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1、2022 届高考数学精创预测卷 全国甲卷 理科（全国甲卷）2022 届高考数学精创预测卷 理 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题 1.已知集合2|340Ax xx，4,1,3,5B ，则 AB()A.4,1 B.1,5 C.3,5 D.1,3 2.若复数 z 满足(1i)13(13)iz ，则|z 为()A.1 B.2 C.3 D.4 3.关于统计数据的分析，有以下几个结论：将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距；一组数据的方差一定是正数；如图是随机抽取的 200 辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直

2、方图，可以得到时速在50,60)的汽车大约是 60 辆.则这四个结论中错误的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 4.一种放射性元素的质量按每年 10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（精确到 0.1，已知lg20.3010,lg30.4771）()A.5.2 年 B.6.6 年 C.7.1 年 D.8.3 年 5.已知 F 是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，点(0,3)Ab，连接 AF 与渐近线byxa交于点 M，2AFOMkk ，则 C 的离心率为()A.3 B.3 32 C.52 D.153 6.某几何体的三视图如图所

3、示，则该几何体的表面积是()A.84 24 17 B.124 24 17 C.128 24 17 D.84 28 17 7.数列 na的前 n 项和为nS，且2nSnna，*nN，则“0a”是“数列2na为等差数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.如图所示，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为()A.20 6 海里 B.40 6

4、 海里 C.20(13)海里 D.40 海里 9.已知sin2cos0，则cos2sin2等于()A.45 B.35 C.25 D.15 10.大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村的小学进行支教，若每个村的小学至少分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村的小学的概率为()A.112 B.12 C.13 D.16 11.已知正方体1111ABCDA B C D的表面积为 24，则四棱锥111AABC D的体积为()A.43 B.8 33 C.83 D.163 12.已知函数()f x 的定义域为 R，且(1)f x 是偶函数，(1)f x 是奇函数，()f x 在

5、1,1上单调递增，则()A.(0)(2020)(2019)fff B.(0)(2019)(2020)fff C.(2020)(2019)(0)fff D.(2020)(0)(2019)fff 二、填空题 13.已知函数2()2 e1xf xxx，则函数()f x 在点(0,(0)f处的切线方程为_.14.已知向量(1,1),(2)aaba,若|4b,则向量 a 与 b 的夹角为_.15.已知 F 是椭圆22221(0)xyabab的右焦点，点 P 在椭圆上，且 P 到原点 O 的距离等于半焦距，POF 的面积为 6，则b _.16.若函数()sin()0,0,02f xAxA的部分图像如图所示

6、，则函数()f x 在,0上的单调递增区间为_.三、解答题 17.2021 年 5 月 22 日 10 时 40 分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100 分)，其中理科学生有 600 名学生参与测试，其得分都在50,100内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间60,70),70,80),80,90)的频率依次构成等差数列.若规定得分不低于 80 分者为优秀，文科生有 400 名学生参与测试，其中得分优秀的学生有 50 名.(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理

7、科学生得分的平均值；(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有 99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？优秀 不优秀 合计 理科生 文科生 合计 1000 附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中 nabcd .20P Kk 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 18.已知数列 na，nb，满足11a ，1114nnaa ，221nnba，nS为数列 nb的前 n 项和，*nN.(1)求数列 na,nb的通项公式；(2)令(1)nnnnna bncS,求数列 nc的前 n 项和nT.19.在四棱锥 PA

8、BCD中，底面 ABCD 是矩形，2,2,ABADE为 BC 的中点，,PABC BDPE.(1)证明：PA 平面 ABCD；(2)若 PC 与平面 PAD 所成的角为 30，求二面角 APED的余弦值.20.已知抛物线2:2(1)C ypx p上的点 0,1P x到其焦点 F 的距离为 54.(1)求抛物线 C 的方程；(2)点(,4)E t在抛物线 C 上，过点(0,2)D的直线 l 与抛物线 C 交于 112212,0,0A x yB x yyy两点，点 H 与点 A 关于 x 轴对称，直线 AH 分别与直线 OE，OB 交于点 M，N(O 为坐标原点)，求证：|AMMN.21.已知函数

9、()eln1()xf xaxaR（e2.71828为自然对数的底数）.（1）当ea 时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x，212xxx，且122ln3xx，求21xx 的最大值.22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为12xtyt (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos.(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若点 P 的坐标为()1,2，求 PAPB.23.已知函数()|3|()fxxxxmR.(1)当1m

10、 时，求不等式()6f x 的解集；(2)若不等式()5f x 的解集不是空集，求参数 m 的取值范围.参考答案 1.答案：D 解析：由2340 xx，得(4)(1)0 xx，解得 14x，|14Axx，又 4,1,3,5B ，1,3AB，故选 D.2.答案：B 解析：(1i)13(13)iz Q，复数13(13)i13i1iz，|2z，故选 B.3.答案：B 解析：对于，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，正确.因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小.对于，错误.因为频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率.对于，错误.因为根据方差的计算公式22221

11、21nsxxxxxxn得出方差是非负数.对于，根据频率分布直方图得，时速在50,60)的汽车大约是 200 0.03 1060（辆），所以正确.综上，错误的结论是，共 2 个.故选 B.4.答案：B 解析：设这种放射性元素的半衰期是 x 年，则1(1 10%)2x,化简得10.92x，即0.91lg1lg20.30102log6.62lg0.92lg3 120.4771 1x（年）.故选 B.5.答案：A 解析：由已知得(,0)F c，3AFbkc，OMbka，32AFOMb bkkca，2232caac，23230ee，3e（舍负），故选 A.6.答案：B 解析：由三视图可知，该几何体是一个

12、底面为矩形(长为 4、宽为 2)，高为 4 的四棱锥，其中一个侧面与底面垂直，所以该几何体的表面积111242424 22417124 24 17222S ，故选 B.7.答案：A 解析：因为2nSnna，*nN，所以11,1,2nnnS naSSn，即,122,2na nann，所以242nan，*nN，所以无论 a 为何值，数列2na都为等差数列.所以“0a”是“数列2na为等差数列”的充分不必要条件，故选 A.8.答案：A 解析：在ACD中，1590105ADC，906030ACD，所以45CAD.由正弦定理可得 sinsinCDADCADACD，解得140sin220 2sin22CD

13、ACDADCAD.在RtDCB中，45BDC，所以240 2BDCD.在ABD中，由余弦定理可得2222cosABADBDAD BDADB18003200220 240 224002，解得20 6AB（海里）.所以 A，B 两处岛屿间的距离为 20 6 海里.9.答案：D 解析：由sin2cos0得sintan2cos ，所以2222cossin2sincoscos2sin2sincos 221tan2tan1441tan1415，故选 D.10.答案：C 解析：大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村的小学进行支教，每个村的小学至少分配 1 名大学生，基本事件总个数

14、2343C A36n，小明恰好分配到甲村的小学包含的基本事件个数322332AC A12m，所以小明恰好分配到甲村的小学的概率121363mPn.故选C.11.答案：C 解析：设正方体1111ABCDA B C D的棱长为 a，因其表面积为 24，所以2624a，所以2a.连接1A D 交1AD 于点 O，则11A DAD，所以在正方体中，1A D 平面11ABC D，即1AO 平面11ABC D，所以1AO 是四棱锥111AABC D的高，且221122AOaa.又114 2ABC DSAB AD四边形，所以1111111833AABC DABC DVSAO四棱锥四边形.故选 C.12.答案

15、：B 解析：由(1)f x 是偶函数，得(1)(1)f xfx，即()(2)f xfx.由(1)f x 是奇函数，得(1)(1)f xfx ，即()(2)f xfx ，所以(2)(2)fxfx ，则()f x 的周期8T.由(1)f x 是奇函数，得(0 1)(1)0ff.因为()f x 在 1,1上单调递增，所以(0)0f，所以(2019)(3)(1)0,(2020)(4)(0)0ffffff，即(0)(2019)(2020)fff.故选 B.13.答案：210 xy 解析：()22e2 exxfxxx，(0)1f ，函数()f x 在点(0,1)处的切线斜率(0)2kf，所求的切线方程为(

16、1)2(0)yx，即 210 xy.14.答案：135 解析：由向量(1,1)a知|2a.又(2)aba，则(2)0aba，即224220,2224,cos,|224 a baa ba baa ba b向量 a 与 b 的夹角为135.15.答案：2 3 解析：设(,)P x y，则22222221,xyabxyc 由得222xcy，代入式得 2224222221|cyybbyyabcc.22111|6222POFbSOFycbc，212b，又0b，2 3b.16.答案：3,0 解析：由函数()sin()(0,0,0)2f xAxA的部分图像，可得2A，32514，求得4.再根据五点作图法可得

17、，(1)2 4k，kZ，2 4k，kZ.又02，4，()2 sin 44f xx.令2 2 2442kxk，kZ，解得8381kxk ，kZ，故函数的增区间为83,81kk，kZ.再根据,0 x，可得增区间为 3,0.17.答案：(1)理科学生得分的平均值为 73 分.(2)表格见解析，有 99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得 20.015nm.又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1，则(0.0150.0150.010)101nm，解得0.035,0.025mn，理科学生得分的平均值为(55 0.01565 0.02575

18、 0.03585 0.01595 0.010)1073(分).(2)理科学生优秀的人数为(0.0150.010)10 600150，补全 22 列联表如表所示，优秀 不优秀 合计 理科生 150 450 600 文科生 50 350 400 合计 200 800 1000 221000(150 350450 50)23.437510.828600400200 800K，有 99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.18.答案：(1)12nnan；221nnba.(2)11(1)1nnTn .解析：(1)由题可知，112222121ba，11222221212121212nnnnnnbb

19、aaaa，所以数列 nb是首项为 2，公差为 2 的等差数列，所以2(1)22nbnn.由221nnba得2221242nnnbnnabnn.(2)由(1)得(22)(1)2nnnSn n，所以2111(1)(1)(1)(1)1nnnnnnna bnncSn nnn .所以123nnTccccL 11111111(1)223341nnn L 11(1)1nn .19.答案：(1)证明过程见解析.(2)余弦值为2121.解析：(1)证明：易知2tan,tan22BAEABD，所以21tantan1202BAEABD，故BAEABD 2，即 AEBD，又 BDPE，PEAEE，所以 BD 平面 P

20、AE，又 PA 平面 PAE，所以 BDPA，又,PABC BDBCB，所以 PA 平面 ABCD.（2）由 PA 平面 ABCD，得 PACD，又,CDAD PAADA，所以CD 平面 PAD，所以CPD为 PC 与平面 PAD 所成的角，则30CPD，在 RtCPD中，2CD，30CPD，所以6PD，又 PAAD，所以22(6)22PA.以 A 为原点，,AB AD APuuur uuur uuur的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(2,1,0),(0,0,2)BDEP，(0,2,2),(2,1,0)DPDEuuu

21、ruuur，设平面 PDE 的法向量为(,)x y zn，则220,20,DPyzDExy nnuuuruuur 取1x ，则2,2yz，所以(1,2,2)n，易知平面 PAE 的一个法向量为(2,2,0)BD uuur，所以21cos,21|BDBDBD nnnuuuruuuruuur，由图可知二面角 APED为锐角，所以二面角 APED的余弦值为2121.20.答案：(1)方程为24yx.(2)证明过程见解析.解析：(1)由点 0,1P x在抛物线上可得，2012px，解得012xp.由抛物线的定义可得015|2224ppPFxp，整理得22520pp，解得2p 或12p(舍去).故抛物线

22、 C 的方程为24yx.(2)由(,4)E t在抛物线 C 上可得244t，解得4t，所以(4,4)E，直线 OE 的方程为 yx.易知11,H xy，12,x x 均不为 0.由题意知直线 l 的斜率存在且大于 0，设直线 l 的方程为2(0)ykxk，联立，得22,4,ykxyx消去 y，得22(44)40k xkx.则22(44)1616320kkk，得102k，所以12244kxxk，1224x xk.由直线 OE 的方程为 yx，得11,M x x.易知直线 OB 的方程为22yyx，故1212,x yN xx.数形结合可知，要证|AMMN，即证12MNyyy，即证121122x y

23、yxx，即证1221122x yx yx x，即证1 212(22)20kx xxx，则22488(22)0kkkk，此等式显然成立，所以|AMMN.21.答案：（1）当ea 时，()f x 在(0,)上单调递增（2）21xx 的最大值为 3 解析：（1）函数的定义域为(0,)，1e()eexxxaxfxaxx，（下面分0a 及 0ea 讨论导函数()fx的正负）当0a 时，()0fx恒成立，()f x 在(0,)上单调递增.当 0ea 时，令()exg xax，()exg xa，当 01a 时，()0g x在(0,)上恒成立，()(0)1g xg.所以()0fx恒成立，()f x 在(0,)

24、上单调递增.当1ea时，当 0lnxa时，()0g x，()g x 单调递减；当lnxa时，()0g x，()g x 单调递增，ln()(ln)eln(1ln)0ag xgaaaaa，()0fx（等号不恒成立），()f x 在(0,)上单调递增.综上，当ea 时，()f x 在(0,)上单调递增.（2）依题意，得 120fxfx，则1212e0,e0,xxaxax即1212e,e,xxaxax 两式相除得，2121exxxx，设21xtx ，则1t ，21xtx，1(1)e txt，1ln1txt ，2ln1ttxt，12(1)ln1ttxxt.（利用比值代换21xtx ，则有1ln1txt

25、，2ln1ttxt，12(1)ln1ttxxt，从而将双变量问题变为单变量问题来解决）设(1)ln()(1)1tth ttt，则212ln()(1)ttth tt.（构造函数并利用导数研究函数的最值即可）设1()2lntttt，则22212(1)()10ttttt，()t在(1,)上单调递增，此时()(1)0t.()0h t，则()h t 在(1,)上单调递增.又122ln3xx，即()2ln3h t，而(3)2ln3h，(1,3t，即21xx 的最大值为 3.22.答案：(1)直线 l 的普通方程为30 xy 曲线 C 的直角坐标方程为2240 xyx(2)14 解析：(1)直线 l 的参数

26、方程，消去参数 t，得直线 l 的普通方程为30 xy，由曲线 C 的极坐标方程4cos，得24 cos，所以曲线 C 的直角坐标方程为2240 xyx.(2)直线 l 的参数方程可写为212222xtyt (t 为参数)，代入2240 xyx，得23 210tt，设 A，B 两点的参数为 12,t t，则 121 23 2,1ttt t .所以21212121 2418414PAPBttttttt t.23.答案：(1)()6f x 的解集为(,24,)(2)82m 解析：(1)由题设，()|3|1|6f xxx，当1x 时，()31226f xxxx ，可得2x ，当 13x 时，()3146f xxx ，无解，当3x 时，()31226f xxxx ，可得4x.综上，()6f x 的解集为(,24,).(2)()|3|(3)()|3|f xxxmxxmm，要使()5f x 的解集不是空集，只需|3|5m即可，82m.