为 R,易知 2R=2=6,所以 R=3,于是表面积 S=4R2=36,故选 C.3.B 由三视图可知,该几何体为如图 D 8-1-1 所示的圆柱.画出该圆柱的侧面展开图,如图 D 8-1-2

8、 所示,连接 MN,则 MS=2,SN=4,则从 M 到 N 的路径中最短路径为 MN=2.故选 B.图 D 8-1-1 图 D 8-1-2 4.C 连接 BC1,因为 AB平面 BB1C1C,所以AC1B=30,ABBC1,所以ABC1 为直角三角形.又AB=2,所 以 BC1=2 .又 B1C1=2,所 以 BB1=-=2 ,故 该 长 方 体 的 体 积V=222=8.5.1 解法一 设该圆锥的母线长为 l,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,其面积为 2,所以 l2=2,解得 l=2,所以该半圆的弧长为 2.设该圆锥的底面半径为 R,则 2R=2,解得 R=1.解法二 设该圆锥的底面半径为

9、 R,则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为 2R.因为侧面展开图是一个半圆,设该半圆的半径为 r,则 r=2R,即 r=2R,所以侧面展开图的面积为 r2=2R2=2,解得 R=1.6.如图 D 8-1-3,连接 B1D1,易知B1C1D1为正三角形,所以 B1D1=C1D1=2.分别取 B1C1,BB1,CC1的中点 M,G,H,连接 D1M,D1G,D1H,则易得 D1G=D1H=,D1MB1C1,且 D1M=.由题意知G,H 分别是 BB1,CC1 与球面的交点.在侧面 BCC1B1 内任取一点 P,使 MP=,连接 D1P,则D1P=,连接 MG,MH,易得 MG=MH=,故可知以 M

10、为圆心,为半径的圆弧 GH 为球面与侧面 BCC1B1的交线.由B1MG=C1MH=45知GMH=90,所以 的长为 2 .图 D 8-1-3 7.由题意可得,四棱锥底面对角线的长为 2,则圆柱底面的半径为 ,易知四棱锥的高为-=2,故圆柱的高为 1,所以圆柱的体积为 )21=.8.2+在直观图中,过点 A 作 AEBC,垂足为点 E,如图 D 8-1-4 所示,则在 RtABE中,AB=1,ABE=45,BE=.而四边形 AECD 为矩形,AD=1,EC=AD=1,BC=BE+EC=+1.由此可得到原图形如图 D 8-1-5 所示.在原图形中,AD=1,AB=2,BC=+1,且 ADBC,A

11、BBC,这块菜地的面积S=(AD+BC AB=1+1 2=2+.1.(1)A 设圆锥的母线长 l=1.因为圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,所以圆锥的侧面积为 ,又圆锥的底面半径为 r,所以由 2r=2 得 r=,所以 ,故正确;圆锥的侧面积与底面积之比为 ,故正确;设圆锥的轴截面三角形的顶角为,因为圆锥的底面直径为 2 ,所以 cos=-=-,所以角 为钝角,所以圆锥的轴截面是钝角三角形,故错误.故选 A.(2)13 将正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面沿侧棱 AA1展开,再拼接一次,示意图如图 D 8-1-6 所示,在展开图中,最短距离是六个矩形形成的大矩形对角线的长度,也即为三棱柱的侧

12、面上所求距离的最小值,记为 d.由已知求得矩形的长为 62=12,宽为 5,由勾股定理得 d=13.图 D 8-1-6 2.(1)A 如图 D 8-1-7 所示,设球 O 的半径为 R,O1的半径为 r,因为O1的面积为 4,所以 4=r2,解得 r=2,又 AB=BC=AC=OO1,所以 =2r,解得 AB=2,故 OO1=2,所以R2=O +r2=(2)2+22=16,所以球 O 的表面积 S=4R2=64.故选 A.(2)(0,)所给直三棱柱的底面积为 6a2,侧面面积分别为 6,8,10.当拼成三棱柱时有三种情况,如图D 8-1-8所示,其表面积分别为S1=26a2+2 10+8+6=

13、12a2+48,S2=46a2+2 10+8=24a2+36,S3=46a2+2 10+6=24a2+32.当拼成四棱柱时有三种情况,如图 D 8-1-8所示,表面积分别为 S4=46a2+2 8+6=24a2+28,S5=46a2+2 10+8=24a2+36,S6=46a2+2 10+6=24a2+32.图 D 8-1-8 由题意得 24a2+2812a2+48,解得 0a .故 a 的取值范围是(0,).3.(1)A 如图 D 8-1-9 所示,分别过 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG,CH,易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,SAGD=SBHC=1=.

14、VABCDEF=V 三棱锥 E-ADG+V 三棱锥 F-BHC+V 三棱柱 AGD-BHC=1=.选 A.图 D 8-1-9(2)B 如图 D 8-1-10 所示,因为ABC 是正三角形,所以该三角形的外接圆(平面 ABC 截球面所得)的圆心就是三角形的中心 M.图 D 8-1-10 连接球心 O 与点 M,则 OM平面 ABC.所以点 D 到平面 ABC 的距离最大时,D 为射线 MO 与球面的交点,此时 DM平面 ABC.由题意知 OD=OB=4,SABC=AB2=9 ,所以 AB=6.连接 BM 并延长交 AC 于点 E,因为点 M 为ABC 的重心,所以 BM=BE=2,则在 RtOB

15、M 中,OM=-=2,所以 DMmax=OD+OM=4+2=6,所以三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 9 6=18.故选 B.4.(1)D 因为点 E,F 分别为 PA,AB 的中点,所以 EFPB,因为CEF=90,所以 EFCE,所以 PBCE.取 AC 的中点 D,连接 BD,PD,易证 AC平面 BDP,所以 PBAC,又 ACCE=C,AC,CE平面 PAC,所以 PB平面 PAC,所以 PBPA,PBPC,因为 PA=PB=PC,ABC 为正三角形,所以 PAPC,即 PA,PB,PC 两两垂直.将三棱锥 P-ABC 放在正方体中,如图 D 8-1-11 所示.因为 AB=2,所

16、以该正方体的棱长为,所以该正方体的体对角线长为,图 D 8-1-11 所以三棱锥 P-ABC 的外接球的半径 R=,所以球 O 的体积 V=R3=)3=.(2)易知半径最大的球即该圆锥的内切球.圆锥 PE 及其内切球 O 如图 D 8-1-12 所示,设内 切 球 的 半 径 为 R,则 sinBPE=,所 以 OP=3R,所 以 PE=4R=-=2,所以 R=,所以内切球的体积 V=R3=,即该圆锥内半径最大的球的体积为 .图 D 8-1-12 5.12 正六棱柱的体积为 6 222=12(cm3),圆柱的体积为 0.522=(cm3),则该六角螺帽毛坯的体积为(12 )cm3.6.C 设正四棱锥的高为 h,底面正方形的边长为 2a,斜高为 m,依题意得 h2=2am,即 h2=am,易知 h2+a2=m2,由得 m=a,所以 .故选 C.7.设三棱锥 P-ABC 的外接球半径为 R,正三角形 ABC 的外接圆圆心为 O,连接 PO,易知球心 O 在 PO上,连接 OA,OA,则 PO=3,()2+(3-R)2=R2,解得 R=2,所以 OO=1.连接 OE,OE,过 E作球 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的面积有最小值.易知OE=,在 RtEOO 中,OE=,所以截面圆的半径为 -,所以截面圆面积的最小值为 )2=.