（全国版）2022高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第1讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积试题2（理含解析）.docx

1、第八章 立体几何 第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积 1.2020 全国卷,8,5 分理如图 8-1-1 为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2 2.2020 浙江,5,4 分某几何体的三视图(单位:cm)如图 8-1-2 所示,则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.B.C.3 D.6 3.2021合肥市调研检测表面积为 324的球,其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是 14,则这个正四棱柱的表面积等于()A.567 B.576 C.240 D.49 4.2021 安徽省四校联考在三棱锥 A-BCD 中,ABC 和BC

2、D 都是边长为 2 的正三角形,当三棱锥 A-BCD 的表面积最大时,其内切球的半径是()A.2 B.2-C.D.5.数学文化题九章算术与几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术卷五商功篇中介绍了羡除(此处是指三面为等腰梯形,其他两侧面为直角三角形的五面体)体积的求法.在如图 8-1-3 所示的羡除中,平面 ABDA是铅垂面,下宽 AA=3 m,上宽 BD=4 m,深 3 m,平面 BCED 是水平面,末端宽 CE=5 m,无深,长 6 m(直线 CE 到 BD 的距离),则该羡除的体积为()图 8-1-3 A.24 m3 B.30 m3 C.36 m3 D.42 m3 6.2020 全国卷

3、,10,5 分理已知ABC 是面积为 的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16,则 O 到平面 ABC 的距离为()A.B.C.1 D.7.2021 安徽省示范高中联考蹴鞠(如图 8-1-4 所示),又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等,“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006 年 5 月 20 日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”表面上的四个点 A,B,C,D 满足 AB=CD=14 cm,BD=AC=8

4、 cm,AD=BC=12 cm,则该“鞠”的表面积为()图 8-1-4 A.202 cm2 B.cm2 C.101 cm2 D.cm2 8.2021 蓉城名校联考已知三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,且 PA=,在ABC 中,AC=1,BC=2,且满足 sIn 2A=sIn 2B,则三棱锥 P-ABC 外接球的体积为()A.B.C.D.9.2021 湖南六校联考如图 8-1-5,以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心,以 为半径作一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧的长之和为()图 8-1-5 A.B.C.D.10.2020 成都市高三模拟若矩形 ABCD 的对角线交点为

5、O,周长为 4 ,四个顶点都在球 O的表面上,且 OO=,则球 O 的表面积的最小值为()A.B.C.32 D.48 11.2021 南昌市模拟已知一个圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面面积为 .12.2021 南昌市高三测试如图 8-1-6 所示,圆台内接于球,已知圆台上、下底面圆的半径分别为 3 和 4,圆台的高为 7,则该球的表面积为 .图 8-1-6 13.2021 河南省名校第一次联考已知 P,A,B,C 是半径为 3 的球面上的四点,其中 PA 过球心,AB=BC=2,AC=2,则三棱锥 P-ABC 的体积是 .14.2021 合肥市调研检测如图 8-1-

6、7,在ABC 中,CA=CB=,AB=3,D 为 AB 的中点,点 F 是 BC边上异于点 B,C 的一个动点,EFAB,垂足为 E.现沿 EF 将BEF 折起到PEF 的位置,使 PEAC,则四棱锥 P-ACFE 的体 积的最大值为 .图 8-1-7 15.2021 河北六校第一次联考唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 8-1-8(1)所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图 8-1-8(2)所示.已知球的半径为 R,酒杯内壁表面积为 R2,设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1,下部分(半球)的

7、体积为 V2,则 =()A.2 B.C.1 D.16.2020 陕西省百校联考四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA底面 ABCD,异面直线 AC 与 PD 所成的角的余弦值为 ,则四棱锥的外接球的表面积为()A.48 B.12 C.36 D.9 17.2020 洛阳市联考已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC 满足BA=BC=,ABC=,若该三棱锥体积的最大值为 3,则其外接球的体积为()A.8 B.16 C.D.18.2020 合肥市模拟若圆锥 SO1,SO2的顶点和底面圆周都在半径为 4 的同一个球的球面上,两个圆锥的母线长分别为

8、4,4,则这两个圆锥重合部分的体积为()A.B.8 C.D.19.2021 湖南四校联考已知三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面的射影 O 为ABC 的垂心,若SABCSOBC=,且 三 棱 锥 P-ABC 的 外 接 球 半 径 为 3,则 SPAB+SPBC+SPAC 的 最 大 值为 .20.2021 黑龙江省六校阶段联考正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的外接球 O 的半径为 2,当该正四棱柱的侧面积最大时,一个质点从 A 出发移动到 C1,则沿正四棱柱表面移动的最短距离与直接穿过球 O 内部移动的最短距离的比值是 .21.2021 安徽省示范高中联考在长方体 ABCD-A1B1C

9、1D1中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,侧棱 AA1=t(t4),点 E 是 BC 的中点,点 P 是侧面 ABB1A1 内的动点(包括四条边上的点),且满足tanAPD=4tanEPB,则四棱锥 P-ABED 体积的最大值是 .22.2020 惠州市二调双空题已知底面边长为 a 的正三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点均在球 O1上,又知球 O2与此正三棱柱的 5 个面都相切,则球 O1与球 O2的半径之比为 ,表面积之比为 .23.条件创新将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形,其中小扇形的圆心角为 ,则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为()A.21

10、B.8 C.41 D.32 24.条件创新已知在三棱锥 P-ABC 中,ABC 的内切圆圆 O 的半径为 2,PO平面 ABC,且三棱锥 P-ABC 的三个侧面与底面所成角都为 60,则该三棱锥的内切球的体积为()A.B.C.D.25.2021 云南省部分学校统一检测探索创新已知一圆锥底面圆的直径为 3,圆锥的高为 ,在该圆锥内放置一个棱长为 a 的正四面体,并且正四面体在圆锥内可以任意转动,则 a 的最大值为 .26.生活实践在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子.某雕刻师计划在底面边长为 2 m,高为 4 m 的正四棱柱形的石料 A

11、BCD-A1B1C1D1中雕出一个四棱锥 O-ABCD 和球 M 的组合体(如图 8-1-9 所示),其中 O 为正四棱柱的中心,当球的半径 r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重 kg.(其中 3.14,石料的密度=2.4 g/cm3,质量 m=V,V 为体积)答 案 第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积 1.C 由 三 视 图 知 该 几 何 体 为 如 图 D 8-1-13 所 示 的 三 棱 锥 P-ABC,其 中 PA 平 面ABC,ABAC,AB=AC=AP=2,所以 PB=PC=BC=2,故其表面积 S=(22)3+(2)2sin 60=6+2.图 D 8-1-13 2

12、.A 由三视图可知,该几何体是三棱柱和三棱锥的组合体,结合图中数据可得该几何体的体积 V=212+211=(cm3),故选 A.3.B 设球的半径为 R,由题意知 4R2=324,解得 R=9.如图 D 8-1-14 为过球心 O 和底面对角线的正四棱柱的截面,OOAC,可知 OO=7,OC=9,则 OC=-=4,于是正四棱柱的底面对角线长为 8,则底面边长为 8,所以正四棱柱的表面积 S=882+4814=576,故选 B.图 D 8-1-14 4.A 三棱锥 A-BCD 的表面积 S=2+SABD+SACD=2+4sinABD,故当 ABBD 时,Smax=4+2,如 图 D 8-1-15

13、,过 A 作 BC 的 垂 线,垂 足 为 E,连 接 ED,易 知 BC 平 面 AED,则SAED=,VA-BCD=VB-AED+VC-AED=2=,设内切球半径为 r,则 VA-BCD=Sr,可得 r=2 .图 D 8-1-15 5.C 如图 D 8-1-16,在 BD,CE 上分别取点 B,C,使得 BB=CC=3 m,连接 AB,AC,BC,则三 棱 柱ABC-ABC 是 斜 三 棱 柱,该 羡 除 的 体 积V=V三棱柱ABC-ABC+V四棱锥A-BDEC=(36)3+(6)3=36(m3).图 D 8-1-16 6.C 由等边三角形 ABC 的面积为 ,得 AB2=,得 AB=3

14、,则ABC 的外接圆半径 r=AB=AB=.设球的半径为 R,则由球的表面积为 16,得 4R2=16,得 R=2,则球心 O 到平面 ABC 的距离 d=-=1,故选 C.7.A 因为 AB=CD,BD=AC,AD=BC,所以可以把 A,B,C,D 四点放到长方体的四个顶点上,则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径.设该长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,“鞠”的半径为 R,则(2R)2=x2+y2+z2.由题意可取 x2+y2=196,x2+z2=144,y2+z2=64,所以 R2=,所以“鞠”的表面积S=4R2=202(cm2).故选 A.8.C 因为 sin 2A=sin 2B,A(

15、0,),B(0,),所以 A=B 或 A+B=,因为 AC=1,BC=2,所以 AB,故 A+B=,则 C=.如图 D 8-1-17,根据题意将三棱锥 P-ABC 放入长方体中,则该三棱锥的外接球直 径 2R 为 长 方 体 的 体 对 角 线 PB=()=2 ,所 以 外 接 球 的 体 积V=R3=()3=.图 D 8-1-17 9.C 正方体的表面被该球面所截得的弧是相等的三部分,如图 D 8-1-18 所示,上底面被球面截得的弧长是以 A1为圆心,1 为半径的圆的周长的 ,所以所求弧的长之和为 3 .故选 C.图 D 8-1-18 10.C 由题意,知矩形 ABCD 所在的圆面为球 O

16、 的一个截面.因为 O为矩形 ABCD 的对角线的交点,所以 OO所在直线垂直于矩形 ABCD 所在的圆面.因为矩形 ABCD 的周长为 4 ,所以BC+CD=2 .设 BC=x,则 CD=2 -x,所以 BD2=BC2+CD2=x2+(2 -x)2,即 BD2=2(x-)2+20.设球 O 的半径为 R,则 R2=()2+OO2=(x-)2+8,所以当 x=时,R2取得最小值 8,又球 O 的表面积 S=4R2,则 Smin=32,故选 C.11.因为圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形,所以圆锥的底面半径 r=1,母线长 l=,所以圆锥的侧面面积 S=rl=.12.100 过球心

17、O 和圆台上、下底面圆的圆心作截面,设球的半径为 R,当圆台的上、下底面圆的圆心在球心的两侧时,则有 -=7,解得 R=5,故球的表面积 S=4R2=100;当圆台的上、下底面圆的圆心在球心的同侧时,则有 -=7,此方程无解,故舍去.13.因为 AB=BC=2,AC=2,所以 cos B=-=-2,所以质点沿着正四棱柱的表面移动的最短距离为 2.若质点直接穿过球 O 内部移动,则最短距离为正四棱柱的体对角线长,即球 O 的直径,所以最短距离为 4.则质点沿正四棱柱表面移动的最短距离与直接穿过球 O 内部移动的最短距离的比值是 .21.因为 AD平面 ABB1A1,BC平面 ABB1A1,所以A

18、PD 与EBP 均为直角三角形,所以tanAPD=,tanEPB=,又 tanAPD=4tanEPB,所以 ,即 2AP=BP.如图 D 8-1-25,以 AB 的中点 O 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,在平面 ABB1A1内建立平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),设 P(x,y),根据 2AP=BP,得 2()(-),化简整理得(x+)2+y2=(-2x2,y0),则当 x=-2 时,ymax=,所以点 P 到平面 ABED 的最大距离为 ,又四边形 ABED 的面积为()=12,所以四棱锥 P-ABED 体积的最大值为 12 .图 D 8-1-25 22.1 51 设

19、球 O1、球 O2的半径分别为 R,r,由于正三棱柱的六个顶点均在同一个球面上,所以球心 O1 在上、下底面中心连成的线段的中点处,又球 O2 与正三棱柱的 5 个面都相切,易知点 O2与 O1重合.如图 D 8-1-26,取上、下底面的中心分别为 F,E,连接 EF,设 BC 的中点为D,EF的 中 点 为O1,连 接AD,O1A,则E在AD上,O1A=R,O1E=r,在 O1EA中,AE=a=a,O1E=r=a=a,由于 O1A2=O1E2+AE2,所以 R2=a2,r2=a2,则球 O1 与球 O2的半径之比为 1,所以球 O1与球 O2的表面积之比为 =51.图 D 8-1-26 23

20、.B 不妨设半圆的半径为 1,用圆心角为 的小扇形围成的圆锥的底面圆周长为 1=,设其底面圆的半径为 r1,则 2r1=,所以 r1=,该圆锥的高 h1=-().用圆心角为 的大扇形围成的圆锥的底面圆周长为 1=,设其底面圆的半径为 r2,则 2r2=,所以 r2=,该圆锥的高 h2=-().所以 h1h2=8.24.A 设三棱锥 P-ABC 的内切球的半径为 R,过 O 作 ODAC 于点 D,OEBC 于点 E,OFAB 于点F,则 OD=OE=OF=2.连接 PD,易证 PDAC,因为三棱锥 P-ABC 的三个侧面与底面所成角都为 60,所以PDO=60,则 PO=2tan 60=2,P

21、D=4.由题意可知三棱锥 P-ABC 的内切球的球心 O在线段 PO 上,在 RtPOD 中,sinDPO=-,即 -,解得 R=.所以该三棱锥的内切球的体积为 R3=()3=,故选 A.25.解法一 由题意知,正四面体可以在圆锥内任意转动,则 a 最大时,该正四面体外接于圆锥的内切球.设球心为 P,球的半径为 r,圆锥的顶点为 S,圆锥底面圆的圆心为 O,A,B 为底面圆直径的两端点,轴截面上球与圆锥母线的切点为 Q,圆锥的轴截面如图 D 8-1-27 所示,连接SO,易知 P 在 SO 上,SOAB,则 OA=OB=,因为 SO=,所以 SA=SB=3,所以SAB 为等边三角形,所以点 P

22、 是SAB 的中心.连接 BP,PQ,则 BP 平分SBA,所以PBO=30,所以 tan 30=,即 r=,所以正四面体外接球的半径 r=.正四面体的外接球就是截得它的正方体的外接球,当正四面体的棱长为 a 时,截得它的正方体的棱长为 a,所以2r=a=a=,得 a=,所以 a 的最大值为.图 D 8-1-27 解法二 由题意知,正四面体可以在圆锥内任意转动,则 a 最大时,该正四面体外接于圆锥的内切球.设圆锥的顶点为 S,底面圆的圆心为 O,A,B 为底面圆直径的两端点,圆锥的轴截面如图 D 8-1-28 所示,则 OA=OB=,连接 SO,则 SOAB,SO=,所以 SA=SB=3,SA

23、B 的面积SSAB=,由三角形内切圆半径公式r=(其中S是三角形的面积,a,b,c 是三角形的三边长)知,SAB 内切圆的半径 r=.正四面体的外接球就是截得它的正方体的外接球,当正四面体的棱长为 a 时,截得它的正方体的棱长为 a,所以 2r=a=a=,得 a=,所以 a 的最大值为.图 D 8-1-28 26.21 952 由题意得正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积 V1=224=16(m3),正四棱锥 O-ABCD 的体积V2=222=(m3),分析知球M的半径r的最大值为1,此时球M的体积V3=r3=13=(m3),故去除石料的体积 V=V1-V2-V3=16-.(m3).又=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,故需去除的石料的质量 m=V2 400 .=21 952(kg).