（全国统考）2022版高考数学大一轮复习 第15章 数系的扩充与复数的引入（1）备考试题（文含解析）.docx

1、第十五章 数系的扩充与复数的引入 练好题考点自测 1.2020 全国卷,2,5 分文若 z=1+2i+i3,则|z|=()A.0 B.1 C.D.2 2.2020 全国卷,2,5 分文(1-i)4=()A.-4 B.4 C.-4i D.4i 3.2020 浙江,2,4 分已知 aR,若 a-1+(a-2)i(i 为虚数单位)是实数,则 a=()A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.2020 山东,2,5 分 =()A.1 B.-1 C.i D.-i 5.2020 北京,2,4 分在复平面内,复数 z 对应的点的坐标是(1,2),则 iz=()A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2

2、-i 6.2021 大同模拟设 x,yR,i 为虚数单位,且 =1+2i,则 z=x+yi 的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.2020 江西抚州高三第一次联考若复数 z 满足|z+3-4i|=2,则 z 的最大值为()A.9 B.81 C.7 D.49 8.2021 河南名校第一次联考如图 15-1,在平行四边形 OABC 中,顶点 O,A,C 在复平面内分别表示 0,3+2i,-2+4i,则点 B 对应的复数为()A.1+6i B.5-2i C.1+5i D.-5+6i 图 15-1 9.2017 浙江,12,6 分已知 a,bR,

3、(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2=,ab=.拓展变式 1.(1)2020 全国卷,2,5 分复数 的虚部是()A.B.C.D.(2)2020 全国卷,15,5 分设复数 z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=.2.(1)2019 全国卷,2,5 分文若 z(1+i)=2i,则 z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i(2)2019 北京,2,5 分文已知复数 z=2+i,则 z=()A.B.C.3 D.5 3.(1)2019 全国卷,2,5 分设 z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于()A.第一象限 B.第二

4、象限 C.第三象限 D.第四象限(2)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为 A,B,C,若 =+(,R),则+的值是 .答 案 第十五章 数系的扩充与复数的引入 1.C z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=,故选 C.2.A (1-i)4=(1-i)22=(-2i)2=-4,故选 A.3.C 因为 a-1+(a-2)i 是实数,所以 a-2=0,所以 a=2.故选 C.4.D 解法一 =(2-)(1-2)(1 2)(1-2)=-i,选 D.解法二 利用 i2=-1 进行替换,则 =-2(-1)-=-2 -=-(1 2)=-i,

5、选 D.5.B 由题意知,z=1+2i,所以 iz=i(1 2i)=-2+i,故选 B.6.A 由已知可得 z=()(1-2)(1 2)(1-2)i,则 i,所以 在复平面内对应的点为(,),在第一象限,故选 A.7.D 由题意可知,复数对应的点的轨迹是以点 A(-3,4)为圆心,半径为 2 的圆,z 表示圆上的点到原点的距离的平方,因为|OA|=(-)=5,所以 z 的最大值为(5+2)2=49,故选 D.8.A 因为 ,所以 对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即点 B 对应的复数为 1+6i,故选 A.9.5 2(a+bi)2=a2-b2+2abi=i,-解得 或 a2+

6、b2=5,ab=2.【方法技巧】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部分别相等;一个复数等于零的充要条件是实部 和虚部同时为零.1.(1)D (1 )(1-)i,所以虚部为 .(2)2 解法一 设 z1=x1+y1i(x1,y1R),z2=x2+y2i(x2,y2R),则由|z1|=|z2|=2,得 =4.因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=()2+12=4,所以 2x1x2+2y1y2=-4,所以|z1-z2|=|x1-x2+(y1-y2)i|=(-)-)-

7、2 -2 =2.解法二 设 z1=a+bi(a,bR),则 z2=a+(1-b)i,则 -)即 所以|z1-z2|2=(2a )2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(a+b)=-2 =12,所以|z1-z2|=2.解法三 题设可等价转化为向量 a,b 满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=2,即|z1-z2|=2.2.(1)D z=(1-)(1 )(1-)=1+i.(2)D z=2 i,=2-i,z=(2+i)(2-i)=5.故选 D.3.(1)C 由题意,得=-3-2i,其在复平面内对应的点的坐标为(-3,-2),位于第三象限,故选 C.(2)1 由题意得 =(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),由 =+,得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),所以-解得 所以+=1.